An Algebra Coalgebra Framework for System Specification

(1)

!" #

$

" %

(2)

" & $

""

"" "' (

&

"" '" )

*

" +

" ""

"

%

"

, * -

$

" %

-

.

$&

$' " % -

*

$ !

& ' " /

*

" %

* "

% * !

" / !

" &,

0

" %

0

"' $

$

" &1 $

"' 2

3"

% " % *

(3)

* 2 -" /

2!"

4 *

& ' "

% 4

" , *

$

& !-'

$ *

" ( 4

$ "

6

"

7 " ,

Æ & "

'

Æ & '" %

Æ "

,

"

7

" , 3 Æ

&' "

# 3 Æ

&' " ,

"

( *

&' *

"

6

"

! "# $

(4)

, &'

3*

*

"

,

& ' "

7&' " ,&'

& ' & '"

% &' &'

&'" , *&'

&' "

- &8'

8

&

$ '" 9

Æ

Æ 8

" / &8' 8

Æ

8 Æ

::

8

Æ

&Æ

&'' ;Æ &

&'' Æ

8

&

::

; 3'"

% &8' 8 8

&

'

&

'

;

Æ

&

::

'

& 4'

!"

% 3

&' & "" -'"

! &' &'

, &'*

* *

&'"

" # &' &'

(5)

$ % &'

,% 4"< = 4" "

$ & &' &'

> &'&'" ,&'

3 &'

* $ &'

&' " +

&'

"

" &' &'

! !

&'

( $ &'"

" &'

&' &'

" ! #

"' () % * &

* ' $ " ¾

2 $ $ &'

"

)

" / & " ' $ "

" &'

! ! &'

Æ Æ

&' ! !

"' 2 $ $

" % ;

Æ $

;

& '" ) "¾

9 * & '

$ &'"

% '& $

%(') *$''(

(6)

" &'

&'

&' " ! #

"' () % * $ &

$ ' " ¾

2 &'

" )

" / $ "

" &'

! Æ

! &' Æ

&'

! !

"' 2 = 4"-" ¾

, "

+

"" & '

" %

"

7&' " ,&'

&'

Æ " & "'

% &' &' " ,&'

&' &'

" (&'

" "" Æ

&'

Æ

Æ ;Æ

" %

"

=

$ "

! 7&' " ,&'*

&' &' &' &' " , &'

&'$ &' & ;

&''

;

"

/ &' &'$

&' 3 $

(7)

# / &8'

& ' & '

8 - &' &' Æ

Æ 8

; , " 2 ; ;

& '

&' ;

&' & Æ';

Æ Æ 8

¼ ¼ "

@ 8

; :: 3" %

" 2 8

8

&' ;

&' &

Æ' ; &

' &

' ÆÆ Æ 8

; &

' &

' :: $ &'

; "

$ -

" (8 8

&&'&

' &

'' & ;

&

' &

''

; " , 8 8$

&'; &'

& ' &'

&

' &

'

; &

&

' &

''"

% 8 8$

$" @ 8 & ' &

' &

(8)

&'

;:

¼

&'

¼ ;

Æ & &8'

* 8 '

&

'

&';

&'

&

'

¼&

';

8 " % 8 8$

;

$ &

' &

'

8

" &5

$"'

% + $

&4' $

$ !"

%

$ "

" & &'

Æ &' &'

&' !$%

&' &! ;&' Æ;&'

&' &! Æ ; &' ;

&'

"' ; &'

;

" =

A ;

A $ & ' A

Æ

;A

Æ "

%

Æ ;

Æ

Æ ;

&'" , Æ ; &'

Æ ;

Æ

" =

A

Æ

;

Æ ""

A ;

A" %

;

;&'" ¾

( & &'

' &'

$"

" &'

& '

(9)

&' ;

&' !

;

&'

"' ( ;

3

Æ ; Æ

;

Æ

;

Æ " ¾

$ &'

! &' ! ! &' $

&'

"' % = 4"4 4"4" ¾

@

&&''

&'

3Æ " %

3 & &''

"

+ $!

