A COMPARATIVE ANALYSIS OF THE BASIC METHODS OF DIGITAL SIMULATION OF ANALOG SYSTEM

УДК 621.391

В. В. БЕЗРУКОВ, К. В. ГОНЧАРОВ, Д. Ф. ІВАХНЕНКО (ДІІТ)

ПОРІВНЯЛЬНИЙ

АНАЛІЗ

БАЗОВИХ

МЕТОДІВ

ЦИФРОВОГО

МОДЕЛЮВАННЯ

АНАЛОГОВОЇ

СИСТЕМИ

Розглянутоосновніметодицифровогомоделюванняаналоговоїсистеми: методдискретизації диферен

-ціальногорівняння, методдискретизаціїімпульсноїхарактеристикитабілінійнийметод. Наприкладіколи

-вальноїланки, як аналогового прототипу, розраховані похибкицифрового моделюваннячастотно-часових характеристик. Наведеновисновкивідносноточностіцифровогомоделюваннярізнимиметодами.

Рассмотрены основные методы цифрового моделирования аналоговой системы: метод дискретизации дифференциального уравнения, методдискретизации импульснойхарактеристики и билинейный. На при

-мереколебательногозвена, каканалоговогопрототипа, рассчитаныошибкицифровогомоделирования час

-тотно-временныххарактеристик. Приведенывыводыотносительноточностицифровогомоделированияра

-знымиметодами.

Basic methods of digital design of the analog system – that of digitization of differential equation, of digitization of impulsive description and a bilinear one – have been considered. On the example of an oscillating link, as an ana-log prototype, errors of frequency-time of digital design descriptions have been calculated. Conclusions in relation to exactness of digital design by different methods have been drawn.

Вступ

Розвитокавтоматизованих систем управлін -няєоднимзнапрямківпідвищенняефективно -сті залізничного транспорту України [1]. На теперішній часприпобудовіпристроїв автома -тики широко застосовують цифрові засоби об -робки сигналів. У порівнянні з аналоговими цифрові пристрої обробки сигналів мають ряд переваг: висока точність, стабільність парамет -рів, можливість одержувати найрізноманітніші характеристикипристроїв, гнучкістьтаін.

Відомі декілька методів синтезу дискретної моделілінійноїаналоговоїсистеми, зокрема, ме -тод дискретизації диференціального рівняння, методдискретизаціїімпульсноїхарактеристикиі білінійнийметод [2]. Дискретнумодельаналого -вої системи в загальному випадку будемо нази -ватицифровимфільтром (ЦФ). Присинтезіциф -рового фільтра характеристики синтезованого фільтра намагаються зробити подібними до ві -домиххарактеристиканалоговогопрототипу.

Метоюданоїроботиєдослідженнярізнихме -тодівсинтезуцифровихфільтрів, визначенняме -тоду, якийточнішемоделюєаналоговусистему.

Оглядосновнихметодівсинтезу

цифровихфільтрів

Методдискретизаціїімпульсноїхарактерис -тики полягає в тому, що передатну функцію

W(z) дискретної системи одержують стандарт

-ним z-перетворенням імпульсноїхарактеристи -киp(t) аналоговогопрототипузаформулою

( )

{ }

( )

{

( )

}

W z =Z p t =Z p nT . (1)

Зворотнеz-перетвореннявідW z

( )

, тобто

( )

{

}

{

( )

}

( )

1 1

Z− W z =Z− ⎡_⎣Z p nT ⎤_⎦= p nT , (2)

даєімпульснухарактеристикуp(nT) дискре -тного фільтра, яка в точках дискретизації

(

0,1,2,

)

nT n= … співпадає з характеристикою аналогового прототипу. У зв’язку з останнім метод дискретизації імпульсної характеристи -ки називають також методом інваріантної ім -пульсноїхарактеристики.

У методі дискретизації диференціального рівняння диференціальне рівняння неперервної системи замінюють його дискретним варіан -том, який називається різницевим рівнянням. Для цього в диференціальному рівнянні непе -рервної системи замінюють неперервні похідні дискретними, зокрема, першу і другу похідні можназамінитизгіднозтакимиправилами:

( ) (

)

x nT x nT T dx

dt T

− −

⇒ ,

( )

(

) (

)

2

2 2

2 2

x nT x nT T x nT T d x

dt T

− − + −

⇒ , (3)

де T =1/F – інтервалдискретизаціїі F =1/T – частотадискретизації.

