2.4 Summary
3.1.2 Understanding composition: composition systems
Capítulo VI
Definición:
Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical; y que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal; como resultado de haberse efectuado una observación. En el gráfico tenemos:
α
linea visual linea horizontal β
linea visual
Línea visual: Une el observador con el objeto a observar.
Línea horizontal: Pasa por el ojo del observador y es paralela al nivel del suelo.
Del gráfico anterior: ángulo de elevación ángulo de depresión
Por ejemplo; si una persona de estatura 2m divisa lo alto de un edificio de altura "H" con un ángulo de elevación de 20°, estando a 40 m de su base. El gráfico sería:
20º 2 m
40 m
H
Otro ejemplo, sería así: Desde lo alto de una torre de 40 m se divisa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 40°. (Complete)
1. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste de 20 m de altura con un ángulo de elevación de 24°. ¿Cuál es la distancia a la que se encuentra el punto de observación de la base del poste?
Resolución: Graficando: 24º 20 m x x = 20cot24º x = 20tan66º x = 20(2,246) x = 44,92 m 2. Desde lo alto de un edificio, se ve dos objetos en tierra
a un mismo lado del edificio, con ángulos de depresión
" " y " " ( > ). Si la altura del edificio es "H", halle la
distancia que separa a los objetos. Resolución: Hcotα x β Hcotβ α H α β Del grafico: Hcot - Hcot = x x = H(cot - cot ) β α β α Problemas resueltos
3. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamos una distancia igual a la mitad de la altura de la torre, el ángulo de elevación es " ". Calcular "tan " y "θ" Resolución: Graficando: 37º θ A1 B C 6 3 5 i) ii) Sea: BC = 6 A B = 8⇒ 1 Pero: A A = 3....1 2 BC2 tan = = 1,2θ y = arctan = 50,1944285ºθ θ = 50º11'40" y tan = 1,2θ 6 5 6 5 A2
Determinación del ancho de un río.
4. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto "C" en un borde del río y visualizando un punto "A" situado en el otro borde. Véase figura. Después de girar un ángulo de 90° en "C", se desplaza 200 metros hasta el punto "B". Aquí mide el ángulo "β" y encuentra que es de 20°. ¿Cuál es el ancho del río?
A
B
C
= 20°
a = 200m
b
Resolución:Buscamos la longitud del lado "b". Conocemos "a" y "b", por lo que usamos la relación:
tan = ba para obtener: tan20° = 200b
⇒ b = 200tan20° ≈72,79 metros el ancho es 72,79 m
Determinación de la inclinación del sendero de una montaña.
5. Un sendero recto con inclinación uniforme conduce de un hotel con una elevación de 8000 pies a un mirador, cuya elevación es de 11100 pies. La longitud del sendero es de 14100 pies. ¿Cuál es la inclinación del sendero? Resolución:
La figura ilustra la situación, buscamos el ángulo " ", como muestra la figura.
14100 3100
senβ = con una calculadora determinamos que: °
≈ β 12,7
La inclinación del sendero es aproximadamente de 12,7° Determinación de una altura mediante el ángulo de elevación.
6. Para determinar la altura de una torre radiotransmisora, un topógrafo se sitúa a 300 metros de su base. Véase la figura. El topógrafo mide el ángulo de elevación y encuentra que es de 40°. Si el tránsito está situado a 2 metros de altura cuando se hace la lectura, ¿qué tan alta es la torre? Resolución: Hotel sendero 14100 pies mirador 11100 pies 3100 pies elevación 8000 pies Hotel 2m
La figura muestra un triángulo que replica la ilustración de la figura dada en el problema. Para encontrar la longitud "b", usamos la relación: tan = b/a. Entonces: b = atan = 300tan40° = 251,73 metros
La altura real es: 251,73 + 2 = 253,73 m
Determinación de la altura de una estatua sobre un edificio.
7. Sobre la azotea del edificio de la Cámara de Comercio de Chicago, se encuentra una estatua de la diosa griega Ceres, diosa de la agricultura. Se hacen dos observaciones desde el nivel de la calle y a 400 pies desde el centro del edificio. El ángulo de elevación hasta la base de la estatua resulta ser de 45,0° y el ángulo medido hasta la parte superior de la estatua resulta ser de 47,2°. Véase la figura. ¿Cuál es la altura de la estatua?
45° 47,2° β = 45° β' = 47,2° 400 pies Resolución: 45° 47,2° β = 45° β ' = 47,2° b b ' a = 400 pies a = 400 pies
La figura muestra dos triángulos que replican la figura anterior. La altura de la estatua será: b' - b. Para encontrar b y b': 400 ' b 2 , 47 tan 400 b 45 tan ° = ∧ °= b = 400tan45° = 400 b' = 400tan47,2° = 431,96 La altura de la estatua es aproximadamente de 32 pies. Cuando no es posible alejarse de la base del objeto cuya altura se busca, se requerirá de un procedimiento más imaginativo.
