МНОЖЕСТВЕННЫЕ ОБЪЕКТЫ

МОДЕЛЮВАННЯ

ЗАДАЧ

ТРАНСПОРТУ

ТА

ЕКОНОМІКИ

УДК

[517.5:519.8:004.9]-047.58

А

.

А

.

БОСОВ

1

,

В

.

М

.

ИЛЬМАН

2

,

Н

.

В

.

ХАЛИПОВА

3*

1_{Каф. «Прикладнаяматематика», Днепропетровскийнациональныйуниверситетжелезнодорожноготранспорта}

имениакадемикаВ. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел./факс +38 (056) 373 15 36,

эл. почта [email protected], ORCID 0000-0002-5348-2205

2_{Каф. «Компьютерныеинформационныетехнологии», Днепропетровскийнациональныйуниверситет}

железнодорожноготранспортаимениакадемикаВ. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел./факс +38 (056) 373 15 35, эл. почта [email protected], ORCID 0000-0003-0983-8611

3*_{Каф. «Транспортныесистемыитехнологии», Университеттаможенногоделаифинансов, ул. Дзержинского, 2/4,}

Днепропетровск, Украина, 49000, тел. +38 (056) 46 95 98, эл. почта [email protected], ORCID 0000-0001-5605-6781

МНОЖЕСТВЕННЫЕ ОБЪЕКТЫ

Цель. Развитие сложныхтехнологий производственныхиуправленческих процессов, системинформа

-тики, прикладныхобъектовтеориисистемидр. требуетусовершенствованияматематическихметодов, но

-выхподходовдляисследований прикладныхсистем. Амногообразиеиразнородностьпредметныхсистем делаютнеобходимымразработкумодели, обобщающейклассическиемножестваиихразвитие – множества множеств. Множественные объекты, в отличие от множеств, конструируются множественной структурой

исамипредставляютсяструктуройисодержанием. Цельюработыявляетсяанализмножественнойструкту

-ры, порождающей множественные объекты, дальнейшее развитие операций над такими объектами

вприкладных системах. Методика. Длядостижения целейисследования множественнаяструктураобъек

-товпредставляется конструктивнойтройкой, состоящейиз носителя, сигнатурыи аксиоматики. Множест

-венныйобъектопределяетсяструктуройисодержанием, атакжепредставляетсягибриднойсуперпозицией,

составленнойизмножеств, мультимножеств, упорядоченныхмножеств (списков) инеоднородныхмножеств

(последовательностей, кортежей). Результаты.Вработерассмотренысвойстваихарактеристикикомпонен

-тов гибридных множественныхобъектов сложных систем, предложены оценкиих сложности, приведены правилавыполнениявнутреннихивнешнихоперацийнаобъектах. Введеныотношенияпроизвольногопо

-рядканадмножественнымиобъектами, определенопонятиефункциииотображениянаобъектахмножест

-веннойструктуры. Научная новизна. В настоящейработерассмотрены вопросы развитиямножественной структуры, порождающей множественные объекты. Практическая значимость. Переход от абстрактной множественнойструктурыкпредметнойструктуретребуеттрансформациисистемыимножественныхобъ

-ектов. Трансформацияпредполагает три последовательных этапа: спецификацию (привязку к предметной области), интерпретацию (множественныхобъектов) иконкретизацию (цели). Предложенный подходопи

-саниясистемнаосновегибридныхмножествможетбытьиспользованвомногихприкладныхсистемахдля структурногоисодержательногоанализа. Приведен примерприменениягибридныхмножествдля модели

-рованиялогистическихсистем.

Ключевыеслова: конструктивная множественнаяструктура; гибридныемножественныеобъекты; моде

Введение

Развитие сложных технологий производст

-венных и управленческих процессов, систем

информатики, прикладных объектов теории

систем и др. требует усовершенствования ма

-тематических методов, новых подходов для

исследованийприкладныхсистем [7].

Примером сложной системы является же

-лезная дорога, включающая совокупности:

станций, вагонных и локомотивных депо, во

-кзалов, подвижного состава и пр. Для модели

-рования сложных систем обычно используют

структурный подход, задавая их элементы свя

-занными множествами [9, 10]. Анализ работы

железнойдороги наосновеструктурногомоде

-лированияприведенвмонографии [1].

Возможности и особенности применения

методологии системного анализа при решении

проблем транспортных узлов рассмотрены

вмонографии [12].

Описание систем с помощью конечных

множеств и отношений выполнено в работе

[21] и структур в статье [2]. Такие сложные

объекты, как станции, депо следует представ

-лять упорядоченными по определенному кри

-терию (подчинения, места положения и др.)

элементами списков, поезда представлять как

мультимножества вагонов и т.д. Таким обра

-зом, в моделях реальных систем возникают

разнообразныегибридныеконструкциимноже

-ственных объектов, аппарат которых требует

развития. Кроме того, развитие аппарата мно

-жественных объектов приведет к совершенст

-вованию задач исследования операций, пред

-ставления абстрактных структур данных ин

-форматикиидр. [23].

В работе [3] предложен математический

подходисследованийнаосновемножественной

структуры (множество множеств, множество

списков, функциймножеств) иданоего приме

-нениекприкладнымзадачаминженерии.