-ють їх зображеннями виду z X z−k

( )

, z Y z−k

( )

, після чого дискретну передавальну функцію

( )

W z визначають як відношення зображення вихідногосигналу Y z

( )

дозображеннявхідного сигналу X z

( )

.

Метод білінійного перетворення виник з намагання прямої заміни змінної s в передава -льнійфункціїW(s) назміннуzзаправилом

(

1/

)

ln

s= T z, (4)

яке виходить з того, що z=exp

( )

sT . Однак таказаміна призводить дозначних труднощів при аналізі дискретноїсистеми, оскільки дро -бово-раціональний вираз для передавальної функції неперервної системи перетворюється в трансцендентний для дискретної системи. Вихідбув знайдений внаближенійзаміні s на

zзгіднозвиразом

2 1 1 z s T z − =

+ , (5)

взятийзрозкладання 1lnz

T врядТейлора:

1ln 2 1 1 1 3 , | | 0

1 3 1

z z

s z z

T T z z

⎡ _{− ⎛ − ⎞} ⎤

= = ⎢ + _{⎜ ⎟} +…⎥ >

+ ⎝ + ⎠

⎢ ⎥

⎣ ⎦

. (6)

Обмеженняв (6) першим (лінійним) членом ряду і дає правило наближеної заміни (3), яке називаютьпрямимбілінійнимперетворенням.

Длядослідження різних методівсинтезу ЦФ виконаємосинтезцифровоїколивальноїсистеми, аналоговимпрототипомякоїєколивальналанка.

Синтезцифровоїколивальноїсистеми

Параметриколивальноїланки: k₁ – коефіці -єнтпередачі; T₁ – постійначасу; ξ – коефіцієнт демпфірування.

Випишемоаналітичнівиразидляхарактери -стикколивальноїланки [3]:

• передавальнафункція

( )

1

2 2

1 2 1 1

k W s

T s T s =

+ ξ + 0< ξ <1; (7)

• диференціальнерівняння

( )

( )

_{( )}

_{( )}

2 2

1 ₂ 2 1 1

d y t dy t

T T y t k x t dt

dt + ξ + = ⋅ ; (8)

• імпульснахарактеристика

( )

1

2 1

2 ₁

1

1

sin , 0

1

t T k

p t e t t

T T

ξ

− _{− ξ}

= ≥

− ξ ; (9)

• перехіднахарактеристика

( )

1

1 ₂ 1 1 1 t T

h t k e

ξ − ⎡

⎢

= − ×

⎢ _{− ξ} ⎢⎣ 2 1 1 1 sin t T ⎤ ⎛ _{− ξ} ⎞

⎥

⎜ ⎟

× + ϕ

⎜ ⎟⎥

⎝ ⎠⎦

, (10)

де

2

1 arctg 1 ,

ϕ = − ξ ξ t≥0;

• амплітудно-частотна характеристика

(АЧХ)

( )

(

2 2

)

2 2 2 2

1 1 1 4 1

A ω =k −T ω + ξ T ω ; (11)

• фазо-частотнахарактеристика (ФЧХ)

( )

(

2 2

)

1 1

arctg 2⎡ T 1 T ⎤

ϕ ω = − _⎣ ξ ω − ω _⎦. (12)

Дискретизація диференціального рівнян

-ня (8) заміною неперервнихпохідних дискрет

-нимизаправилами (3) приводитьдорізницево -горівняннявиду

0 1 1 2 2

n n n n

y =a x +b y ₋ +b y ₋ , (13)

де 2 1 0 , k T a D

= 1 1

1

2T 2 T T

b D + ξ = , 1 2 , T b D −

= D T= + ξ₁ 2 T T T₁ + 2. (14)

Метод інваріантної імпульсної характе

-ристикизводитьсядоz-зображенняімпульсної характеристики (9), яку перепишемо в такому вигляді:

( )

_p tsin _p

p t =k e−α ω t, (15)

де 2 1 1 , p T − ξ

ω = 1

2 1 , p p k K T =

ω T1

ξ α = .