Determinación de la altura de una montaña
8. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos visuales de la cima desde dos posiciones separadas entre sí 900 metros sobre una línea directa a la montaña. Véase la figura. La primera observación da un ángulo de elevación de 47° y la segunda uno de 35°. Si el tránsito está a 2 metros del suelo, ¿cuál es la altura "h" de la montaña? 35° 900 m h 47° Resolución: 35° 47° 900 m h β' = 35° β = 47°
La figura muestra dos triángulos que replican la ilustración de la figura. A partir de los dos triángulos mostrados, encontramos que:
a b 47 tan 900 a b 35 tan a b tan 900 a b ' tan = ° + = ° = β + = β
Éste es un sistema de dos ecuaciones con dos variables, "a" y "b". Puesto que buscamos "b", escogemos despejar el valor de "a" en la ecuación de la derecha y sustituir el resultado, a = b/tan47° = bcot47°, en la ecuación de la izquierda. Obtenemos: 900 47 cot b b 35 tan + ° = ° b = (bcot47° + 900)tan35° b = bcot47°tan35° + 900tan35° b(1 - cot47°tan35°) = 900tan35°
1816 47 tan 35 tan 1 35 tan 900 35 tan 47 cot 1 35 tan 900 b = ° ° − ° = ° ° − ° =
La altura del pico desde el nivel del suelo es por tanto: 1816 + 2 = 1818 metros
Bloque I
1. Desde un punto en tierra ubicado a 40 m de la base de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 40°. ¿Cuál es la altura de la torre?
a) 33,56399 m b) 42,5541
c) 38,2172 d) 26,3147
e) 29,1723
2. Desde lo alto de un acantilado se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 54°, a una distancia de su base aproximadamente igual a 410 m. ¿Cuál es la altura del alcantilado?
a) 574,3279 m b) 564,3166
c) 610,1243 d) 528,2631
e) 617,2432
3. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste de altura "h" con un ángulo de elevación " ". Si nos acercamos una distancia "D" el ángulo de elevación es " ". Hallar "D".
a) h(tan - tan ) b) h(cot - cot ) c) h(cos - cos ) d) h(sen - sen ) e) h(sec - sec )
4. Desde lo alto de un faro se ven dos barcos en direcciones opuestas con ángulos de depresión " " y " ". Si la altura del faro es "h"; halle la distancia que separa a los barcos. a) h(cos + cos ) b) h(sen + sen ) c) h(tan + tan ) d) h(cot + cot ) e) h(sec + sec )
5. Desde lo alto de un muro de 3,6 m se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 53° y su parte baja con un ángulo de depresión de 37°. ¿Cuál es la altura del poste?
a) 10 m b) 12 c) 18
d) 9 e) 8
6. Desde lo alto de un edificio se ve la parte alta y baja de un árbol con un ángulo de depresión de 45° y 53°. Si la altura del edificio es 24 m, calcular la altura del árbol.
a) 2 m b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
7. Desde un punto en tierra se ve la parte alta del sexto piso de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Calcular aproximadamente el ángulo de elevación con que se vería lo alto del noveno piso.
a) 47°25'32" b) 46°31'28" c) 48°21'59" d) 49°17'38" e) 54°21'38"
8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 20°. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del edificio, el ángulo de elevación es:
a) 32°27'45" b) 29°46'50" c) 40°18'35" d) 28°24'18" e) 26°42'50"
9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Nos acercamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es "90° - ". Calcular: K = cot2 + tan2
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10.Desde el punto medio de la distancia que separa las bases de dos edificios, los ángulos de elevación son complementarios. Calcular el producto de las cotan- gentes de los ángulos de elevación con que se ve lo alto de cada edificio desde la base del edificio opuesto.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 8 e) 16
Bloque II
1. Desde un punto en tierra ubicado a 18 m de la base de un edificio, se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 70°. ¿Cuál es la altura del edificio?
a) 49,4546 m b) 46,3218
c) 39,2872 d) 52,1728
e) 54,3624
2. Desde lo alto de una torre se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 20°; a una distan- cia de su base igual a 32 m. ¿Cuál es la altura de la torre?
a) 8,3216 m b) 11,1220 c) 11,6470 d) 10,2132 e) 14,2136
3. Desde un punto del suelo se ve una torre de altura "h" con un ángulo de elevación " ". Si nos alejamos una distancia "x", el ángulo de elevación es " ". Hallar "x". a) h(cot - cot ) b) h(tan - tan ) c) h(cos - cos ) d) h(sen - sen ) e) h(tan + tan )
4. Desde lo alto de un poste se ve un móvil, a un lado de él con un ángulo de depresión " "; después de que el móvil recorrió "L" y está ubicado al otro lado del poste el ángulo de depresión es " ". Hallar la altura del poste.