Цель

Вработерассмотренывопросыдальнейшего

развития множественной структуры, порож

-дающей множественные объекты. Множест

-венная структура объектов задается конструк

-тивнойтройкой, состоящейизносителя, сигна

-туры и аксиоматики. Сам же множественный

объект определяется двумя компонентами –

структурой и содержанием. Множественный

объект представляется гибридной суперпози

-цией, составленной из множеств, мультимно

-жеств, упорядоченных множеств (списков)

и неоднородных множеств (последовательно

-стей, кортежей). Рассмотрены свойства и ха

-рактеристики компонент множественных объ

-ектов, предложены оценки их сложности, при

-ведены правила выполнения внутренних

и внешних операций на объектах. Введеныот

-ношения произвольного порядка над множест

-венными объектами, определено понятие

функции и отображения на объектах множест

-веннойструктуры.

Методика

Представление и задание множественных

объектов. Как правило, объекты как классиче

-ской, так и конструктивной математики созда

-ются наеебазисных элементах, такихкакмно

-жество, мультимножество, упорядоченное

множество (список), неоднородное множество

(кортеж), отношение, операцияидругое. Осно

-войопределениячастиэтихэлементовявляется

множество, котороевматематике определяется

аксиоматически, а в прикладной математике −

понятийно [18].

Конструктивно под множеством понимается

свободный набор различных однотипных эле

-ментов. Элементы в наборе свободны в том

смысле, что во множество они входят в произ

-вольном порядке. Изменяя свойства набора

и элементов множественной структуры, полу

-чим другие объекты. Если во множестве снять

ограничение по различнымэлементам, то полу

-чим мультимножество. Не свободный однотип

-ный набор различных элементовпо некоторому

отношению образует упорядоченное множество

(списочное множество), вслучаеповторяемости

элементов в наборе имеем мультисписок. Если

набор разнотипный, то соответственно онобра

-зует неоднородную упорядоченную или неупо

-рядоченную последовательности или кортежи,

мультикортеж упорядоченный или неупорядо

-ченный. Такимобразом, рассмотренныеобъекты

задаются на единой множественной структуре

M спомощью отношений: тождества, порядка,

неоднородности ипр. Формальноэта структура

может быть представлена как специализация

( , , )

M = N Σ Λ , (1)

где N G F= ∪ – носитель структуры, накомпо

-ненте G которого строятся множественные

объекты и ({, }, [, ], , (, ), , , , )F= 〉 ⋅ 〈 – алфавит

специальных символов; Σ – сигнатура отноше

-ний ,φ_i i=1, 4 иоперации суперпозиции ψ; Λ

– конструктивная аксиоматика, задающая опре

-деления, свойства, правила конструирования

объектовипр.

Интерпретация структуры (1) может быть

выполненадляопределеннойзадачипредметной

области, например, при проектировании логи

-стических цепейпоставки товаров [16, 17], при

моделировании в задачах взаимодействия под

-вижногосоставаижелезнодорожногопути [15].

Рассмотрим состав аксиоматики Λ множе

-ственнойструктуры M.

Аксиоматикабазисныхобъектов:

– компонента G G= ₁∪G₂∪ ∪... G_n носителя

неоднородна,

– G i_i, =1,n однородны (однотипны);

– #G_i – мощностьсодержанияподкомпонен

-ты;

– если #G_i =0, то подкомпонента пустая,

иобозначаетсякак G_i=o;

– элемент s G∈ , если ∃ ⊂G_i G s G, ∈ _i;

– любой элемент s G∈ неделим (атомар

-ный).

Определение 1. Отношение ϕ₁ на наборе

1 2

( , ,..., )s s s_r ⊆G_ir задает множество, если эле

-ментывнабореразличныилюбоебинарноеот

-ношение φ, черезкотороепредставляетсяотно

-шение

1 2 2 3

1( , ,..., )s s1 2 sr ( ,s sk k ) (sk ,sk ) ϕ = ϕ ⊕ ϕ ⊕,

3 4 1

( , ) ... ( , )

r r

k k k k

s s s s

−

⊕ϕ ⊕ ⊕ ϕ (2)

обладает свойством ( , ) ( , )

i j j r

k k k k

s s s s

ϕ = ϕ .

Здесь ⊕ – операция сверткиде Морганабинар

-ныхотношений.

Определение 2. Отношение ϕ₂ на наборе

1 2

( , ,..., ) r

r i

s s s ⊆G определяет мультимножест

-во, если это отношение задает множество

иэлементывнаборе ( , , ..., s )s s_{1 2 r} невсеразлич -ны.

Определение 3. Отношение φ₃, представ

-ленное в виде (2) через отношение некоторого

порядка φ, задаетупорядоченноемножествопо

определению 1 или частично упорядоченное

мультимножествопоопределению 2.

Определение 4.Отношение ϕ₄ попредстав

-лению (2) определения 1 задает неоднородное

множество (мультимножество) и по определе

-нию 3 −неоднородноечастичноупорядоченное

множество.

Определение 5.Заданныеопределениями 1 –

4 множества назовем базисными множествен

-нымиобъектами 0

j

O нулевогоуровня.

Для распознания объектов и отражения от

-ношения наних используемобозначения: {}⋅ –

множество, [ ]⋅ – упорядоченноемножество, ⋅

– неоднородное множество, 〈⋅〉 – мультимно

-жество. Здесь символ «⋅» предполагает нали

-чие содержания S=( , , ..., s )s s_{1 2 r} объекта 0

j

O ,

возможнопустого.

