temporal logic
Definicija 3.6 Deduktivni sistem LT-PTL ima slede´ce aksiome: 1. Sve tautologije klasiˇcnog iskaznog raˇcuna
2. (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ B) 3. ⃝A ⇔ ¬ ⃝ ¬A
3.4. Deduktivni sistem za linear time propositional temporal logic 117
5. A ⇒ (A ∧ ⃝A ∧ ⃝A) 6. (A ⇒ ⃝A) ⇒ (A ⇒ A)
Pravila izvod¯enja su Modus Ponens(MP) i Generalizacija(Gen): M P : A, A⇒ B
B Gen : A
A.
Na osnovu T3, T4, T5, T6 i T7 vidimo da su sve aksiome LT-PTL sistema valjane u svim linearnim interpretacijama. S obzirom da pravila izvod¯enja ˇ
cuvaju osobinu valjanosti u (linearnim) interpretacijama, zakljuˇcujemo da vaˇzi slede´ca teorema:
Teorema 3.8 Deduktivni sistem LT-PTL je pouzdan u svim lineranim in-
terpretacijama logike PTL’.
Kao i u klasiˇcnoj iskaznoj logici, na osnovu aksioma dedultivnog sistema moˇzemo formulisati odgovaraju´ca izvedena pravila deduktivnog sistema:
Gen1 : A⇒ B A ⇒ B Gen2 : A⇒ B ⃝A ⇒ ⃝B Ind : A⇒ ⃝A A⇒ A Exp1 : A A Exp2 : A ⃝A Exp3 : A ⃝A.
Kao i u klasiˇcni iskaznom raˇcunu, izvod¯enja ´cemo pisati korak po korak, a sa desne strane svakog koraka ´cemo pisati obrazloˇzenje za taj korak, navode´ci u zagradi broj koraka u dokazu na koji je pravilo primenjeno. U sluˇcaju da koristimo aksiomu 1 (tj. ako smo koristili neku klasiˇcnu tautologiju ili izvedeno pravilo iz klasiˇcnog iskaznog raˇcuna, kao obrazloˇzenje ´cemo pisati samo ”PC” (”propositional calculus”).
Primer 3.8 U deduktivnom sistemu LT-PTL dokaˇzimo formuluA ⇔ A (tranzitivnost):
1. A ⇒ A Exp1
2. A ⇒ ⃝A Exp3
3. A ⇒ A Ind(2.)
Primer 3.9 U deduktivnom sistemu LT-PTL dokaˇzimo formulu ⃝(p ∧ q) ⇔ (⃝p ∧ ⃝q) (distributivnost). 1. p∧ q ⇒ p P C 2. ⃝(p ∧ q) ⇒ ⃝p Gen2(1.) 3. p∧ q ⇒ q P C 4. ⃝(p ∧ q) ⇒ ⃝q Gen2(3.) 5. ⃝(p ∧ q) ⇒ (⃝p ∧ ⃝q) P C(2.4.) 6. ⃝(p ⇒ ¬q) ⇒ (⃝p ⇒ ⃝¬q) Ax2 7. ¬(⃝p ⇒ ⃝¬q) ⇒ ¬ ⃝ (p ⇒ ¬q) P C(6.) 8. (¬ ⃝ p ∨ ⃝¬q) ∨ ¬ ⃝ (p ⇒ ¬q) P C(7.) 9. (¬ ⃝ p ∨ ¬ ⃝ q) ∨ ¬ ⃝ (p ⇒ ¬q) Ax3(8.) 10. (⃝p ∧ ⃝q) ⇒ ⃝(p ∧ q) P C(9.) 11. (⃝p ∧ ⃝q) ⇔ ⃝(p ∧ q) P C(5.10.)
Primer 3.10 U deduktivnom sistemu LT-PTL dokaˇzite (sami!) formulu
(p ∧ q) ⇒ (p ∧ q).