Скориставшись таблицею z-перетворень, одержимо z-зображення імпульсної характери -стики (15), яке являє собоюпередавальну фун -кціюцифровоїмоделі, втакомувигляді:

( )

_{( )}

(

T_sin

)

2

p p

P z =W z =⎡_⎣k ze−α ω T ⎤ ⎡_{⎦ ⎣}z −

2

2ze−αTcos _pT e− αT⎤

Прийнявши доуваги, що W z( )=Y z X z( ) ( ),

з (16) одержуєморізницеверівняння системи в

такомувигляді:

1 1 1 1 2 2

n n n n

y =a x ₋ +b y ₋ +b y ₋ , (17)

де

1 p Tsin p , a =k e−α ω T

1 2 Tcos p

b = e−α ω T, b₂ = −e− α2 T.

Метод інваріантних частотних характе

-ристик дозволяє з ( )W s білінійним перетво -ренням, тобтопідстановкою (6), зразуодержати

( )

W z увигляді:

( )

k T z1 2 2 2k T z k T1 2 1 2

W z

B

+ +

= , (18)

де

(

2 2

) (

2 2 2

)

1 1

4 4 2 8

B= T + ξT T T+ z + T − T z+

(

2 2

)

1 1

4T 4 T T T + − ξ + .

З (18) різницеве рівняння одержуємо в та

-комувигляді:

0 1 1 2 2

n n n n

y =a x +a x ₋ +a x ₋ +

1 n 1 2 n 2

b y ₋ b y ₋

+ + , (19)

де

2 1

0 ,

k T a

D

=

2 1 1

2 ,

k T a

D =

2 1

2 ,

k T a

D =

2 2

1 1

8T 2T

b

D −

= ,

2 2

1 1

2

4 4

,

T T T T b

D − − =

2 2

1 1

4 4

D= T + ξT T T+ .

Порівнюючи різницеві рівняння, одержані різними методами, помічаємо що вони відріз -няютьсяміж собою. Томупостаєпитання, який метод синтезу цифрового фільтра точніше мо -делюєаналоговусистему.

Для отримання відповіді на це питання ви -конане дослідження точностімоделювання різ -ними методами задопомогою спеціальноство -реної програми «Методи синтезу цифрової мо -деліаналоговогооб’єкта».

Описпрограми

Програма реалізуєалгоритм роботиодержа -нихцифрових фільтрівтадозволяєвиміряти їх часові і частотні характеристики: імпульсну характеристику p nT

( )

, перехідну характерис -тику h nT

( )

, амплітудно-частотну Α

( )

kF₁ та фазочастотну характеристики ϕ

( )

kF₁ . Програма також розраховує відповідні характеристики не -перервної системи та порівнює їх з характерис -тиками цифровоїмоделі. Розбіжністьміжхарак -теристикамиоцінюєтьсяпохибкамимоделюван -ня ε_p, ε_h, ε_A і ε_ϕ. Крімпохибки моделювання окремих характеристик розрахована загальна похибка моделювання ε кожним методом. Го -ловневікнопрограмизображенонарис. 1.

Слід зазначити, що характеристики p nT

( )

,

( )

h nT , A kF

( )

₁ , ϕ(kF₁) цифровихмоделейпро -грамаодержує шляхом «безпосереднього вимі -рювання» намоделізадопомогоювимірюваль -них сигналів (дельта функції для одержання імпульсної характеристики, одиничної ступе -невої функції для перехідної характеристики і синусоїдальних коливань різних частот kF₁,

1 64

k = … для частотних характеристик). Ре -зультати моделювання виводяться на екран у виглядіграфіківтатаблиць.

Длякожної характеристики ікожногометоду моделюваннядосліджуваласьзалежністьпохибки моделювання від коефіцієнта демпфірування ко -ливальноїланки

( )

q, якийуособлюєфакторскла -дностіхарактеристикланки, івідчастотидискре -тизації

( )

f_д . Нормованіпараметриланки (с)

1 1

k = ; T₁=1 2π,

частотаспряження (Гц)

1 1 2

f = π T₁=1.