Объект 0

j

O , порожденный множественной

структурой M , будемзаписыватьтак 0

j

O ↵M.

Конкретное содержание S⊂G базисного

объекта задается перечислением его элементов

j

s ∈S илиинымспособом.

Если объектимеет пустое содержание (пус

-той объект), то он представляется ( , ,..., )o o o

или ( )o , где под круглыми скобками подразу

-меваютсялюбыеизскобокобъектов.

Аксиоматика множественных объектов.

Намножественнойструктуре M , конструктив

-носпомощьюоперациисуперпозиции ψ мож

-нозадатьболеесложныеобъектыразныхуров

-ней сложности. Например, нулевой уровень

сложностиопределяют базисныеобъекты, пер

-вый уровень сложности: множества множеств,

списки списков и так далее, второй уровень –

списочныемножествасписковипр.

Объект k

i

O k-гоуровня сложности, порож

-денный множественной структурой M, опре

-деляетсярекурсивно:

1) 0 j

O ↵M;

2) 1 ₍ 0₎

i j

O = ψ O , 1 i

3) 2 ₍ 0_, 1₎

i q j

O = ψ O O , 2 i

O ↵M ; 4) 1)k+

0 1 1

0 1 1

( , ,..., )

k

k k

i j j j

O = ψO O O −₋ , k i

O ↵ .

Рекурсиявыполняется над объектами с пус

-тымсодержаниемиобъектунапоследнемуров

-неприписываетсянеобходимоесодержание.

Любой объект k

i

O ∈E имеет определенное

строение-структуруисодержание.

Структура порожденного объекта отражает

иерархическую подчиненностьдочерних объек

-товродительскомумножественномуобъекту.

Структурасложного объектагибридная. Она

включаетвсебяструктурыподчиненных объек

-тов разных типов и упорядоченная по этим ти

-пам.

Структура ( k)

i

C O объекта k

i

O задается

структурным деревом или структурной фор

-мой, составленной из элементарных форм

{

{}, [],

}

l∈ и .

Так структура объекта 4

i

O , представленная

структурнойформой, можетиметьвид

4

( _i ) [ , {}, {}, ], { {}, {} ,

C O = 〈 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 〈 ⋅ ⋅ 〉

[ ], [ ], {} }, {{}, {}},〈 ⋅ ⋅ ⋅ 〉 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 〉, . (3)

Вструктуре (3) внешниескобки 〈〉 (основная

форма) соответствуют родительскому объекту

4 i

O , а формы первого уровня ( [], {}, {}, , )

такжекакидругихстаршихуровней – дочерние.

Отметим, что местоположение любой элемен

-тарной формы в структурной форме, в общем

случае, определяется уровнем, местом на нем

и положением в месте уровня. Например, для

первогоуровняипервогоместананем [] имеем

первуюиличетвертуюформу .

В структурном дереве вершинами являются

элементарные формы, а дуги отражают подчи

-ненность форм объектов по уровням. Вершине

дерева (основной форме) соответствуютскобки

родительского объекта нулевого уровня, а его

листьям вершины, не имеющиеподчинения. На

рис. 1 приведено структурное дерево, отобра

-жающеепредставленнуювыражением (3) струк

-туру.

Содержание сложного множественного объ

-екта определяется содержанием ( )S_j базисных

объектов 0

j

O .

Содержание D объекта k

i

O определим по

-следовательностью содержаний ( )S_j , листьев

в структуре ( k)

i

C O . Например, для объекта 4

i

O

со структурой (3) его содержание задается вы

-ражением 4

1 2 13 ( _i ) ( , { }, ...,

D O = S S S или 4

1 2 13 ( _i ) (S ; ;...; )

D O = S S . В первом случае явно

указанытипысодержания, вовторомслучаетип

содержанияопределяетсяпоструктуреобъекта.

По структуре ( k)

i

C O и содержанию ( k)

i

D O

однозначно задается множественный объект

k i

O , т.е.:

– любоймножественныйобъект k

i

O задается

упорядоченнойпарой ( , )k

i

O = C D ;

– объектбезсодержания ( , ( ))k

i

O = C o – пус -тойиегоструктура – схема.

Объект, имеющий одно содержание

иструктурунулевогоуровня – базисный.

Рис. 1 Структурноедерево C O( _i4)

Класс объектов E множественной структу

-ры M представляется упорядоченной парой

классов структур E_C и содержаний E_D, т.е.

( _C, _D)

E= E E .

Рассмотрим теперь подобъекты множест

-венныхобъектовиихсоставляющих.

Подсодержания, подструктуры и подобъ

-екты множественных объектов. Важным для

множественных объектов является понятие

принадлежности или непринадлежности ему

некоторого элемента x. Так как множествен

-ный объект определяется его структурой и со

-держанием, то можно ставить этот вопрос по

отношению к содержанию или по отношению

кобъекту. Приэтомвозможныслучаи:

1) если x D O∈ ( _ik) и k=0, тогда x O∈ _i0; 2) если x O∈ _i0, то x D O∈ ( _i0);

3) если x D O∈ ( _ik) и k≥1, то x O∈ _ik или

k i

x O∉ ;

4) если x O∈ _ik, то x D O∈ ( _ik).