Primer 3.11 U deduktivnom sistemu LT-PTL dokaˇzimo formulu p∧ ⃝p ⇒ p. 1. p ⇒ (p ∧ ⃝p) Ax5. 2. ⃝p ⇒ ⃝(p ∧ ⃝p) Gen2(1.) 3. p∧ ⃝p ⇒ ⃝(p ∧ ⃝p) P C(2.) 4. p∧ ⃝p ⇒ (p ∧ ⃝p) Ind(3.) 5. (p ∧ ⃝p) ⇒ (p ∧ ⃝ p) P rimer(prethodni) 6. p∧ ⃝p ⇒ (p ∧ ⃝ p) P C(4.5.) 7. p∧ ⃝p ⇒ p P C(6.)
Za veˇzbu, ˇcitalac moˇze na´ci izvod¯enja za slede´ce formule: 1. (p ∧ q) ⇒ (p ∧ q)
2. (p ∨ q) ⇒ (p ∨ q) 3. ⃝(p ∨ q) ⇒ (⃝p ∨ ⃝q) 4. ⃝ p ⇔ ⃝p
3.4. Deduktivni sistem za linear time propositional temporal logic 119 5. (p⇒ ♢p) ∧ (⃝p ⇒ ♢p) ∧ (p ⇒ ♢p)
6. ♢(p ∨ q) ⇔ (♢p ∨ ♢q)
(Za reˇsenja videti knjigu M. Ben-Ari: Mathematical Logic for Computer Science, Springer, 2001, str 259-260.)
Glava 4
Skupovi, ordinali, kardinali
O paradoksima u matematici
Najˇsire shva´ceno, paradoks (ili antinomija) je rasud¯ivanje koje vodi u protivureˇcnost, iako izgleda da su polazne postavke taˇcne, a pravila ra- sud¯ivanja ispravna. Krajem XIX veka otkriveni su neki paradoksi u naivnoj teoriji skupova, koji u poˇcetku nisu smatrani previˇse ozbiljnim. No, kada je Bertrand Russell 1902. godine obavestio matematiˇcare i filozofe svog vremena o otkrivanju jednog paradoksa, koji leˇzi na poˇcetnim stepenicama teorije skupova, doˇslo je do prave krize matematike. Naime, potrebne su samo male izmene u formulaciji Russellovog paradoksa, da bi se dobila kon- tradikcija koja se moˇze formulisati na jeziku ve´cine logiˇckih pojmova.
Sigurno da Russellov paradoks nije bio prvi koja se pojavio u mate- matici. Joˇs su se stari Grci suoˇcavali sa nekim paradoksima koji su doveli do pravih kriza u matematici. No, njihovim razreˇsavanjem uvek je, pre ili kasnije, dolazilo do kvalitativnog razvoja odred¯ene matematiˇcke discipline. Setimo se samo da je fenomen nesamerljive dijagonale inspirisao tadaˇsnje matematiˇcare tako jako, da se izradila ˇcitava jedna teorija, tzv. teorija pro-
porcija (sadrˇzana u V i X knjizi Euklidovih elemenata), a iz te teorije je kasnije izrasla teorija iracionalnih brojeva. Sliˇcno, teorija ekshaustije je bila inspirisana jednim paradoksom koji ima viˇse oblika, a suˇstina je uvek u tome da se jedna konaˇcna veliˇcina ne moˇze izgraditi od beskonaˇcno mnogo beskonaˇcno malih veliˇcina. Na primer, taj paradoks je suˇstina priˇce o trci Ahila i kornjaˇce. U teoriji ekshaustije su sadrˇzani, u stvari, ele- menti integralnog raˇcuna. Poˇcetkom XIX veka do krize matematike je
ponovo dovela neograniˇcena, bezobzirna i nepaˇzljiva primena beskonaˇcno malih veliˇcina. Izlaskom iz te krize (pre svega radovima Cauchyja i Weier- strassa) matematiˇcka analiza je postavljena na sigurnije temelje.
Otkrivanje paradoksa u teoriji skupova krajem XIX veka dovelo je do naglog razvoja matematiˇcke logike, ˇsto je svakako uticalo kako na modernu matematiku, tako i na logiku kao filozofsku disciplinu. Da ilustrujemo kako i zaˇsto je (pre svega) Russellov paradoks toliko uzdrmao osnove matematike i logike, navedimo nekoliko paradoksa, koji imaju analognu strukturu kao Russellov paradoks, a formulisani su u veoma jednostavnim terminima.