! $

!

! ! !$

%

"' () @

! " *

Æ Æ" "

%

!

& "

"

'" +

*

" ¾

" $ !

! $

!

(10)

& &''

!

"' () 6 *

" 6

&#&

#

'

'" %&#&

'

&#&

'

' " %

$ $# #" % &$Æ

' 3

&&''

" &%

Æ

# $ "

, Æ

$

ÆÆ

; Æ

Æ$ &$Æ

'

&&''

#"' ¾

= 4"4! $

3 &&''

& &''

&' 3 &'

$"

" &'

&' ! &'

& &''

&' !

"' 2 ;

" / ;4 &'

Æ $

" , &&

'

; Æ

" % &&''

&&''

(11)

$ &'

! &' &'

"' () % 4"< = 4"40 " ¾

, $

"

! 7&' " ,&'

&'$ &' &

;

&''

&'

( &'

" (

&

; ;

' "

,) # ( * ;

&'$

BÆ

;BÆ

" / ;

&'

;

Æ

BB BÆ

BÆ

;&BÆ

'Æ&BÆ 'Æ

BÆ

;BÆ BÆ

; BÆ

" , BÆ

; BÆ

* B $

;

Æ"

( & &' = 4"4'

$

$ $

"

" % &' &'

&' &!

;

! ! ; ! &'

"$ ! &'

! &' #

"' () C * 4"4

& 1 4"-?' " ¾

% $

" ( = 4"4

4"4 A $

= 4"4"

= $

(12)

& 7&' " ,&'

%

% &' &'

%

&' %

%

&' "

% &'$ &' *

&'

&'%

%

& ;

'"

%

"

,

&' & ' &'

3 Æ Æ "

, &' &' & '

!

& ' &'

* & '

&' Æ" &(

&' & '"'

,

&8' &

8

' -

&

&&

'

&

8

'

& &

&

'" 1

& &8' &

8

' !

&

8

'

&8' *&

8

'

&8'

;&

'

Æ ¼

;Æ ¼"

%

&

8

' &8'

Æ

¼

Æ

&

'

&&(

Æ ¼

'

Æ ¼

¼

';&(

Æ '

Æ

¼

*

¼

& '

"

- ) *$ $

') *$(

(13)

, &' &' & '

&' & ' " %

* &' &' & ' &ÆÆ

'

& ' Æ

Æ

ÆÆ

&

ÆÆ

$

ÆÆ ;

ÆÆ

'" &5

3"'

% &' & '

&'$ & '$" ,

&'$

&' & '

& ' " % ! &

?' "

" &' &' & '

Æ & ' &'

Æ ;

! ! Æ;

& '

"' ( &'

Æ ;

ÆÆ ;

ÆÆ

Æ ;

& '

ÆÆ ;

ÆÆ

" %

3" ¾

% & '

&

'"

6

&"" 3

'" 9

4" %

& ' &'

&

*

Æ ' " ""

&* ' " %

4

"

$

!

' !

Æ Æ ! &! !

! ! !

!

(14)

& ' &'

Æ "' 7 ; ; ) * *

" % ;&

'Æ%

%

Æ) * *

" &% Æ ;

"' 5 * % Æ%

%

Æ)

& *' $ Æ Æ *

& * ' *

* * 3

*" & $ $

*" ,

"'

5 &+

' 3 & & ')' ¼ + * $ %

¼Æ+ " & && ')'

¼

3

= 4"4!"' / ,

,

;Æ " ¼ ¼ ! ¼ ¼ ! " ¼ ! ¼ Æ ¼ ¼ ¼ " % , " % &'

$ " + ,

" % Æ Æ

" %3$

; " % Æ

B Æ ) $

" , - ; &

'Æ%

%

ÆÆ

- " &%

; "' (

& B 'Æ%

%

ÆÆ ;%

%

Æ)ÆB&B

(15)

% ;ÆB ÆB;" ¼ ¼ ¼ Æ ! ¼ ¼ ! "

% ÆÆB; Æ BÆ- ; Æ- ; Æ ;

ÆÆ B" % &' $ Æ

Æ $ ! B;Æ!" %

$ !