Отношения принадлежности элемента со

-держанию и множественному объекту имеют

свои особенности. Рассмотрим особенности

принадлежностисодержанию.

Так каксодержание множественного объек

-та определяется через содержание базисных

объектов разного типа, которые могут быть

упорядочены или неупорядочены, то отноше

-ние принадлежность ( )s∈ S есть множествен

-нымилисписочным. Отношениепринадлежно

-сти и порожденные им классы подмножеств,

включений и прочее изложены в теории мно

-жеств [18]. Отношения списочной принадлеж

-ностикакупорядоченных множеств рассмотре

-но в работах [3, 14.]. В общем случае отноше

-ние ( k)

i

s D O∈ предполагает наличие места

в последовательности содержаний базисных

объектов, которым принадлежит данный эле

-мент s.

Определение 6. D₁ есть подсодержанием

содержания D объекта k

i

O , если ∀ ∈s ( )S ⊂D₁

иэтозаписываетсятак ₁ ( k)

i

D ⊂D O .

Структура объекта ( k)

i

C O представляет са

-мостоятельный интерес. Исследования струк

-туры объекта проведем с помощью путей под

-чинения.

Определение 7. Путем подчинения в струк

-туре ( k)

i

C O называется последовательность

связанных подчинением дочерних формобъек

-та m

r

O , т.е. ( , ,..., )

i

rj r r j

h = l l l . Форма l_r называ

-ется префиксом, а форма l_j – суффиксом пу

-ти.

Путиподчинениямножественнойструктуры

объекта k

i

O покрывают всю структуру и их

мультимножество обозначим символом

( k) i

H O .

Длина пути подчинения h_ij определяется

как количество связей подчинений между со

-ставляющими пути h_ij. Путь подчинения h_ij,

длина которого равна нулю, есть вырожден

-ный. Путь с длиной один называется элемен

-тарнымпутем.

Структура объекта пустая ( )C= o ∈H, если

длиналюбогоеепути h_ij =0.

Очевидно, чтолюбой путь h H∈ составлен

извырожденныхилиэлементарныхпутей.

Всякий путь мультимножества H может

оканчиваться базисным объектом ( )⋅ или не

оканчиваться ним. В первом случае путь назо

-вем порождающим некоторый множественный

объект, вовтором−непорождающим.

Определение 8. Порождающий путь вмуль

-тимножестве ( k)

i

H O называется полным h,

еслиегопрефиксестьобъектом нулевогоуров

-няструктуры ( k)

i

C O .

Введем алгебру на мультимножестве путей

( k) i

H O так, что ( , )A= H Ξ и пусть сигнатура

Ξ задается множествами операциями и отно

-шениями { , , }= ≺ ⊂ .

Два пути h h₁, ₂∈H одинаковы (h₁=h₂), ес

-ли совпадают их последовательности связан

-ных подчинением одинаковых форм. Одинако

-вые путиприсутствуютвмультимножестве H

сопределеннойкратностью.

Для любого невырожденного пути h_mj∈H

и элементарного пути h_{r r, +1} имеет место

, 1 r r mj

h ₊ ≺h или h_{r r, +1}≺/ h_mj.

h, т.е. h₁⊂h, если ∀h_{r r, +1}≺h₁, тосправедливо

, 1 r r

h ₊ ≺h.

Рассмотрим правило выполнения операции

∪∈Ξ.

Если подпуть h_j является суффиксом пути

1

h ипрефиксомдля h₂, то h₁ ∪ ∈h₂ H.

Очевидно, чтоимеетместотеорема.

Теорема 1. Любой путь мультимножества

H можнодополнитьдополногопути.

Пусть h_k есть некоторый подпуть полного

пути h_i∈H и { }h_ij ⊂H множество путей до

-полняющих – h_k допути h_i.

Определение 10. Классом, образованнымпу

-тем h_i ипутями { }h_ij , дополняющими подпути

k i

h ⊂h допути h_i, называется K_i ={ ,{ }}h h_{i ij} .

Теорема 2. Множествопутей H разбивает

-сянаклассы K_i так, что _i

i

H =

_∪

K .

Данная теорема является следствием теоре

-мы алгебры разбиения множества на классы

[8, 9].

Определение 11 Структура C_r есть под

-структурой множественной структуры ( k)

i

C O , ( k)

r i

C ⊂C O , если ∀h_r ≺C_r, то справедливо

( k)

r i

h ≺C O .

Определение 12. Подструктура ( k)

r i

C ⊂C O

называется порождающей, если вней найдется

хотябыодинпорождающийпутьподчинения.

Подструктуры ₁, ₂ ( k)

i

C C ⊂C O одинаковы

(C₁=C₂), если ∀h C( ),₁ ∃h C( )₂ , h C( )₁ ≺h C( )₂ инаоборот− ∀h C( ),₂ ∃h C( )₁ , h C( )₂ ≺h C( )₁ .

Объекты _{O O1}i, ₂i_{∈E эквивалентны}

1i 2j

O ∼O , если _{D O}( )₁i _{=D O}( ₂j) _и

1 2

( )i ( j)

C O =C O .

Множество эквивалентных объектов

r k

j i

O ∼O образуют класс эквивалентности

( k) i

Q O .

