Detecting and diagnosing faults in dynamic stochastic distributions using a rational b-splines approximation to output PDFs

“刀更

服

。。尸

。刀 _月

即翻“如 _! 一

皿

幻

扰

一

尽

_劝

_切

丫 , ,

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外

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脚

日 ,

盯

,

随

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彻

二石 , 。

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幼, _仪旧 ,

址

忱

习

脚

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山

却

_山

二

_邓

!

呷

!

钾 自

_邓

,

邓

泊 中

柳

!

二 七

_叩

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云 刁

邓

_!

叩

凡

_面

! _! 住 云

!

罗 即扣 】 云 P e_rfo m le d fo r th e e_rro r〔

幼切1

二 。ed fro m th efaultde tection an d diaglosis Phas e alld an aP

_博

cabili ty stu

御on t

h

e de teetion an d clia 罗05 15 ofthe tlneXpeete d cha llgo in th e ZD g诩刀I1 1age di str ibutions in a _Pa Pe r fo m U 11g P ro e e s

s is inc l

u d

e d

.

旋yw

ords : Fa ultdeteetion an d diagn o

。 ; O b_{s erve} r_deS

_甲

; Pa penl

‘I_{k i}

嗯 ; St

o ehas ti

e

哪t

enls

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r o d u e t

i o n

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r

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s

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s

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_e

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_s

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t a r

e as in

e o n t r

o l

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r

m g [ l

」

.

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b e e n de v e l o

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an b e e

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l

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-ing tw o

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d

i ag los

i

s f

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m

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_呷

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罗

出

「

3 ]

.

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_o

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teeh-n

i que

s

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a_】

_{即 r}

i th

i l

” o r s t o c h as ti e

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i ent

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o a

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,

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c t

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-t

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.

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un e即eete d ehan

罗 d

e t

e et

i o n fo r sto c

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_s

t

i c

51

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_l

_s

,

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n

t

h

e m

e a

n val ue

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~ a

n e e

o_{f th} e e o_n

s ide _red r田 ld o m 51子1

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,

or on th e de

te eti o n

o f

u n

e x

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~ t e r

ch an ge s

fo r stat i e

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ab ili ty de ns i

-ty 凡n e ti o ns o f th e r田 ld o m sig lal

.

In

_面

5 eas e

,

th e re q ul r e d

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n os i

s a r

e no

n l_词

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e rfo

_~

d

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-Pl

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t

a

t

i

s

t

i eal de eision

,

w he re a li k e

lih o o

d

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tw e

e n th

e h yP

o

th es es on th e

h e

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e rs an d O tllty p

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i n

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n prob ab ili ty

d e n

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~

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e

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_{p t}

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.

I

n

_面

5 co

n-rext

, s

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th a t th e

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t

h e co ns id er_{e d 51乡1习 do es} n o t i n v o lve

ally

_邓t

em dyll

田 1_五cs

ar all . F o r ex田1_甲le ,

w h e n th e di s ere ti s ed s t oeh as ti e sys

t en ”

a r e

e o_{ns id e re d}, th

e cu rre

nt pro b ab ili ty d ens i ty fu n c

ti o n of

th e

ran do m

5

1

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l sho ul d no t be re late d to its prob ab ili ty

d

e n

s it

y f

o llct

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r

e

v

i

ous ti

m

e

s

t

e

P

s.

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l

s

o

,

in 1 1

切ly

eas es it 15 as s

u

m

e

d t

h at t

_{h e ran do m}

519

〕_{司 o b}

哪

a

G

a u

s

s ia

n

钾p e o f dis tti bu ti o n. H ow eve r,

th e

as s ul nP ti o n th a t pro b ab ili ty de ns i ty fijn

e

-ti o ns are

o

f

罗ner

a

l

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Po et

iea

_{l sys te ms}

.

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o st o f th e we t e n d e o ntro l s

y s t

~ i

n p aP em lak illg ,

w h

e re th

e fib

re le x igt h d is t ri b

u

-ti o n ,

t ll e

P o re s

峨 d

i st

r

i but

ion an d th e flo eeul ation s

让e di s

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i bu tio n in th e re lated w a t

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娜t

e ms are all subj ected to dy~

n

~

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邺tem [4

, 5

] .

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r

n

s

,

a n

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,

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tu di e

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e e t e d t o

a s e t o f e

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哪

uts but

t

h

e

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e sys te m o u tP u t

,

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an th

e sys

t e m

o u tP

u t al on e .

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t el l”, th

e

lin e

ar E sP lin

e a PP ro

x ul拍 ti o_ns

h av e be en us ed to

r e

P res en t

t

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此

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泊

田_元c

P art is e

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ed

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a set of di ffe re ntial e

明

ati ons w hich

五11k t

h e w

e igh ts o f th eB-- splin e e

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P ans io ns to t_{h e eo n tro l}

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.