!

;!" /

& ÆB' ; ÆB ; B; Æ! ;Æ!

;&Æ!

'

Æ ; ÆB; Æ! $ " " 2

Æ" ;B &Æ B'& & ')' ¼ " /+$ Æ + Æ , Æ ; Æ Æ

;ÆB;" D$

$ ) " %

&' & '

3

" ¾

$ &' & '

&' &' & '

& ' &'

"' (Æ *

% 4"-!" / $

# 4"- 4"-" , 3

3

" / 3

* * " ¾ % 3

& ' &'&'" % *

"

%*&'% 4"-0 &"";

' &' " "" &'

"

$ &'

(16)

"' % * &' & ' &' %

4"-0 &' &' & B' B

$

" ¾

( $

1 4"-0

"

! &' &' &

'

&!

¼

&

' &'

"' 7 &' ,

Æ

" , Æ

Æ

3& & 'Æ'

¼

" % ,

Æ

&' ,

Æ

¼ Æ

" &(

$ ,

Æ

"' %

Æ

3

¼

" ¾

6

&

$'

"

,

$

"

2 &E'

&

'

;

#

&

'

&E' &

'" , E

&'

;.

.

. ;

&

' &'

&'

¼

;

/ ( !0#

( 1$

!0#(&2 (&

(17)

Æ

&

'

¼

;

B

¼

/ E$ &' ; &

'

$&

'

Æ

&

'

E

&

'

"

2 4

" % *

"

9

!" 2

& '

" %

" , $ & $'

& '

"

6 &'

&/' 3

;

; :

( 0 ;

0

/

$

+ 0 Æ ; +Æ0 ;

$ /

&0

'

A/;

&0

'

A/;

+ &0 '

A/;

+ A+ "

, &' &' &

'

1

3

:

:&:'

(18)

A0

;

:A

¼

;"

&%

"' + 1" &(

3 "'

=

! "

, '- & 2'

& ' &' 2

& & ' *& '

&/' '

$

#

$

#

%

$ $

; & '

#

& ' & '

#

; 2

& '

#

; & '

& $

#

; '"

,'- & 2'&

2

'

&-' &-'& ' &

'

&'&' &

'

&

#

¼ '

¼

# ¼

&

¼

&

¼

'

¼

1

"

,) % $ $

;2"

% # -" &

#

/'

(19)

+

#

+Æ ; +Æ/ ; +Æ+ " $

#

3

+ +

2

+Æ ; +Æ/ ; +Æ+ " ,

#

+ Æ3

Æ

+ 3"

7 &-' & 2' &

2

'

&(

&

# ¼

' &

#

'*&

# ¼

'

+

#

-¼

Æ

+

Æ1 ¼

"

/ & 2' & '

&

# '"

" & 2' ! &

# '

!

&

#

' & '

#

& '

"' % 1 4"

" ¾

( &

#

'3

#

*)B

#

*) B

#

*2

"

*)

$ *2

"

*)" %

#

"

%

#

& '

#

"

, 3 & '&

3'

#

"

" & 2' ! &

# '

"' % *

#

3"

)3 &

#

'

#

# &B

'/

;

2

/

3&$B

'" ¾

%

#

"

" ! & 2' &

#

'

&

#

' & '

(20)

& ' & ' " %

& '

#

&

& ' '

&

#

'

" ¾

$ &

#

'

,) ! ( $ & =

4"!'" , = 4"4

" / . & '

& 1 4" '" (

#

; Æ

#

&

#

''

#

& $

#

'" %

#

"

9

& ' $

$

" 2 $ $

$ $

$" 2

"

# 7& 2' " ,

#

+

& '$ &' &

+ ;

&''

Æ

;

!

! !

)

+ Æ3 * $

#

+ "

, + &'$ &

'

& + ;

&

''

¼

/ $ !