Результатидослідження

На рис. 2–5 наведено отримані в результаті

дослідження залежності середньоквадратичної похибки моделювання характеристик аналого -вогопрототипувідчастотидискретизаціїікое -фіцієнта демпфірування коливальноїланки для різнихметодівсинтезу.

Як показують отримані залежності, найбі -льша похибка моделювання всіх характерис -тикмає місце дляметоду дискретизації дифе -ренціального рівняння. Причому для всіх трьох методів похибка моделювання зменшу -ється зі збільшенням частоти дискретизації. Похибка також зменшується зі збільшенням коефіцієнта демпфірування коливальної лан -ки, тобто зі зменшенням складності аналого -вогопрототипу.

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0 4 8 12 16 20 24 28 32fд,Гц

ε

1

3

2

q = 0,5

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0 0,2 0,4 0,6 0,8 q

ε

1

3

2

fд = 8 Гц

а) б)

Рис. 2. Результатидослідженняпохибкимоделюванняімпульсноїхарактеристики:

1 – дискретизаціядиференціальногорівняння; 2 – дискретизаціяімпульсноїхарактеристики; 3 – білінійнийметод

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0 4 8 12 16 20 24 28 32 fд,Гц

ε

1

2, 3

q = 0,5

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0 0,2 0,4 0,6 0,8 q

ε

1

2 3

fд = 8 Гц

а) б)

Рис. 3. Результатидослідженняпохибкимоделюванняперехідноїхарактеристики:

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

0 4 8 12 16 20 24 28 32 fд,Гц

ε

1

3

2

q = 0,5

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

0 0,2 0,4 0,6 0,8 q

ε

1

3

2

fд = 8 Гц

а) б)

Рис. 4. РезультатидослідженняпохибкимоделюванняАЧХ:

1 – дискретизаціядиференціальногорівняння; 2 – дискретизаціяімпульсноїхарактеристики; 3 – білінійнийметод

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

0 4 8 12 16 20 24 28 32 fд,Гц

ε

1

3 2

q = 0,5

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

0 0,2 0,4 0,6 0,8 q

ε

₁

3

2 fд = 8 Гц

а) б)

Рис. 5. РезультатидослідженняпохибкимоделюванняФЧХ:

1 – дискретизаціядиференціальногорівняння; 2 – дискретизаціяімпульсноїхарактеристики; 3 – білінійнийметод

Якіслідбулочекати, похибкамоделювання імпульсної характеристики для методу дискре -тизації імпульсної характеристики дорівнює

нулю (див. рис. 2). Уразімоделювання перехі

-дної і амплітудно-частотної характеристик для методу дискретизаціїімпульсної характеристи -ки і білінійного методу виходять практично однаковіпохибки (див. рис. 3, 4). Утой жечас у разі моделювання фазочастотної характерис -тики метод дискретизації імпульсної характе -ристики дозволяє отримати найменшупохибку зівсіхтрьохметодів (див. рис. 5).

Висновки

Виконанедослідженняпоказує, щосередньо -квадратична похибказа сукупністювідтворення усіх характеристик (частотних і часових) най -меншаприрівнихіншихумовахдляметодудис-

кретизації імпульсної характеристики і найбіль -ша для методу дискретизації диференціального рівняння. Прицьомуточністьвідтворенняамплі -тудно-частотної та часових характеристик білі -нійним методом наближена до точності методу дискретизації імпульсної характеристики. Слід такожзазначити, щоточністьвсіхметодівпідви -щуєтьсяуразізбільшеннячастотидискретизації.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙСПИСОК

1. Концепціятапрограмареструктуризаціїна залізничномутранспортіУкраїни. – К.:

НАБЛА, 1998. – 145 с. – Офіційневидання. 2. БаскаковС. И. Радиотехническиецепиисигна

-лы. – М.: Высш. шк., 1988. – 448 с.

3. ГоноровскийИ. С. Радиотехническиецепии сигналы. – М.: Сов. радио, 1971. – 671 с.