• Paradoks laˇzova
Najstarija verzija tog paradoksa je ˇcuvena reˇcenica kritskog filozofa Epimenida ”Svi Kri´cani laˇzu”, koja (bez dodatnih pojaˇsnjenja) joˇs ne dovodi do kontradikcije, ali se moˇze lako prepraviti u reˇcenicu koja ve´c krije u sebi protivureˇcnost. Na primer, danas je izvesni Pera Peri´c napisao jednu jedinu reˇcenicu: ”Jedina reˇcenica, koju je Pera Peri´c danas napisao, jeste netaˇcna.” Ili, joˇs jednostavnije, ”Ova reˇcenica je laˇzna.” Da li je ta reˇcenica taˇcna ili ne?
• Paradoks brice
Bilo jednom jedno selo koje je imalo svog bricu. Brica je brijao taˇcno one ljude u selu koji se ne briju sami. Pitanje je da li se brica sam brije ili ne?
• Richardov paradoks (1905)
Richardov paradoks je, u stvari, karikatura Cantorovog dijagonalnog postupka. Naime, posmatrajmo one realne brojeve izmed¯u 0 i 1 koji se mogu okarakterisati reˇcenicom konaˇcne duˇzine. Jasno, ovakvih brojeva ima prebrojivo mnogo. Pored¯ajmo ih nekako u niz i neka je r broj sa osobinom ”Na i-tom decimalnom mestu u zapisu broja r stoji 1, ako
i-ti broj u tom nizu na i-tom decimalnom mestu ima cifru razliˇcitu od 1; inaˇce, (ako i-ti broj u tom nizu na i-tom decimalnom mestu ima cifru 1) neka r na i-tom decimalnom mestu ima cifru 2.” Tada r istovremeno i mora biti na tom spisku a i ne moˇze biti na tom spisku.
• Grellingov paradoks (1908)
U ovom paradoksu razmatra se tzv. ”samoprimenjivost” reˇci. Prime- timo, naime, da neke reˇci imaju istu osobinu koju oznaˇcavaju. Na primer, reˇc ”srpski” je srpska reˇc, ”viˇsesloˇzno” je viˇsesloˇzna reˇc, ”ap- straktno” je apstraktna reˇc, itd. Neke druge reˇci, pak, nemaju tu
123 osobinu, na primer: ”plavo”, ”daleko”, ... Nazovimo te reˇci hetero-
gene. Pitanje je, da li je reˇc ”heterogeno” heterogena ili ne? ˇ
Sta su zajedniˇcke osobine svih ovih paradoksa? To je pre svega neka vrsta ”samopozivanja” (”self-reference”); dalje, kljuˇcni pojam se definiˇse pomo´cu neke totalnosti kome i on sam pripada i u svim paradoksima imamo neko kruˇzenje u argumentaciji. No, izbaciti iz rezonovanja sve takve
pojmove moˇzda bi bio suviˇse jak lek – moˇzda bi ”zajedno sa vodom izbacili i dete iz korita”.
Kada su se paradoksi ovog tipa pojavili i u teoriji skupova, matema- tiˇcari tog vremena su razliˇcito reagovali. Neki su se brzo trgli posle pr- vog ˇsoka, zakljuˇcivˇsi da su svi ti paradoksi veˇstaˇcki (kao ˇsto su veˇstaˇcke i sve neprekidne funkcije koje nigde nemaju izvod) i da na polja pravih matematiˇckih istraˇzivanja (na analizu i geometriju) ovi paradoksi ne utiˇcu direktno. No, drugi su se ozbiljno zabrinuli, pre svega zato ˇsto se paradoks javio u osnovama matematike. Takod¯e, sama logika je dovedena u pitanje. Teˇsko je povu´ci granicu izmed¯u matematike i logike pa ako ve´c moramo praviti restrikcije u primeni logike u matematici, onda je bolje te restrikcije formulisati eksplicitno, nego zaˇzmuriti i nadati se da valjda ne´ce do´ci do haosa.
Naivna teorija skupova i paradoksi
Teorija skupova bila je stvorena radovima matematiˇcara XIX veka koji su hteli da razrade osnove matematiˇcke analize, i prvi radovi iz te oblasti (Bolzano, Dedekind) su bili posve´ceni skupovima brojeva i skupovima funk- cija. Za oca teorije skupova se smatra Georg Cantor. On je prvi poˇceo da razmatra skupove sa proizvoljnim elementima. U periodu 1871–1883 on je postavio temelje teorije dobro ured¯enih skupova i objavio prve radove o kardinalnim i ordinalnim brojevima.
