2.7 Orienteering with deadlines
2.7.1 Orienteering with delay factor
f es estrictamente creciente. Finalmente, si x < y ⇒ f(x) > f(y) decimos que f es una funci´on estrictamente decreciente.
Teorema 5. Sea f : X → R una funci´on mon´otona y acota-
da. Para todo a ∈ X′
+ y todo b ∈ X−′ existen L = l´ımx→a+f (x) y
L = l´ım
x→b−f (x). O sea: siempre existen los l´ımites laterales de una
funci´on mon´otona y acotada.
Demostraci´on: Para fijar ideas, supongamos que f es creciente. Sea L = ´ınf{f(x) : x ∈ X, x > a}. Afirmamos que l´ım
x→a+f (x) = L.
En efecto, dado cualquier ε > 0, L + ε no es una cota inferior del conjunto acotado {f(x) : x ∈ X, x > a}. Luego existe δ > 0 tal que a + δ ∈ X y L ≤ f(a + δ) < L + ε. Como f es creciente x ∈ X ∩(a, a+δ) ⇒ L ≤ f(x) < L+ε, lo que prueba la afirmaci´on. De forma an´aloga se ve que M = sup{f(x) : x ∈ X, x < b} es el l´ımite por la izquierda, esto es, M = l´ım
x→b−f (x).
Observaci´on: Si en el Teorema 5 tenemos que a ∈ X entonces no es necesario suponer que f est´e acotada. En efecto, supongamos, para fijar ideas, que f es mon´otona creciente y que a ∈ X′
+. Enton-
ces f (a) es una cota inferior de {f(x) : x ∈ X, x < a} y el ´ınfimo de este conjunto es l´ım
x→a+f (x). An´alogamente, si a ∈ X
′
− entonces
f (a) es una cota superior del conjunto {f(x) : x ∈ X, x < a}, cuyo supremo es el l´ımite por la izquierda l´ım
x→a−f (x).
3. L´ımites en el infinito, l´ımites infinitos, expresiones inde- terminadas
Sea X ⊂ R un conjunto no acotado superiormente. Dada f : X → R, se escribe
l´ım
x→+∞f (x) = L
cuando el n´umero real L cumple la siguiente condici´on: ∀ ε > 0 ∃ A > 0; x ∈ X , x > A ⇒ |f(x) − L| < ε .
O sea, dado cualquier ε > 0, existe A > 0 tal que |f(x) − L| < ε siempre que x > A.
78 L´ımites de funciones Cap. 6
De manera an´aloga se define l´ım
x→−∞f (x) = L, cuando el dominio
de f no est´a acotado inferiormente: para todo ε > 0 dado, existe A > 0 tal que x < −A ⇒ |f(x) − L| < ε.
En estos casos son v´alidos los resultados ya demostrados para el l´ımite cuando x → a, a ∈ R, con las adaptaciones obvias.
Los l´ımites cuando x → +∞ y x → −∞ son, de cierta forma, l´ımites laterales (el primero es un l´ımite por la izquierda y el se- gundo por la derecha). Luego el resultado del Teorema 5 es v´alido: si f : X → R es mon´otona y acotada entonces existen l´ım
x→+∞f (x)
(si el dominio X no est´a acotado superiormente) y l´ım
x→−∞f (x) (si el
dominio X no est´a acotado inferiormente).
El l´ımite de una sucesi´on es un caso particular de l´ımite en el infinito: se trata de l´ım
x→+∞f (x), donde f : N → R es una funci´on
definida en el conjunto N de los n´umeros naturales. Ejemplo 8. l´ım
x→+∞1/x = l´ımx→−∞1/x = 0. Por otra parte, no exis-
ten l´ım
x→+∞sen x ni l´ımx→−∞sen x. Se tiene l´ımx→−∞e
x = 0 pero no existe
l´ım
x→+∞e
x, en el sentido de la definici´on anterior. Como hicimos en
el caso de las sucesiones, introduciremos “l´ımites infinitos” para abarcar situaciones como ´esta.
En primer lugar, sean X ⊂ R, a ∈ X′ y f : X → R. Diremos
que l´ım
x→af (x) = +∞ cuando, para todo A > 0 existe δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ, x ∈ X ⇒ f(x) > A. Por ejemplo, l´ım
x→a1/(x − a) 2
= +∞, pues dado A > 0, tomamos δ = 1/√A. Entonces 0 < |x − a| < δ ⇒ 0 < (x − a)2 < 1/A ⇒
1/(x − a)2 > A.
Definiremos l´ım
x→af (x) = −∞ de modo semejante. Esto significa
que, para todo A > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < −A. Por ejemplo, l´ım
x→a−1/(x − a) 2
Secci´on 3 L´ımites en el infinito 79
Evidentemente, las definiciones de l´ım
x→a+f (x) = +∞, l´ımx→a−f (x) =
+∞, etc no presentan mayores dificultades y se dejan a cargo del lector. Tambi´en omitiremos las definiciones obvias de l´ım
x→+∞f (x) =
+∞, l´ım
x→−∞f (x) = +∞, etc. Por ejemplo,
l´ım x→a+ 1 (x − a) = +∞ , x→al´ım− 1 (x − a) = −∞ , l´ım x→+∞e x = +∞ , l´ım x→+∞x k = +∞ (k ∈ N) .