# !

#$

!

(21)

+ * $

#

+

#

+

&' + "

,) % ; &' + ;

&'" &%

* ;

Æ ;

Æ Æ3 +

$

#

Æ

; "' +

+ " &2

&' &

#

' + $

; ;

"' 2 +

;&

' + ;

&

'" +

" &2

* $

; ; "'

2 Æ

* + ;

&'

$

ÆB ;

ÆB B $

#

+ " , Æ

* + ;

&

' $ B

Æ

¼ ;B

Æ

¼

B

$

#

+

#

"

% $

$ $

" 2 & '$

&

#

'

&

#

' &

#

'

Æ

;

Æ

+ "

!

!!

)

/ 4 4Æ

;

&

+ *

" 9

#

Æ3 Æ

;

" % *

4Æ"

2

$

$ " 2 &'$

&

#

'

& '%

%

¼

%

+ "

% 3

$ $

$

#

(22)

" & & 2' ! !$

%

&' ' & '

#

$

#

&' ' &'

#

$

#

"'

#

+

& ' &'

ÆB ;BÆ

#

B 2

/

+

$

#

+ " " ¾

(

F

"

$

" G

$

& C * -"<'"

+ & '

$

"

" & 2' ! '

+ *)B

#

!

#

!

#

2

/

#

*)B

#

!$%

&' &! &' &'

2

/

;

&' ! ! + ;&'

&' &! ! &'

& ' *)B

#

;

&' ! ! ;&'

"' () 2

/

;

&' $

+ ;

&'& ' $

+ ;&'& C *-" '" ,

*)B

#

;

&'$ + ;

&'&

' $ ;&'"

&% $ C * -"

$ C * -"< +

+ '" ¾

(23)

" %

" "" $ "

&-' & 2' &

2

' !

+

# ¼

&'

& ' + ;-&'!!

&(

+ ;

&'

"' % B

Æ1

¼

;B

B 2

/

- Æ+ Æ 1 B

2

¼

/

+ $

#

# ¼

#

# ¼

&(

+

+ " &%

;

3 "' ¾

%

Æ " "" $

" / $ "

, &-'.

- "

%

H " %

"

&-' & 2' &

2

' !

+

# ¼

&'

&' + ;-&'! !

&(

+ ;

&'

"' () % *

* & *)

*

)

'

% -"4" ¾

% H

"

)

! $

I

$ "

,$ &

'

" ,

(24)

&-' & 2' & 2 ' ! &( & # ¼ ' & # '

"' 7 + &

# ' , -¼ Æ & &

' & ' +

$+Æ,

Æ1 ¼ ¼ ¼ Æ2 ¼ " ' ¼ & ¼ ¼ Æ# ¼ ¼ ' ¼ # ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ' ¼ * # ¼ ' ¼ * # ¼

&1 $

$ "' % + # ¼ " + +

+ " ""

&( " / # ¼ Æ3 # &(

Æ3 + $ J Æ #

¼ Æ3

+

" % ,

, Æ& J

Æ3' ; ,

Æ&+ Æ J

'" &% $ $

3

+ 1 ,

Æ

J

Æ3Æ1

;

Æ3Æ1

;+Æ ;+Æ,

Æ J ;, Æ+ Æ1 Æ J ;, Æ+ Æ J Æ1 "' ' + ¼ ' ¼ * ¾ 6 # ¼ # &( "

% 2 $

& : '&

H

'

" % 3

(25)

!

! " ! # ; ; : ; &0 ' &0 '

: "

% 2 *

" % % % ! % % ,

! " ! #

%% ,

" ! #

" ! " ! ##

# $ $ ;

& '" &1 $

"' %

2 $A &0'

; &0'

A2 ;" + 2#-"

2Æ&0

'

; &0

'

Æ$

2Æ/

; / Æ2 "

, & 2' & 2 '

& : ' ¼ & ¼ : ¼

' &-' & ' &

'

&' &' & ' & , ¼ ( ¼ ¼ , ¼ " & ! & # " ¼ ! ¼ # & ¼ ¼ ¼

" ¼! ¼#

¼ ( ¼

" ¼ !