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抑r

e

s

s i

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, an

o b s e

rve r

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il t

de t e c6 on

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e e n d e

vel o

p ed fo

r _{山e fa ul t de te eti o n}

o f th e sto ch as tie sys tell”. In P

r a c ti e e

, th

e re

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advan ta ges in us

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n ea

r

】

_{丸 Pl}

ine

s

.

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w lle n th e n u r l七er o f

t h e b as is

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th e eal eul ate d o utP u t Pro b ab ili ty

d e ns

ity 丘ulctio ns Ilu y be co me n e罗tive du e to we ak mi

-m

e ric al ro b us tn es s .

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s a res ul t, a n ew no rili

n e ar aP p

~

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m o

d e l

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s to b e d eve

l o

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as t o el

th 田le e th e

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s w

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阴

刁

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叮

口户_以

构

叩Z

蒯

沁ns _{l ( 2 (X) 3 ) 53} 一 5 8

n

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c 滋 ro b us tn ess

. T llis fo

~ th e ~

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u rp os e of _the eu

r r

e n t p

叩er w h er

e in p a

r al lel to [6

, 8

] ,

an ob s e

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几til t d eteeti on al go ri thi li w i且 b e d e v

e loP ed al ong wi th a n ol

_面iea

_{r E sP lin es aP Prox}

_{”l u t 10 n}

t

o th e

m e

a s u r e

d o utP u t

p ro b ab ili ty d e ns ity fu n e ti o n s

.

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w

n in F ig .

1, th

e i

n P

u t v ari ab l

es a_{且已ct d”lan 五call y th e}

sh aP e o f th e P ro b ab ili ty de ns ity fo n eti o ns o f th e sys t_em o u t-P u t,

an d th e tas k of fa ult d e

t e e ti o n

an d di

a乡10 5七 15 to u se

t

h e

_邓t

e m inpu

匕 u

(t) an d th e m e

a

s u re d p ro b ab ili 钾 de ns i钾

触

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, u

( t

) ,

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) to dete e t

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d di ag 1 0s e th e

un e xP e c t ed

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an

笋 m F

.

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, th e

w e

i gh

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, w Z

( r

) ,

…

, w

。

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〕民n _{(5 )}

a

s th e stat e v eeto r, an d an

o

th e r 。刀0 ve eto 巧

C (少) 二 ( B I(y)

, B Z ( y )

,

…

,

召。 (

y ) )

T

任

〕民n, ( 6 )

占。 = ( b l

, b

Z ,

…

,

b

。

) T

任 R

n ; J 〔 [a

, b

」

,

( 7 )

th e n s uch a

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P res e n te d as

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了( 了, u

( r ) ,

尸 )

+ B u ( r) + E F C『

r

( y

) V (

r )

b g

V (

‘ )

( 8 )

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{

TTT he sy s

te mmm

Fig .

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ns i de

re d s

toe ha

s tic

Sys t

en i

.

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o d

e l

re P

r e s e

n ta ti

on

D en o

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任

s

y

s t

em an d as su

_m

_e

[

a

, b

」

that 「a

a

s th e outP u t of th e stoehas tie

b 」15

,

(t ) 15 a C o n ti n u o us

ran d o m v

ari ab 1a

1 e

k

n o w l l in te ry 习 an d at tu lle t fo r V t

任

[0

, +

aO )

.

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e

re e范sts a p ro b ab ili ty d

e n

s ity fu n cti o n o f :₍t

) su eh tha t

厂夸

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( y

, u

)d y ,

V u ,

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w h

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(

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芬) rev re

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t h

a t}a 鉴 少 <

杏} and

“ = u ( t) 15 di e

卿

utto th e

s

y

s t

em . For sueh a Probab ility density fu nction

, t h e

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ere }A

, B

, E

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t h

y p

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ter m a 由ees

w hi ch h a v

e aP P r0 P ti ate d in lens io n s in aeeo rd allce

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h t

h e

哪

ut

田 ld t h e we igh

t

s _ve c to r V₍t )

, F 15

an a

d d i tive

t e rm

reP r

es e no l lg th e

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u _】t in th e sys t

e m

.

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5

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o d

e

l

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inea

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阳肚1_{五cal relati o ns} h i P b e

t w e

en V_(t), u

( t

) an d F ,

w l宙st

t h

e se eo n d e

甲

ati on

s

t

a

n d

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o r t

h e

m

o

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ied B-- sP

五n e e

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on of th e Pro bab ili

-t

y den

s it

y f

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_t

_h

_e

_{娜 tenl}

outP ut.

3

F a

l

_{目t d e te eti o n}

In

_面

5 seetion

, th

e ob

s e

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r- b as ed fa u

l t d e t e

c

ti on

俪 11 be

d

i

s

eussed

,

w here th e 几td ts o f th e Sys te m are re

子rd ed a

s

田ly

u n

e xP e e te d e h a llg es of an ad di t i v e

t e r m in th

e s t a

t e sP ac e e

明ation (8)

.