Cantorova otkri´ca iz tzv. apstraktne teorije skupova u poˇcetku su se suoˇcavala sa nepoverenjem i ˇcak sa otvorenim protivljenjem ve´cine mate- matiˇcara, dok su filozofi uglavnom bili nezainteresovani. Tek se poˇcetkom devedesetih godina teorija skupova poˇcinje naglo i ˇsiroko primenjivati u ana- lizi i geometriji. Med¯utim, baˇs u trenutku kada je teorija skupova trebala da dosegne svoj vrhunac, 1895. Cantor sre´ce prvi paradoks u svojoj teoriji. On ga saopˇstava Hilbertu 1896. ali ga ne publikuje. Naime, problem se pojavio u priliˇcno tehniˇckom delu teorije dobro ured¯enih skupova i postojala je nada
da bi male revizije u dokazima teorema, koje pripadaju tom delu, popravile situaciju. Godinu dana kasnije Burali–Forti ponovo otkriva taj paradoks, pubikuje ga i danas je on poznat pod imenom Burali–Fortijev paradoks.
• Burali–Fortijev paradoks (1897)
Po jednoj teoremi, dobro ured¯en skup W svih ordinala ima ve´ci ordinal od svih elemenata od W . No, to bi znaˇcilo da je W ve´ci od svih ordinala, pa i od samog sebe.
Dve godine kasnije Cantor otkriva sliˇcan paradoks u teoriji kardinala (publikuje ga tek 1932):
• Cantorov paradoks (1899)
Po Cantorovoj teoremi, skup P(S) ima ve´ci kardinal od S. Posmatra- jmo sada skup svih skupova, u oznaci U . Tada P(U) ima ve´ci kardinal od U , ˇsto je nemogu´ce jer P(U) ⊆ U.
U junu 1901. godine Russell zapaˇza isti fenomen i posle analize dokaza Cantorove teoreme konstruiˇse novi paradoks, koji je mnogo elementarniji – ne trebaju nam ni podskupovi ni partitivni skupovi ni pojam kardinala. Podsetimo se dokaza Cantorove teoreme. Da bi se dokazalo da P(X) ima ve´ci kardinalni broj od skupa X, pretpostavi se suprotno tj. krene se od pretpostavke da postoji injekcija φ : P(X) → X, pa se za skup
A ={φ(S) : φ(S) ̸∈ S, S ⊆ X}
dobija zakljuˇcak
φ(A)∈ A ⇔ φ(A) ̸∈ A.
Poˇsto smo doˇsli do kontradikcije, naˇsa polazna pretpostavka nije taˇcna, tj. ne postoji injekcija φ : P(X) → X.
• Russellov paradoks (1903)
Posmatrajmo skup S = {X : X ̸∈ X} tj. skup svih skupova koji nisu elementi samog sebe. Da li je S element od S ili nije? Odgovor na to pitanje je kontradiktoran, jer po definiciji skupa S,
125 Russell obaveˇstava Fregea pismom o svom otkri´cu, i publikuje paradoks 1903. godine. Istovremeno a nezavisno od Russella, taj isti paradoks raz- matra grupa matematiˇcara, sa Zermelom na ˇcelu, u G¨ottingenu.
Za razliku od prva dva paradoksa, Russellov je bio pravi ˇsok za one matematiˇcare koji su u to vreme bili okupirani problemima fundamenata. Tako, Dedekindov esej (1888) o prirodi i smislu brojeva bazira teoriju brojeva na relaciji pripadanja i koristi pojam skupa u Cantorovom smislu. Zbog Russellovog paradoksa Dedekind je zaustavio neko vreme publikovanje svog eseja. Joˇs neprijatnije se iznenadio Frege. On je tada baˇs bio stavio poslednje crte na svoj glavni rad o formalnim sistemima, kada mu je Russell pisao o svom otkri´cu. U prvim reˇcenicama apendiksa Frege priznaje da je Russellov paradoks poljuljao fundamente njegovog rada. Takod¯e, vode´ci matematiˇcar tog vremena, Poincar´e, koji je u poˇcetku propagirao primenu teorije skupova, posle Russellovog otkri´ca se jednostavno okrenuo protiv te teorije.