¼# " ¼ !

¼#

&-' & 2'& 2 '" &%

- 1

2 2

1 - $ # -""'

6

& '

(26)

" &% "'

( * 2 -

3"

6

3" @

&.K' K &5L'&. 5L'

&' K L &' &LK'

.

; " 2

&.M'

M &58' &. 58' &'

M 8 &' &8M'

.

; " ,

&5L' &5

L

' & &58'

&5

8

'' &&. 5L' &. 5

L

'

& 6 &. 58' &. 5

8

''

&&5'5

&

;

&6&5'5

6

;

'"

5 . K K.

M M. " %

&5L' K &

&58' M' L & 8 '

&. 5L' & &. 58' '

;

&

;

'" ,&5L' L

7 & &58' 8

' &. 5L' 7

& &. 58' '

. ;

&

. ;

' 8 ."

%

&58' 8

&

' ;.5

&

'

;

.

&

'

5

, &&58' &5

8

'

&5

8

'

&58'

¼

(27)

Æ

¼

Æ

&

'

;

.

&

'

5

¼

&"

(

L 8

& *

'

" )

" %

"

7 &L' &8'

" , &L8'

&&

'&

9' ' & ;

;

9

;

9

'

&'

&9

9

'

¼ :8&'

¼

8&'

9

:8&'

¼

;"

%

N

"

(

& '

; 9" /

9

"

% 2

" (

&L'

&8' & ' &

3 ) 4*) 5* '$ '

') 6* '$

(28)

2 ' &L8' Æ& '; ; 9 ; 9 8 3 L

Æ 8

¼ ¼ & Æ ' Æ 8 &

8 &

Æ ' Æ Æ

" Æ8

' $ &L8'

Æ& '; ; 9 ; 9 8 & / Æ Æ ; ;

; '"

2

&5L' K &58'

M &:'&

2 ' &L8'

Æ& '; ; 9 ; 9 &9 9

'LK3

!5 L

Æ 8

¼ ¼ 8

&8

*

8 '

$ &L8'

Æ& '; ; 9 ; 9

&"" &'

& ' ¼ &* ¼ ' ; '" % &'

* "

/ * $ % $ $ $ ! $

% & 2'

&' ;&'

;:

(29)

& '

;& :

' &

' 2

& '

&

' &' ; %

&&

'

&

&''' ;

&

' %

&&

'

& &

'''; &'

% &&

'

&('';

&

' "

% *

$ ! & '

$

"

% $

"

6$$

"

2*

$ $ $

$ !$

"

" "

"! " #

"! " ""

! #

!

&% !

* *

"'

9 $

!

*"

, * $

$ "

" "$

*" &% $

(30)

% *

* H " %

% $ %

& $ % $ % $ %

% !$%%

&

'

(()' *& '

'

(()' *& '

& ' &

(()' *& +& ' +&

& ' &

(()' *& +& ' +&

!' ! '

& !' +& '

& !' & +& ' +&

((&$% $

(() &

% * H " %

* $

&

$%

'

$

*" &%

$

"'

'%() * + ,, -.

/ - %001

'2(- -34 - $

, ) //

! %567 " #%008

'5(- -34 , * 9

9 : $ # %0

(31)

'1( -

, ) //

! %567 " #%008

'<( - : = . > )

$ = , * 9

9 : $ # %0

%" #; %000

'7(9?:* ,$

& $50"%# 9 %002

'6(9 ? : @

, A > B ' $# ()*

057 " #%00<

'8(9 ? ? > : -06<58

.-@ %006

'0(* 9 , * ) -* 9

- C=9 + , '

' D /%007

'%E(= :

$ # #<%00<

'%%(? :F 9 ? = , '

'(). %67% " # %000

'%2(9 : . $ :

-:07<2 - , %007

'%5(> * ? @ /

#/$ & 1"%%# %082

'%1(@ ? / ,