Объект O₁=( ,C D_{1 1}) назовем подобъектом

1 ( k)

i

O ⊂O множественного объекта

( , ) k

i

O = C D , если C₁⊂C и D₁⊂D. Множест

-во всехподобъектов объекта k

i

O ∈E образуют

классподобъектов ( k)

i

O

℘ . Приэтомдлякласса

подобъектовсправедливысвойства:

1) ℘⊂E;

2) префиксы полных путей структур по

-добъектовиобъектамогутнесовпадать;

3) ∀ ∈℘O₁ , ∃ ∈℘O₂ , D O₁( )₁ =D O₂( ₂) и C O₁( )₁ ⊄C O₂( ₂) или C O₂( ₂)⊄C O₁( )₁ ;

4) пустые объекты ( , ( )), (( ), ( ))C o o o ∈℘,

здесь C – схемаподчинения;

5) базисныйобъект (( ), ( ))⋅ S ∈℘; 6) ℘ =₀ {(( ), ( ))}o o = ∅ ⊂℘_i.

Сложность множественных объектов.

Обычные множества характеризуются единст

-венным показателем сложности – мощностью.

Для множественных объектов одним показате

-лем мощности невозможно обойтись, так как

объектызадаютсясложнее.

Если сложность ( k)

i

O

ϑ множественного

объекта k

i

O , то из его задания следует пред

-ставление сложности ϑ через сложности θ

структуры и содержания объекта, т.е. слож

-ность объекта определяется парой

( k) ( ( ), ( ))

i i i

O C D

ϑ = θ θ .

В общем, категория сложности ϑ любого

множественного объекта удовлетворяет четы

-ремаксиомамсложностисистемизпяти [7]:

– если ₁ k i

O ⊂O , то ( k) ( )₁ i

O O

ϑ ≥ ϑ , здесь от

-ношение ( )≥ надсложностями объектов пони

-мается как отношения над сложностями их

структур θ( )C_i ≥ θ( )C₁ и содержаний

1 ( )D_i ( )D

θ ≥ θ ;

– если множество подобъектов

{ } ( k)

rj i

O ⊂℘O вдольполныхпорождающих пу

-тей ( k)

rj i

h ≺C O , то ( k) max ( )

i _r rj

O O

ϑ = ϑ , здесь

операция max ( _rj) (max ( _rj), max ( _rj))

r ϑO = r θC r θ D ; – ( k) ( )

i rj

j

O O

ϑ ≤

∑

ϑ , из этой аксиомыследу

-ет, что ( _i) ( _rj)

j

C C

θ ≤

∑

θ и ( _i ) ( _rj) j

D D

θ ≤

∑

θ ;

– (( , )) 0ϑ o o = .

Последняя аксиома отражает факт сущест

-вования подобъекта в классе ( k)

i

O

℘ с пустой

-торогопринимаетсянулевой.

Представление сложности множественного

объекта через компоненты сложности егострук

-турыи содержания позволяет разносторонне ха

-рактеризовать множественный объект. Рассмот

-рим некоторые измерения сложности множест

-венногообъекта.

Объем содержания множественного объек

-та k

i

O – ₁( ( k)) i

D O

θ , длякоторогосложностьиз

-меряется количеством компонент ( ) ( k)

j i

S ∈D O

или количеством листьев структурного дерева

объекта. Например, для формы (3)

4 1( (D Oi )) 13 θ = .

Объемструктуры множественногообъекта

k i

O – ₁( ( k)) i

C O

θ измеряется количеством эле

-ментарных форм структуры или количеством

вершин структурного дерева. Такдляформы (3)

4 1( (C Oi )) 19 θ = .

Объем множественного объекта

1(Oik) ( ( ), ( ))1 Ci 1 Di

ϑ = θ θ , таким образом

4

1(Oi ) (19,13) ϑ = .

Мощность содержания множественного

объекта ₂( ( k))

i

D O

θ можно измерять так:

2( ( ik)) max{# ;j j ( ik)} j

D O S S D O

θ = ∈ или так:

2( ( ik)) # j j

D O S

θ =

∑

.

Сложностьструктурыобъектаможноопреде

-лять числом подчинения структуры множест

-венногообъекта−

3( (C Oik)) min{|_j h1j|;h1j C O( ik)}

θ = ≺ ,

избыточнымчисломподчинения

4( (C Oik)) k 3( (C Oik)) θ = − θ .

Например, для структуры (3) сложности

4 3( (C Oi )) 2

θ = и θ₄( (C O_i4)) 2= , а длябазисного

объекта число подчинения θ ⋅ =₃(( )) 0

и θ ⋅ =₄(( )) 0.

Количествоуровнейобъекта k

i

O такжеможно

определить через измерение сложности

5( ( ik)) max{| 1j|} 1 j

C O k h

θ = = + .

Очевидно, рассмотренныеизмерениясложно

-сти множественных объектов и их компонент

удовлетворяют приведенным аксиомам сложно

-сти.

Операции над множественными объектами.

Исходя изтого, чтомножественныеобъекты оп

-ределяютсякомпонентамиструктуры исодержа

-ния, операции над объектами должны выпол

-нятьсянадихкомпонентами.