Russellov paradoks nas podse´ca na priˇcu o ”selu i brici.” No, priˇca o ”selu i brici” ima jasno reˇsenje: prosto, naˇs brica je samokontradiktoran, pa se jednostavno zakljuˇcuje da takvo selo ne moˇze da postoji. Med¯utim, u sluˇcaju skupa S iz Russellovog paradoksa nije uopˇste jasno zaˇsto on ne bi postojao i zaˇsto je on samokontradiktoran? I ako jeste (a jeste), koji joˇs skupovi nose u sebi sliˇcnu kontradikciju?
Iako nije mogao da reˇsi Russellov paradoks, sam Cantor nije ni za trenu- tak izgubio veru u svoju teoriju. Cinjenica, da se i dalje ˇˇ ceˇs´ce govori o
paradoksima ili antinomijama a ne o kontradikcijama, pokazuje da
ve´cina matematiˇcara, ipak, ”ne ˇzeli da bude izgnana iz raja u koji nas je Cantor uveo” (Hilbert, 1926).
Kako izbe´ci paradokse u teoriji skupova?
Analiza paradoksa u naivnoj teoriji skupova je dovela poˇcetkom XX veka do razliˇcitih planova za njihovo odstranjivanje. Napomenimo, da u to vreme nije bilo jasno, ˇsta bi mogla biti baza za eliminaciju Russellovog paradoksa. Osetila se potreba za skretanjem od uobiˇcajenog miˇsljenja kako u logici tako i u matematici, ali nije bilo jasno gde uˇciniti to skretanje.
Ve´cina pokuˇsaja izgradnje sigurnije baze za teoriju skupova moˇze se podeliti u tri grupe: to su logicistiˇcki, intuicionistiˇcki i aksiomatski pristup.
• Logicistiˇcki pristup
Logicisti su smatrali da je matematika deo logike i da za ”poprav- ljanje” osnova matematike pre svega treba intervenisati u logici. U okviru logicistiˇckog pristupa izdvojimo Russellovu opˇstu teoriju klasa (tzv. teoriju tipova). U toj teoriji Russell je ograniˇcavao formule koje koristimo: naime, svakom objektu je dodelio nenegativan ceo broj (”tip” objekta) i formula x ∈ y ima smisla samo ako je tip od y za jedan ve´ci od tipa od x. U tako dobijenoj teoriji se zaista ne javljaju uoˇceni paradoksi, no, strogim prihvatanjem teorije tipova mnogi rezul- tati teorije skupova (i matematike) postaju nepotrebno sloˇzeni. Quine je u svojoj knjizi New Foundation for Mathematical Logic (1937) dora- dio i modifikovao Russellovu teoriju tipova. Ta teorija skupova se kas- nije nazvala New Foundation (NF), ali zbog svojih ˇcudnih osobina (na primer nesaglasnosti sa Aksiomom izbora), ta teorija nikad nije postala opˇste prihva´cena. U logicistiˇcki pristup modifikacije Cantorove teorije spada joˇs i Hilbertov pokuˇsaj uvod¯enja tzv ε−operatora kao i smeˇstanje teorije skupova u okvire viˇsevrednosnih logika (u kojima,
na primer, iskaz p⇔ ¬p ne mora biti nuˇzno netaˇcan).
• Intuicionistiˇcki pristup
Zajedniˇcka odlika svih do sada navedenih naˇcina reˇsavanja problema zasnivanja matematike jeste nastojanje da se paradoksi izbegnu sa ”ˇsto manje bola” i da se saˇcuvaju svi postoje´ci rezultati Cantorove teorije skupova. Za razliku od toga, intuicionistiˇcki pristup uk-
lanja paradokse tako ˇsto radikalno menja logiku i time dovodi u pi- tanje ˇcitave grane klasiˇcne matematike. Ideje intuicionizma prvi put su glasno izrekli Kronecker i njegovi saradnici (1870-1880), oglaˇsavaju´ci se protiv metoda Weierstrassa. Nov podstrek su dobili 1904. go- dine, kada je dokazana teorema o dobrom ured¯enju, tako da je 1907. Brouwer eksplicitno definisao teze intuicionizma, dok Heyting daje ak- siome te teorije 1930. godine. Osnovna odlika intuicionista jeste ˇsto oni ne priznaju univerzalni karakter nekih osnovnih zakona logike i tvrde da se postojanje u matematici poklapa sa konstruktibilnoˇs´cu.