_{In o}

r

d

e

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, le t us e on

-s tru

e t th

e fo ll

ow i

n g obs

e rv

e r

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孟

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_{召u ( t) + 天( t )}。 (t)

,

u )

。

(少)( 了(少

, u

( r) ,

F )

一

了(了, u

( r

) ))d 少 ,

C T

( 了)

亡( t)

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!

一 一

6

_石

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t

)y

了 .、了r、 C入 7

l o

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a P pro

~ t i o

n 15

a P Pli

e d t o gi

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w ‘

( u

)B ‘( y ) y

( 了

, u )

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y

任 [

a

, b

】

, (2 )

。

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i

=

l

艺

二‘

(u ) b、 w

h e re B ‘

(了) ) 0 are th e p re- sp eeifi e d b as is fu n cti o ns

, _、‘

肛e th e

t o th e

t i o】1 5.

I t e al l

w e

i g

h ts of

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e aP

p p o x l n la t l o

n w h ic h are

o r i l

v re h ted

c o n ti D _I

呷

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, n

15 th e n u ll l

b e r o

f b as is

肋Ic

-In th is aP Pro

习Ilu o o n, i t h as b

e e n d e

n o

ted th a t

B

‘

( , ) d少 > O

, i 二 1

,,

二, n

.

( 3)

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!

一 一 .

百 Ž . O

b e se en

th at

面

5 aP P

r

o

r

m

t

i on fo nc tion au to ll

祖ti c al -sa tlsfi es

, ( , ,_。

) d :

=

{

艺

二 *

(。)丑

‘

(, )

一

dy=(4)

(9)

w

her

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比甲ti v e g刃 n to _{b e} d e

s i

罗ed fo r th e ob

-se

r

v

e

r

_a

_n

_d

。(少)

任 R

, 1 5 。 p r e

- sp e e i五ed we igh tin g v ect o r

d

e fin ed o n

「

a

, b

〕

.

们le Co n

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“ C

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(, ( , , ·( :)

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o w e v e

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面

s e

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( :

) ,

F )

an

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夕(

了, _“

(‘) ) are

p ro b ab ili ty de ns ity fo n e ti o ns an d th e ir d ir e c t in te

_脚t

ions are

习w ays e

_明a

_{l t}

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1

.

₀

.

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m

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n

s

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t o t(z) = o fo r

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n

v

F

·

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h

, _。,

( ‘) 15 _not a p ro pe rre si

印a

l 51

, al for

F DI

_〔11

一 1 4

_〕a

_{n d the inv}

olvelrlentof a

。

(y) 尹 1 15 n ec

-e ss

娜 h

ere .By defining

。

(t)

=

愈( t)

一 F (r)

,

( 1 0 )

an d u s

in g eq

ua t i

on s

( 8

)

明d (9 )

,

it e

an be fo n们Lu la t

e d t

h at

艺

w

‘

(u ) b‘

‘ = _通

_{食( r) +}

_{丑u ( r) + ‘( r )}。 (t) 一

A V (t) 一 Bu (t) 一 E 尸

. 内

l ‘

( 11 )

A p r e l i

l l lln a r

y stu

勿 ha-s

sh

o

w

n

t

h at sueh a bound ed

叩p r

o

x-irna d on ean be used to mo d

el th e ou tP ut Pro bab ili ty de ns ity

凡 ned o ns to a d es ire d ac eu ra

即

「10 」

.

In t

e

_r

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_n

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s_ho w n =

伽

t

ha

t

少) Crr(了) (_b

环”押‘ et 以./ Jo um创 of G川名_ro l ”记。_叮。矛_{以肉叩之必以如ns l ( 2 00 3)} 5

3 一

5 8

、/,

、产飞

2 内、 † 旧 . 1 1 .1 了 .、了

哎、 =

{

by de n

oti ng

艺

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(

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, C

·

‘:

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,

_‘

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一

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,

=

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(

, ) e ·

(, ) d ,

。 : !二

,

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百1! > o

(

抖 )

a

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, t he n

w ll e n F = 0 ,

w e

h ave

li m 。₍ t

) =

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T h is m

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a

t th e fa ul t e

a

n be de te e te d t hi 旧u gh th e

i

t c an be fu d h e r o b taj由ed th at fo n ov

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( 2 5 )

:

(t) = 乏(

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一

示

,

,

·

( 14

) w h

e

re 久

n le ch江n l s m

11 :

( t) }} > 几 ~ a fa u lt_has

o eeu r r e d > 0 15 a P_re- sP eeifi ed th resh o ld.

B y su b sti tu tin g

面

5 fo rm of re sidu al sign al in to the erm r

d

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n

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, it

e an be

s h

o认_{叽 th at}

e

(r) = A。( t) + K (r)艺

e (t) 6

_百

_食

+

_{、 ( : )艺、(}

告

一

令

)

一 : ; . _{( 1 5 )} b 6 V b 6 f

s讯 ee 6

百

俞1

5 a se al er num be r

,

b y

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此 f

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4

F a u

l t d

i

斑

笋05 15

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