Arbitrary deadlines

las definiciones de ´ınf y sup, existen a, b ∈ I tales que α ≤ f(a) < d < f (b) ≤ β. Por el Teorema 4 existe C ∈ [a, b], por tanto c ∈ I, tal que f (c) = d. As´ı d ∈ f(I). Esto prueba que (α, β) ⊂ f(I). Como α es el ´ınf y β es el sup de f (I), ning´un n´umero real menor que α o mayor que β puede pertenecer a f (I). Por tanto f (I) es un intervalo cuyos extremos son α y β.

 Observaci´on: Si I = [a, b] es un intervalo compacto entonces f (I) tambi´en es un intervalo compacto; ver el Teorema 7 m´as ade- lante. Pero si I no es cerrado o no est´a acotado, f (I) puede no ser del mismo tipo que I. Por ejemplo, sea f : _{R → R dada} por f (x) = sen x. Tomando sucesivamente los intervalos abiertos I1 = (0, 7), I2 = (0, π/2) e I3 = (0, π), tenemos f (I1) = [−1, 1],

f (I2) = (0, 1) y f (I3) = (0, 1].

Ejemplo 2. Como aplicaci´on demostraremos que todo polinomio p : _{R → R de grado impar tiene alguna ra´ız real. Sea p(x) = a}0 +

a1x + · · ·+ anxn con n impar y an 6= 0. Para fijar ideas supongamos

que an > 0. Sacando anxn como factor com´un, podemos escribir

p(x) = anxn· r(x), donde r(x) = a0 an · 1 xn + a1 an · 1 xn−1 + · · · + a_n−1 an · 1 x + 1 . Es claro que l´ım x→+∞r(x) = x→−∞l´ım r(x) = 1. Luego l´ımx→+∞p(x) = l´ım x→+∞anx n = +∞ y l´ım x→−∞p(x) = l´ımx→−∞anx n = −∞ (pues n es impar). Por tanto, el intervalo p(R) no est`a acotado, ni superior ni inferiormente, esto es, p(_{R) = R. Esto significa que p : R → R es} suprayectiva. En particular existe c ∈ R tal que p(c) = 0. Eviden- temente, un polinimio de grado par puede no tener ra´ıecs reales, como por ejemplo, p(x) = x2 _{+ 1.}

Ejemplo 3. (Existencia de √n_{a) Dado n ∈ N, la funci´on f :}

[0, +∞) → [0, +∞), definida como f(x) = xn_{, es creciente (por}

tanto inyectiva), con f (0) = 0 y l´ım

x→+∞f (x) = +∞. Por tanto, su

imagen es un subintervalo no acotado de [0, +∞) que contiene a su extremo inferior, igual a cero. Luego f ([0, +∞)) = [0, +∞), esto es, f es una biyecci´on de [0, +∞) en s´ı mismo. Esto significa que, para todo n´_{umero real a ≥ 0, existe un ´unico n´umero real b ≥ 0 tal que}

88 Funciones continuas Cap. 7

a = bn_{, o sea, b =} √n_{a. En el caso particular en que n es impar, la}

funci´on x → xn _{es una biyecci´on de R en R; as´ı, en este caso, todo}

n´umero real a tiene una ´unica ra´ız n-´esima que es positiva cuando a > 0 y negativa cuando a < 0.

Ejemplo 4. El Teorema 4 es uno de los denominados “teoremas de existencia”. En ciertas condiciones nos asegura la existencia de una ra´ız para la ecuaci´on f (x) = d. Una de sus aplicaciones m´as sencillas es la que sigue. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua tal que f (a) ≤ a y b ≤ f(b). En estas condiciones existe al menos un n´_{umero c ∈ [a, b] tal que f(c) = c. En efecto, la funci´on ϕ : [a, b] →} R, definida mediante ϕ(x) = x − f(x), es continua con ϕ(a) ≥ 0 y ϕ(b) ≤ 0. Por el Teorema 4, existe c ∈ [a, b] tal que ϕ(c) = 0, esto es, f (c) = c. Un punto x ∈ X tal que f(x) = x se denomina

punto fijo de la funci´on f : X → R. El resultado que acabamos de

probar es una versi´on unidemensional del conocido “Teorema del punto fijo de Brouwer”.