Na primer, po intuicionistiˇckom rezonu, zakon o iskljuˇcenju tre´ceg
(P ili ne P) doduˇse vaˇzi za konaˇcne skupove, ali nema nikakvog oprav- danja preneti ga na beskonaˇcne skupove. Takod¯e, intuicionisti ne priz- naju tzv. indirektne i egzistencijalne dokaze: tvrd¯enje ”nije istina da za svako x vaˇzi P (x)” ne dokazuje postojanje objekta x sa osobi- nom ¬P (x). Ovakvo rezonovanje, po njima, moˇze biti samo povod za traˇzenje konstruktivnog dokaza. Drugim reˇcima, intuicionisti ´ce
127 priznati postojanje dotiˇcnog objekta x samo ako imamo naˇcin za nje- govu konstrukciju.
• Aksiomatski pristup
Prvi aksiomatski sistem teorije skupova dao je Zermelo, 1908. go- dine. Posle je Fraenkel dopunio taj sistem, tako da se on danas zove
ZF sistem aksioma, i mi ´cemo ga u daljem tekstu detaljno izloˇziti. Pored ZF sistema, u upotrebi je joˇs i tzv. NBG sistem aksioma. Tu teoriju je prvobitno uveo von Neumann (1925, 1928), a zatim su ga dopunili R. Robinson (1937), P. Bernays (1937-1954) i K. G¨odel (1940). Von Neumannova ideja je bila da do kontradikcije u Can- torovoj teoriji skupova ne dolazi zbog velikih ”nezgodnih” skupova, nego zato ˇsto su ti veliki skupovi neˇciji elementi. Tako, on je nekim objektima zabranio da budu elementi nekog drugog objekta – te ob- jekte zovemo klase. Objekte koji su elementi nekog drugog objekta on zove skupovi. Za razliku od ZF teorije, NBG teorija ima konaˇcno mnogo aksioma. No, iako se ZF teorija moˇze smatrati za podteoriju NBG teorije, ˇsto se tiˇce protivureˇcnosti, one su ravnopravne. Naime, moˇze se dokazati da je ZF teorija neprotivureˇcna ako i samo ako je neprotivureˇcna NBG teorija. Naravno ni u jednoj teoriji se ne mogu izvesti poznati paradoksi iz Cantorove teorije skupova.
Malo filozofije
Aksiomatske teorije se u matematici ne konstruiˇsu samo kada se u nekoj teoriji pojavi paradoks. Kod mnogih bogatih matematiˇckih teorija (kao ˇsto su recimo geometrija, matematiˇcka analiza, matematiˇcka logika ili teorija skupova) semantika jeste priliˇcno nejasna i nosi delom filozofski karakter. Ako se oslonimo samo na intuiciju, lako dolazimo do raznih nejasno´ca i nesporazuma prilikom opisa konkretnih modela tih teorija.
Za izuˇcavanje ovakvih bogatih matematiˇckih teorija, sa sloˇzenom i nejas- nom semantikom, veliki matematiˇcar David Hilbert je poˇcetkom dvadesetog veka predloˇzio tzv. metod formalizacije. Metod se sastoji u tome, da umesto da radimo sa nepreciznom, maglovitom, intuitivnom teorijom T , konstruiˇsemo formalnu aksiomatsku teoriju T , koja opisuje semantiˇcke zahteve neformalne teorije T . To znaˇci da se prvo dogovorimo ˇsta su nam
polazni pojmovi (koje ne definiˇsemo eksplicitno), polazne pretpostavke o tim pojmovima (tzv. aksiome teorije T ) i pravila izvod¯enja, pomo´cu ko-
jih iz aksioma izvodimo tvrd¯enja u teoriji T . Naravno, pri tome se trudimo da aksiome i pravila izvod¯enja od T budu ”ˇsto bliˇze” neformalnoj teorijiT . Ako smo sve dobro odabrali, onda stavovi koje izvodimo formalno iz ak- sioma teorije T , (zaboravljaju´ci na znaˇcenje) jesu sadrˇzajno taˇcne sa taˇcke glediˇsta teorije T i izraˇzavaju makar neki fragment teorije T . Ako je taj fragment zadovoljavaju´ce veliki i ako obuhvata sve interesantne crte teorije
T , onda formalnu teoriju T moˇzemo podvrgnuti preciznom matematiˇckom
ispitivanju i na taj naˇcin suditi o semantici neformalne teorijeT .