a) L(tan + tan ) b) L(cot + cot ) c) cotαL+cotβ d) senαL+senβ
e) tanαL+tanβ
5. Desde lo alto de un muro de 9 m de altura, se ve las partes alta y baja de un edificio con ángulos de elevación y depresión de 45° y 37° respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio?
a) 19 m b) 20 c) 21
d) 23 e) 29
6. Desde lo alto de una torre se ve la parte alta y baja de un muro con ángulos de depresión de 37° y 45° respectivamente. Si la torre mide 16 m, ¿cuánto mide el muro?
a) 2 m b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
7. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 45°. Si nos alejamos una distancia igual al triple de la altura de la torre, el ángulo de elevación sería:
a) 14°2'10" b) 16°2'18" c) 13°2'12" d) 10°10'4" e) 8°21'30"
8. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un muro con un ángulo de elevación de 50°. Si nos alejamos una distancia igual al doble de la altura del muro, el ángulo de elevación mide:
a) 18°21'42" b) 9°24'13" c) 20°21'43" d) 19°21'42" e) 18°32'14"
9. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Nos alejamos una distancia igual a la altura del poste y el ángulo de elevación es 90° - . Calcular: K = tan2 + cot2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
10.Si desde un punto en tierra se ve las partes altas del cuarto y noveno piso de un edificio con ángulos de elevación "α" y "90° -α" respectivamente, calcular: tanα
a) 32 b) 23 c) 34
d) 43 e) 31
Bloque III
1. La torre Eiffel, terminada el 31 de marzo de 1889, fue la torre más alta hasta que inició la era de las torres de televisión. Encuentre la altura de la torre Eiffel (sin el mástil de televisión instalado en su parte superior) usando la información dada en la figura.
85,361°
50 pies
2. Un barco, cerca de un acantilado vertical de 100 pies de altura, hace una lectura del borde del acantilado. Si el ángulo de elevación es de 25°, ¿qué tan lejos está el barco de la costa?
3. Suponga que se dirige hacia una meseta de 50 metros de altura. El ángulo de elevación a la meseta es de 20°. ¿Qué lejos está usted de la base de la meseta? 4. Un barco se encuentra en la bahía de Nueva York; desde
él se toma una visual a la estatua de la libertad, que tiene aproximadamente 305 pies de altura. Si el ángulo de elevación a la parte superior de la estatua es de 20°, ¿qué tan lejos está el barco de la base de la estatua? 5. Para medir la altura de un edificio, se toman dos visuales
desde dos puntos situados a 50 pies entre sí. El ángulo de elevación de la primera es de 40° y el de la segunda es de 32°. ¿Cuál es la altura del edificio?
6. Una de las siete maravillas del mundo antiguo, la gran pirámide de Keops fue construida alrededor del año 2580 a.C. Su altura original era de 480 pies 11 pulgadas, pero debido a la pérdida de sus bloques superiores, es ahora algo más baja. Encuentre la altura actual de la gran pirámide a partir la información dada en la figura.
200 pies 40,3°
7. Se debe hacer pasar un rayo láser a través de un pequeño agujero en el centro de un círculo de 10 pies de radio. El origen del rayo está a 35 pies del círculo (véase la figura). ¿Con qué ángulo de elevación debe dirigirse el rayo para que pase por el agujero?
8. Dos observadores miden simultáneamente el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo resulta de 25° y el otro de 40° (véase la figura). Si los observadores están a 100 pies uno del otro y el helicóptero se encuentra sobre la línea que los une, ¿qué tan alto vuela el helicóptero?
9. Un alambre sujetador de 80 pies de longitud está unida a la parte superior de una torre formando un ángulo de 25° con el terreno. ¿Qué tan alta es la torre?
10.Los ojos de un jugador de baloncesto están a 6 pies del piso. El jugador se encuentra en la línea de tiro libre que está a 15 pies del centro del borde de la canasta. (Véase la figura). ¿Cuál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del borde? (Sugerencia: el borde está a 10 pies arriba del suelo)
11.Un carpintero va a techar un garaje de 20 x 40 x 20 pies. Coloca una columna de soporte de acero de 46 pies de altura en el centro del garaje. Para apoyar el techo, una viga se unirá a la parte superior de la columna (veáse la figura). ¿Qué ángulo de elevación tiene la viga? En otras palabras, ¿qué inclinación tendrá el techo?
viga
20 pies 46 pies
40 pies 20 pies
12.Determinación de distancias desde el mar. El navegante de un barco visualiza dos faros separados 3 millas entre sí a lo largo de un tramo recto de la costa. Determina que los ángulos formados entre las dos líneas visuales a los faros y la visual dirigida perpendicularmente a la costa miden 15° y 35°. Véase la figura.
a) ¿Qué tan lejos está el barco de la costa? b) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "A"? c) ¿Qué tan lejos está el barco del faro "B"?
15° 35°
PAMER - CIENCIAS TRIGONOMETRIA