Пусть (*) −некотораябинарнаяоперация, то

-гдадлялюбыхобъектов O O₁, ₂ можноформаль

-но записать O O₁* ₂=( *C C D D_{1 2}, ₁* ₂). Укажем

на очевидные свойства и особенности этой опе

-рации:

– операция (*) допустима к объектам O₁

и O₂, если она применима к соответствующим

структурамисодержаниям;

– правила выполнения операции зависят от

структуры и содержания объектов и различны

длясодержанияиструктуры;

– операция (*) в общем случае не коммута

-тивнаиневсегдаассоциативна;

– ∀O O₁, ₂∈℘ − результат операции

1* 2

O O ∈℘ или O O₁* ₂∉℘, но всегда

1* 2

O O ∈E.

Сначала приведем основные теоретические

сведения о множественных операциях над неко

-торымибазиснымиобъектами 0

i

O и 0 j

O .

Известно [20, 22], что к мультимножествам

применимы операции обычного объединения

( )∪ иобъединениясо сложением ( )ƒ , обычного

пересечения ( )∩ и пересечения с умножением

( )

∩× , разности (\) , симметрическойразности ( )∆

идр., которые ∀ S_i , S_j ∈E_D выполняютсяпо

правилам:

; | , ( )

i j i j

S S s s S S m s

〈 〉 〈 〉 = 〈∪ ∈〈 〉 〈 〉 =

max{ ( ), ( )}

i j

s s

m_{〈 〉} s m_{〈 〉} s

= 〉,

; | , ( )

i j i j

S S s s S S m s

〈 〉 〈 〉 = 〈ƒ ∈〈 〉 〈 〉 =

( ) ( )

i j

s s

m_{〈 〉} s m_{〈 〉} s

= + 〉,

; & , ( )

i j i j

S S s s S S m s

〈 〉 〈 〉 = 〈∩ ∈〈 〉 〈 〉 =

min{ ( ), ( )}

i j

s s

m_{〈 〉} s m_{〈 〉} s

= 〉,

; & , ( )

i j i j

S S s s S S m s

×

〈 〉 ∩〈 〉 = 〈 ∈〈 〉 〈 〉 =

( ) ( )

i j

s s

m_{〈 〉} s m_{〈 〉} s

, \

i j i j

S S S S

〈 〉 ⊇ 〈 〉 〈 〉 〈 〉 =

; _i & _j , ( )

s s S s S m s

= 〈 ∈〈 〉 ∉〈 〉 =

( ) ( )

i i j

s s s

m_{〈 〉} s m_{〈 〉 〈 〉} s

= − _∩ 〉,

,

i j i j

S S S S

〈 〉 〈 〉 = ∅ 〈 〉∆ 〈 〉 =∩ /

( S_i \ S_j ) ( S_j \ S_i )

= 〈 〉 〈 〉 ∪ 〈 〉 〈 〉 .

Здесь ( )m s – кратностьэлемента s насоот

-ветствующеммультимножестве.

Для упорядоченных множеств или муль

-тимножеств 0

1

O и 0 2

O операции ( )∪ и ( )∩ ,

вобщем, не допустимы, т.к. отношения поряд

-ков на объектах 0

1

O и 0 2

O могут быть различ

-ными. А операции ( )ƒ , ( )∩ , (\) и ( )∆ могут

быть реализованы различными способами

[3, 19]. Воспользуемся идеями правил этих

операцийизработы [3]

[ ] [ ]S_i ƒ S_j = s; s [[ ], [ ]], ∈ S_i S_j

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )

i j

S S

m s =m s +m s ;

[ ] [ ]S_i S_j s; s [[ ] [ ]&[ ]& S_i S_j S_i

×

∩ = ∈ ƒ

[ ] [ ] &[ ]], ( ) ( ) ( )

i j

j S S

S m s =m s +m s , (4)

при этом #([ ] [ ]) #([ ] [ ])S_i S_j S_i S_j

×

∩ = ƒ и если элементы [[ ] [ ]&[ ]&[ ]]s∉ S_i ƒ S_j S_i S_j , то они за

-меняютсяввыражении [ ] [ ]S_i ƒ S_j пустым сим

-волом o;

[ ] [ ],S_i ⊇ S_j

[ ] [ ] [ ] ; [ ]&s [ ], ( )

( ) ( ) [ ] \ [ ]

; [ ]&s [ ],

i i j

i j

s s s

i j

i j

s s S S m s m s m s S S

s o s S S

∩ ∈ ∉ = ⎡ ⎢ = − = ⎢ ⎢ _{= ∈ ∈} ⎣ (5)

здесь #([ ] \ [ ]) #[ ]S_i S_j = S_i ; [ ] [ ]S_i S_j ,

×

∩ = ∅/

; [ ] [ ]&[ ] \ [ ]& &[ ] \ [ ],

[ ] [ ]

; [ ] [ ]&

&s [ ] \ [ ]&s [ ] \ [ ].

i j i j

j i

i j

i j

i j j i

s s S S S S

S S

S S

s o s S S

S S S S

∈ ⎡ ⎢ ⎢ ∆ _{= ⎢ = ∈} ⎢ ⎢ ∉ ∉ ⎣ ƒ

ƒ , (6)

приэтомимеетместосвойство

#([ ] [ ]) #([ ] [ ])S_i ∆S_j = S_i ƒ S_j .