Naravno, aksiomatske teorije su se u matematici pojavljivale i pre Hil- bertovog programa o formalizaciji matematike. Prvi primer formalno-aksi- omatskog metoda u matematici moˇzemo prona´ci joˇs kod Euklidovih ele-
menata. U njima je pre svega aksiomatizovana geometrija (mada su neke
od tih knjiga posve´cene aritmetici). Euklidov aksiomatski sistem nije bio bez mana (na primer, u njemu nalazimo ”definicije” osnovnih pojmova kao ˇsto su taˇcka, prava, a nedostaju aksiome neprekidnosti,...) ali predstavlja veliki korak u razvoju matematike uopˇste. Geometrija je dala bar joˇs dva znaˇcajna doprinosa afirmaciji formalno-aksiomatskog metoda. Prvi je razvoj
neeuklidskih geometrija, koji je krenuo kada su se, posle puno neuspelih
pokuˇsaja dokaza V Euklidovog postulata o paralelama, stvari poˇcele posma- trati iz drugog ugla: konstruisani su modeli u kojima taj stav ne vaˇzi. To je verovatno i prvi dokaz nezavisnosti nekog stava od neke teorije. Drugi (odnosno tre´ci) veliki doprinos geometrije aksiomatskoj metodi predstavlja
Hilbertov sistem aksioma za geometriju, koji je i dan-danas jedan od naj-
lepˇsih primera aksiomatske teorije u matematici.
Pored geometrije, danas moˇzemo na´ci primere aksiomatski zasnovanih teorija u svim oblastima matematike: od matematiˇcke logike (formalni is- kazni raˇcun, formalni kvantifikatorski raˇcun, razne neklasiˇcne logike, teorije skupova), preko topologije do algebre i teorije kategorija. Pri tome moˇzemo primetiti da postoji dva suˇstinski razliˇcita pristupa aksiomatizaciji. Odlika prvog pristupa jeste kategoriˇcnost: trudimo se da prilikom aksiomatizacije
uhvatimo ˇsto viˇse od neformalne teorije T , i da je ˇsto taˇcnije opiˇsemo (tj. da modeli od T budu jedini modeli formalne teorije T ). Za razliku od toga, u drugom pristupu glavni naglasak je na sveobuhvatnosti: ˇzelimo da formalna teorija T obuhvati ˇsto viˇse ”svetova” razliˇcite prirode tj. da
otkrijemo zajedniˇcke osobine ˇsto viˇse neformalnih teorija (kao ˇsto je sluˇcaj u univerzalnoj algebri, algebarskoj logici ili teoriji kategorija).
ˇ
Sta su dobre strane aksiomatskog metoda uopˇste? Najvaˇznija dobra osobina formalnih aksiomatskih teorija jeste ˇsto se stavovi u njima izvode
129 formalno iz aksioma, i ˇsto se upotreba intuicije (ˇsto moˇze biti izvor ne- preciznosti) svodi na neizbeˇzan minimum. Drugim reˇcima, za razumevanje
relacije formalne izvodivosti (T ⊢ φ) nema potrebe ulaziti u moˇzda
sloˇzenu i nejasnu semantiku teorije T . Da bi ustanovili da li je φ teorema teorije T (tj. da li T ⊢ φ) dovoljno je konstruisati neko drvo izvod¯enja tj. opisati jednostavan sintaktiˇcki objekat sastavljen od simbola po strogim
pravilima. Ako formalna teorija T ukljuˇcuje logiku prvog reda, onda moˇzemo precizirati pojmove kao ˇsto su neprotivureˇcnost, potpunost teorije T , kao i to kada je neki stav saglasan odnosno nezavisan od T . Naime, kaˇzemo da