Otra aplicaci´on del Teorema 4 es la que se refiere a la conti- nuidad de la funci´on inversa. Sean X, Y ⊂ R y f : X → Y una biyecci´on. Suponiendo que f es continua, ¿se puede concluir que su inversa f−1 _{tambi´en lo es? La respuesta es, en general, negativa,}

como lo demuestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5. Sean X = [−1, 0] ∪ (1, 2] e Y = [0, 4]. La funci´on f : X → Y definida como f(x) = x2_{, es una biyecci´on de X en}

Y , que es obviamente continua (ver Fig. 3). Su inversa g : Y → X est´a dada por g(y) = −√y si 0 ≤ y ≤ 1 y g(y) =√y si 1 < y ≤ 4. Luego g es discontinua en el punto y = 1 (pues l´ım

y→1−g(y) = −1 y

l´ım

Secci´on 2 Funciones continuas en un intervalo 89 + + + 4 3 2 1 2 Fig. 3

Demostraremos ahora que si una biyecci´on entre intervalos f : I → J es continua, entonces su inversa tambi´en lo es. En la secci´on 3, m´as adelante, veremos que, si el dominio es compacto, la inversa de una biyecci´on continua tambi´en es continua. (En el Ejemplo 5 el dominio de f no es ni un intervalo ni un conjunto compacto.) Teorema 5. Sea I ⊂ R un intervalo. Toda funci´on continua e

inyectiva f : I → R es mon´otona y su inversa g : J → I, definida en el intervalo J = f (I), es continua.

Demostraci´on: Supongamos, inicialmente, que I = [a, b] sea un intervalo cerrado y acotado. Para fijar ideas, sea f (a) < f (b). De- mostraremos que f es estrictamente creciente. En caso contrario existir´ıan puntos x < y en [a, b] con f (x) > f (y). Hay dos posi- bilidades: f (a) < f (y) y f (a) > f (y). En el primer caso, tenemos f (a) < f (y) < f (x), luego, por el Teorema 4, existe c ∈ (a, x) coon f (c) = f (y), contradiciendo la inyectividad de f . En el segundo caso, se tiene f (y) < f (a) < f (b), por tanto existe c ∈ (y, b) con f (c) = f (a), obteni´endose otra contradicci´on, luego f es estricta- mente creciente. Sea ahora f : I → R continua e inyectiva en un intervalo cualquiera I. Si f no fuese mon´otona existir´ıan puntos u < v y x < y en I tales que f (u) < f (v) y f (x) > f (y). Sean a el menor y b el mayor de los n´umeros u, v, x, y. Entonces, la res- tricci´on de f al intervalo [a, b], ser´ıa continua e inyectiva, pero no mon´otona, contradiciendo lo que acabamos de probar. Finalmen- te, consideremos la invaersa g : J → I de la biyecci´on continua

90 Funciones continuas Cap. 7

estrictamente creciente f : I → J. Evidentemente, g es estricta- mente creciente. Sea a ∈ I un punto cualquiera y b = f(a). Para probar que g es continua en el punto b comenzaremos suponiendo que a es interior a I. Entonces, dado ε > 0 podemos admitir que (a − ε, a + ε) ⊂ I. As´ı, f(a − ε) = b − α y f(a + ε) = b + β, don- de α > 0 y β > 0. Sea δ = m´ın{α, β}. Como g es estrictamente creciente, y ∈ J, b − δ < y < b + δ ⇒ b − α < y < b + β ⇒ g(b − α) < g(y) < g(b + β) ⇒ a − ε < g(y) < a + ε. Luego g es continua en el punto b. Si, por el contrario, a es un extremo de I, supongamos inferior, entonces b = f (a) es el extremo inferior de J. Dado cualquier ε > 0 podemos suponer que a + ε ∈ I y tendremos que f (a + ε) = b + δ, δ > 0. Entonces:

y ∈ J , b − δ < y < b + δ ⇒ b ≤ y < b + δ ⇒ a ≤ g(y) ≤ g(b + δ) ⇒ a ≤ g(y) < a + ε ⇒ a − ε < g(y) < a + ε , luego g, tambi´en en este caso, es continua en el punto b.

Corolario 1. Para todo n ∈ N, la funci´on g : [0, +∞) → [0, +∞),

definida mediante g(x) = √n_{x es continua.}

En efecto, g es la inversa de la biyecci´on continua f : [0, +∞) → [0, +∞) definida como f(x) = xn_.

 En el caso particular en que n es impar, f : _{R → R dada por} f (x) = xn _{es una biyecci´on continua y su inversa g :R → R, tam-}

bi´en denotada por g(x) = √n_{x, es continua en toda la recta.}

Sean X ⊂ R e Y ⊂ R. Un homeomorfismo entre X e Y es una biyecci´on continua f : X → Y cuya inversa f−1 _{: Y → X}

tambi´en es continua. El Teorema 5 nos deice, por tanto, que si I es un intervalo entonces toda funci´on continua e inyectiva f : I → R es un homeomorfismo local entre I y el intervalo J = f (I).