Операции ( )ƒ и

( )

×

∩ могутвыполнятьсянад

упорядоченными объектами разных типов, по

-этому их результатом являются неоднородные

объекты. А операции (\) и ( )∆ выполнимы

только над однотипными базисными объекта

-ми.

Заметим, чтооперация объединения сосло

-жением допускает обобщение на универсуме

D

E через декомпозицию первого места объе

-динения. Назовемееоперациейобъединениясо

сложениемпоместу (ƒ_g) иопределимеепра

-вилом:

1 1

[ ] [ ] [ ,..., , ,..., ]

g g m

i g j i i i i g

S ƒ S = s s s ₊ s ƒ

1 2

[ ,. ,..., ]

k

g sj sj sj =

ƒ

1 1 2

; [ ,..., , ,. ,..., ,

g k

i i j j j

s s s s s s s

= ∈

1,..., ],

g k m k

i i

s _{+ +} s ₊

[ ] [ ] ( ) ( ) ( )

i j

S s

m s =m s +m s . (7)

При этом порядок следования элементов

врезультирующем спискеправила (7) частично

меняется.

Таккакправилаопераций

( )

×

∩ и ( )∆ опреде

-ленычерезоперациюобъединения, тоони также

допускаютобобщениянаосновеправила (7).

Изтого, чтосодержаниеобъектапроизволь

-ного уровня упорядочено по порядку следова

-ния его базисных объектов, над любыми со

-держаниями D_i и D_j множественныхобъектов

k i

O и r j

O можно выполнить рассмотренные

операции, приняв заэлементы в правилахопе

-рацийбазисныеобъекты. Такоперация ƒ_g над

содержаниями D_i и D_j выполняется поформе

правила (7):

1 1

( ,..., , ,..., )

g g m

i g j i i i i g

D ƒ D = S S S ₊ S ƒ

1 2

( ,. ,..., )

k

g Sj Sj Sj =

ƒ

1 1 2

( ,..., , ,. ,..., ,

g k

i i j j j

S S S S S

=

1,..., ),

g k m k

i i

аоперацияразности (\) – поформеправила (5):

,

i j

D ⊇D

; ( ) &( ) ,

\ ,

( ); ( ) &( )

i j

i j

i j

S S D S D D D

S o S D S D

∈ ∉

⎛ ⎞

= ⎜ _{= ∈ ∈} ⎟

⎝ ⎠

гдепод отношением ∈ понимаетсяпринадлеж

-ность элемента ( )S содержанию Dпо имени

илизначениюипотипу.

Дляраспространениярассмотренныхопера

-ций на структуры подчинения множественных

объектов необходимо ввести дополнительные

операции.

Операция ( )• прививки структуре C эле

-ментарнойформой.

Пусть () ,_j j=1, 4, любая элементарнаяфор

-ма без содержания и пусть заданная форма

также без содержания – ()k

iq ≺C, расположен

-ная на месте q уровня k , тогда операция ( )•

действуетпоправилу:

1 () () (()k ) (...,() ,...)k

j iq jr iq

C C C

• = • ≺ = ≺ . (8)

Правило (8) позволяетполучитьвструктуре

1

C привитую почку ()_jr, расположенную на

месте r в форме ()k

iq, при этом 0≤ <k n, где

n −числоуровнейструктуры C.

Операция объединение структур C₁ƒC₂

допустима, есливструктуре C₁ имеетсяпочка,

совпадающая с основной формой структуры

2

C . Поэтому этаоперация выполняется конст

-руктивноспомощьюалгоритмическойсхемы:

1) определяетсяместо прививкина структу

-ре C₁ (уровень, место на нем элементарной

формы и местоположение почки в выбранной

форме);

2) основная форма структуры C₂ принима

-етсязапрививаемуюэлементарнуюформу;

3) выполняетсяоперацияпрививки;

4) почкавструктуре C₁ заменяетсяструкту

-рой C₂.

Формально эта операция представляется

выражениемчерезпутиподчиненияструктур

1 2 { , 1| 2}

C ƒC = h h C C≺ , (9) 1| 2

h C C≺ – означает, что h C≺ ₁ или h C≺ ₂.

Операция разности (\) структур C₁ и C₂,

в зависимости от поставленной цели, может

конструктивно выполняться различным обра

-зом, например, через удаление их общегопути

подчинения или удаления общего суффикса

путейипр.

Пусть образующие пути { }, {h_1i h_2j} струк

-тур C₁ и C₂ такие, что {h_2j} { }⊂ h_1i , тогдапро

-цесс удалениялюбого пути { } {h_j ∈ h_2j} выпол

-няетсяпоэтапно:

1) удаляется суффиксная форма пути

вструктуре C₁;

2) затем удаляется следующая форма (спра

-ваналево) путивструктуре C₁;

3) пункт 2 выполняется дотех пор, пока не

будетпройденпуть h_j иличасть его довстре

-чи с формой разветвления в структуре C₁ на

пути h_i;

4) вконецоставшейсячастипути h_i приви

-вается почка с пустым содержанием и типом

начальногосуффиксапути h_i.

Предпочтительна более простая процедура

удаления общего суффикса путей h_i и h_j,

с последующей прививкой пустой почки типа

удаленного суффикса так, что получим путь

1 (...,( ))

h = o ≺C . Приэтомспособевыполнения

операции разности конструкция структуры C₁

сохраняется.

