Cada praxeología matemática y didáctica se constituye de diferentes objetos ostensivos y no ostensivos, que afectan todos sus componentes (tareas, técnicas, tecnologías y teoría). Para Bosch (2003) los objetos de representación son los objetos ostensivos15, caracterizados por ser percibidos y de gozar de materialidad. Los objetos ostensivos son “manipulables” por el sujeto humano (ej. un sonido puede ser emitido y recibido). Dicha manipulación designa los diferentes usos de los objetos ostensivos (Bosch, 1994).
Los objetos ostensivos cumplen dos funciones: la valencia semiótica que es la posibilidad de ser los signos de otros objetos, generalmente objetos no ostensivos, a los cuales representan y la valencia instrumental que es la capacidad de integrarse en manipulaciones técnicas, tecnológicas y teóricas.
Bosch y Chevallard (1999) consideran que la función semiótica de los objetos ostensivos y su capacidad de producir sentido, no puede ser separada en efecto de su función instrumental. Ambas valencias de los objetos ostensivos dependen de las prácticas del sistema institucional donde son activados.
En cuanto a los objetos no ostensivos16, se dice que no se pueden percibir ni tocar, pero se pueden evocar o invocar mediante la manipulación de ciertos objetos ostensivos.
Ambos objetos se encuentran relacionados en lo que se le llama la dialéctica del objeto ostensivo y no ostensivo: “se dice que los objetos no ostensivos emergen de la manipulación de objetos ostensivos, pero la manipulación está guiada y controlada por los objetos no ostensivos” (Bosch, 2003, p.19).
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Como los gestos, escrituras, los gráficos, discursos, sonidos, entre otros. 16
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En las actividades matemáticas se pueden presentar varios registros de objetos ostensivos, como:
Los registros orales, registros de traza (en los que se incluyen las gráficas y las producciones escritas), los registros gestuales y finalmente los registros que se pueden llamar de materialidad genérica, por falta de una mejor palabra, es decir donde el registro de ese objeto ostensivo no pertenece a ninguno de los registros de arriba. Estos registros no funcionan desligados unos de otros. (Bosch & Chevallard, 1999, p. 96).
Respecto a las relaciones de los objetos ostensivos y no ostensivos, Bosch y Chevallard (1999) determinan que la puesta en marcha de una técnica implica la manipulación de objetos ostensivos que a su vez son determinados por un objeto no ostensivo. Los objetos ostensivos se constituyen en la parte perceptible de la actividad, es decir lo que en la realización de la tarea se puede ver. Por ejemplo, la técnica que lleva a escribir
, conduce a una manipulación del objeto ostensivo escrito (paréntesis, letras, cifras, etc.), orales (pequeños discursos del tipo “ más , …”) y gestuales (por ejemplo para agrupar los términos del mismo grado y verificar que no se olvidó ninguno). Esta manipulación es guiada por objetos no ostensivos, entre los cuales se encuentra el orden decreciente de los exponentes de los términos, los términos y grado de los polinomios, la factorización por , la de adición de polinomios, etcétera.
En cuanto a los objetos ostensivos y no ostensivos en ambientes de L/P y CAS se han caracterizado en relación a la factorización de polinomios, tomando como ejemplo la situación de factorización de los polinomios de la forma (Lagrange, 2000b).
En relación a los objetos ostensivos y no ostensivos en CAS (Ver Figura 5), se dice lo siguiente:
En comparación con la factorización habitual, la factorización en CAS es vista desde dos niveles: en los objetos ostensivos están los comandos y sus resultados, en los objetos no ostensivos hay una cierta conciencia de las restricciones determinadas por las características efectivas y funcionales del sistema. En el caso de la factorización, son las restricciones de los algoritmos y la unicidad del resultado. La informática como la ciencia de los algoritmos imprime su marca a los objetos no ostensivos, y por medio de otras
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entidades, las matemáticas, son evocadas en las prácticas habituales. Es por eso que se apela a la “informática” de estos objetos no ostensivos (Lagrange, 2000b, p. 71).
Figura 5. Prácticas con CAS. Objetos ostensivos y no ostensivos (Lagrange, 2000b, p. 71).
En las Figuras 5, 6 y 7 las flechas en doble dirección dan cuenta de la dialéctica entre los objetos ostensivos y no ostensivos. Mutuamente existe una emergencia y control, qué quiere decir esto, son los objetos ostensivos los que hacen emerger los objetos no ostensivos y viceversa, y a su vez cada uno ejerce un control sobre el otro.
Sobre lo factorización en L/P o habitual se presentan en la Figura 6 las relaciones entre sus objetos ostensivos y no ostensivos.
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En cuanto a la diferenciación de los objetos ostensivos y no ostensivos en ambientes de L/P y CAS, Lagrange (2000b) los resume en la Tabla 1.
Tabla 1. Objetos ostensivos y no ostensivos en ambientes de L/P y CAS (Lagrange, 2000b, p.72).
A.TIPO DE OBJETOS B.PRÁCTICA CON L/P C.PRÁCTICA CON CAS
1. OSTENSIVOS - Expresiones “habituales”. (símbolos,
paréntesis) - Reescrituras
- Expresiones CAS (símbolos, paréntesis, comandos, argumentos…) - Inmediatez del gesto.
2. NO
OSTENSIVOS
- Proto-matemáticos17 - Para-matemáticos18
- Restricciones de los algoritmos
- Restricciones de unicidad del resultado. Lagrange (2000b), resume en la Figura 7 las relaciones entre los objetos ostensivos y no – ostensivos en ambientes L/P y CAS. Muestra la emergencia - control entre los ostensivos CAS y los no ostensivos L/P; y de los nuevos ostensivos y no ostensivos computacionales (transposición computacional). Esto quiere decir que los objetos ostensivos CAS tienen relaciones con los objetos no ostensivos de L/P y a su vez los objetos ostensivos CAS están en emergencia y control con los no ostensivos computacionales. Los objetos ostensivos CAS se sitúan en una “doble referencia”, por una parte a los objetos no ostensivos matemáticos y por otra a los objetos no ostensivos computacionales.
Figura 7.Objetos ostensivos y no ostensivos en un ambiente de L/P y CAS (Lagrange, 2000b, p. 80).
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Las nociones proto-matemáticas son utilizadas en la práctica para resolver ciertos problemas a partir de sus propiedades, pero de forma que la noción misma no es reconocida ni como objeto de estudio y ni siquiera como instrumento útil para el estudio de otros objetos.
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Las nociones para-matemáticas se utilizan conscientemente (son reconocidas y designadas) como instrumentos que sirven para describir otros objetos matemáticos, pero no se les considera como objetos de estudio en sí mismas. La noción es relativa a la institución. Por ejemplo, la noción de demostración puede ser una noción matemática en un curso de lógica, pero puede ser una noción para-matemática en secundaria.
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Respecto a la propuesta de Lagrange (2000b), Bosch (2003) y Acosta (2008), afirman que el uso de TIC generan nuevos tipos de objetos ostensivos y articulaciones entre registros. Y en relación a ambientes de L/P y CAS se lograrían otro tipo de relaciones complementarias de los objetos ostensivos que irían en pro de la construcción de los objetos no ostensivos.
En cuanto al tipo de objetos ostensivos considerados en el desarrollo de este trabajo, se miran los orales y de traza, omitiéndose los gestuales y de materialidad genérica. Esta restricción delimita los análisis a priori y de experimentación a los objetos ostensivos vinculados a las expresiones algebraicas, los gráficos, lo numérico y de la lengua natural alrededor de la factorización de polinomios.