Отвлекаясь от технологического способа

реализации операции разности структур, пред

-ставимеетак

,

i j

C ⊃C

, ; &

(...,( )); , \

, ,

i j

j i i j

i i j j

h h C h C h o h h C C

h C h C

⎧ /

⎪ ⎫

⎪ =

= ⎨ ⎬

⎭ ⎪

⎪⎩

≺ ≺

≺

≺ ≺

. (10)

Операции пересечения

( )

×

∩ и симметриче

-ской разности ( )∆ над структурами выполня

-ются посхемеправил (4) и (6) сиспользовани

Теоретико-множественные операции над

множественными объектами выполняются

вкомплексенад ихструктурамиисодержания

-ми, например, объединение объектов

( , ) k

i i i

O C D и ( ,r ) j j j

O C D выполняется по пра -вилу:

( , )

k r

i j i j i g j

O ƒO = C ƒC D ƒ D ,

вкоторомместо g определяетсяместоположе

-нием прививаемой почки вструктуре подчине

-ния C_i.

Отношения над множественными объек

-тами. Комплексные операции над составляю

-щимиобъектоввыполняютсяпоразнымправи

-лам, поэтому следует ожидать этого и относи

-тельноотношенийнадмножественнымиобъек

-тами. Например, если ρ отношение над

объектамиуниверсума E=(E E_C, _D), а ρ_C и ρ_D

отношения над составляющими этих объектов,

то отношение ρ = ρ ρ( _C, _D) может иметь отно

-шения по компонентам различных типов,

свойств и пр. Исходя из того, чтолюбое отно

-шениепроизвольного порядка с помощью пря

-мойсуммы представляетсячерез бинарные от

-ношения (см. представление (2)), то в дальней

-шем сосредоточим внимание в основном – на

последних.

Принимаем, что отношения ρ_C( ,C C_{1 2})

и ρ_D( ,D D_{1 2}) согласованы, если пары ( ,C D_{1 1})

и ( ,C D_{2 2}) определяют объекты _O1k _и

2r

O , на

которых задается отношение ρ = ρ ρ( _C, _D). От

-ношения ρ_C и ρ_D могут применяться различ

-нымобразом. Рассмотримвначале способы ор

-ганизацииотношенийнасодержаниях.

Пусть ( )S_1i ⊂D₁ и (S_2j)⊂D₂, тогда отно -шение ρ_D((S_1i), (S_2j)), определенное на одно

-типных илиразнотипных подсодержаниях, мо

-жетобладать илине обладать свойством одно

-типности. Например, если базисные содержа

-ния (S_1i) и (S_2j) естьмножества, тоотношение

1 2 ({ }, { }) D Si S j

ρ также множество (свойство

однотипности), таккаконозадаетсясвободным

набором пар ( ,s s_{ik jq}), s_ik∈S_1i, s_jq∈S_2j. Если

на декартовом произведении множеств задать

отношение порядка p расположения пар

в произведении, тогда отношение

1 2 ({ }, { }) p

D Si S j

ρ есть разнотипное, так как от

-ношение p

D

ρ задаетупорядоченноемножество.

Дляоднотипныхотношенийилиотношений

с разными компонентами содержания ( )S_1i

и (S_2j) возможны свойства эквивалентности,

толерантностиидр.

В общем случае отношение ρ_D( ,D D_{1 2}) оп

-ределяется суперпозицией пар ((S_1i), (S_2j))

и ( ,s s_{ik jq}), т.е.

1 2 1 2

( , ) ( , ) (( ), ( )) D D D s sik jq Si S j

ρ = , (11)

поэтому можно принять, чтосвойства отноше

-ния ρ_D( ,D D_{1 2}) по необходимости переносятся

и на отношения этих пар и наоборот − одина

-ковыесвойствапарприписываютсяотношению

1 2 ( , ) D D D

ρ . То есть, если отношения на парах

1 2

((S_i), (S _j)) и ( ,s s_{ik jq}) обладают свойством

рефлексии, тоэтимжесвойствомобладаетиих

суперпозиция. Очевидно, при наличии опреде

-ленных свойств одной из составляющих отно

-шения ρ_D( ,D D_{1 2}) следует говорить о частич

-номсвойствеэтогоотношения.

Исходя из того, что множественные струк

-туры объектов определяются упорядоченными

системами образующих их полных путей под

-чинения _{1i 1}

i

h =C

∪

, _{1j 2}

j

h =C

∪

, то под декарто

-вым произведением структур понимается про

-изведениеполныхпутей. Такимобразом,

1 2 1 2

( , ) ({ },{ }) C C C C hi h j

ρ = ρ . (12)

И теперь отношения на множественных

объектах через формулы (11) и (12), определя

-ютсявыражением:

1 2 1 1 2 2

( k, r) ( ( ( k), ( ( r)), C

O O C O C O

ρ = ρ

1 1 2 2 ( ( k), ( ( r)))

D D O D O

ρ .

Обобщение бинарного отношения на отно

-шение m-го порядка для множественных объ

-ектов ki , 1,

i

O ∈E i= m представляетсякак

1 2

1 2 1 2

( k, k ,..., km) ( ( , ,..., ),

m C m

O O O C C C