Insistimos en que +∞ y −∞ no son n´umeros reales; as´ı pues, las afirmaciones l´ım
x→af (x) = +∞ y l´ımx→af (x) = −∞ no expresan l´ımites
en el sentido estricto del t´ermino.
Observaci´on: Se tiene para l´ım(f + g), l´ım(f ·) y l´ım(f/g) resul- tados an´alogos a los del Cap´ıtulo 3 (cf. Teorema 9) sobre l´ımites de sucesiones.
Observaci´on: Admitiendo l´ımites infinitos, existen siempre los l´ımites laterales de una funci´on mon´otona f : X → R en todos los puntos a ∈ X′, inclusive cuando x → ±∞. Se tiene l´ım
x→a+f (x) = L,
L ∈ R, si, y s´olo si, para alg´un δ > 0, f est´a acotada en el con- junto X ∩ (a, a + δ). Si, por el contrario, para todo δ > 0, f no est´a acotada (por ejemplo superiormente) en X ∩ (a, a + δ) enton- ces l´ım
x→a+f (x) = +∞.
En a˜nadidura a los comentarios hechos en la secci´on 4 del Cap´ıtu- lo 3, diremos algunas palabras sobre las expresiones indeterminadas 0/0, ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 00, ∞0 y 1∞.
Veamos, por ejemplo, 0/0. Como la divisi´on por cero no est´a de- finida, esta expresi´on no tiene sentido aritm´etico. Afirmar que 0/0 es un indeterminada tiene el siguiente significado preciso:
Sean X ⊂ R, f, g : X → R, a ∈ X′. Supongamos que l´ım
x→af (x) =
l´ım
x→ag(x) = 0 y que, escribiendo Y = {x ∈ X : g(x) 6= 0}, a´un se
tiene a ∈ Y′. Entonces cuando x ∈ Y , f(x)/g(x) est´a definido y tie-
ne sentido preguntarse si existe o no el l´ım
80 L´ımites de funciones Cap. 6
en general nada puede afirmarse sobre dicho l´ımite. Dependiendo de las funciones f y g, ´este puede ser cualquier valor real o no existir. Por ejemplo, dada cualquier c ∈ R, si tomamos f(x) = cx y g(x) = x, tenemos que l´ım
x→0f (x) = l´ımx→0g(x) = 0, mientras que
l´ım
x→0f (x)/g(x) = c. Por otra parte, si tom´asemos f (x) = x sen(1/x),
(x 6= 0), y g(x) = x, tendr´ıamos l´ım
x→0f (x) = l´ımx→0g(x) = 0, sin que
exista l´ım
x→0f (x)/g(x).
Por el mismo motivo, ∞ − ∞ es una indeterminada. Esto quie- re decir: podemos encontrar funciones f, g : X → R, tales que l´ım
x→af (x) = l´ımx→ag(x) = +∞, mientras que l´ımx→a[f (x) − g(x)], depen-
diendo de nuestra elecci´on de f y g, puede tomar cualquier valor c ∈ R o no existir. Por ejemplo, si f, g : R − {a} → R son dadas por: f (x) = c + 1 (x − a)2 y g(x) = 1 (x − a)2 , entonces l´ım
x→af (x) = l´ımx→ag(x) = +∞ y l´ımx→a[f (x) − g(x)] = c. An´alo-
gamente, si f (x) = sen 1 x − a + 1 (x − a)2 y g(x) = 1 (x − a)2 , entonces no existe l´ım x→a[f (x) − g(x)].
Para terminar, un nuevo ejemplo: Dado cualquier n´umero real c ∈ R podemos encontrar funciones f, g : X → R, con a ∈ X′,
l´ım
x→af (x) = l´ımx→ag(x) = 0 y f (x) > 0 para todo x ∈ X, tales que
l´ım
x→af (x) g(x)
= c. Basta, por ejemplo, definir f, g : (0, +∞) → R co- mo f (x) = x, g(x) = log c/ log x. En este caso, se tiene l´ım
x→0f (x) g(x) =
c. (Tome los logaritmos de ambos miembros.) Todav´ıa en este caso, es posible escoger f y g de forma que el l´ımite de f (x)g(x) no exista.
Basta tomar, por ejemplo, f (x) = x y g(x) = log(1 + | sen 1/x|) · (log x)−1. Entonces f (x)g(x) = 1 + | sen 1/x| y por tanto no existe
l´ım
x→0f (x) g(x).
Estos ejemplos deben ser suficientes para entender el significado de “expresiones indeterminada”. El instrumento m´as eficaz para
Secci´on 4 Ejercicios 81
el c´alculo del l´ımite de una expresi´on indeterminada es la llamada “Regla de L’Hˆopital”, objeto de un sinf´ın de ejercicios en los cursos de C´alculo.
4. Ejercicios
Secci´on 1: Definici´on y primeras propiedades
1. Sean f : X → R, a ∈ X′ e Y = f (X − {a}). Pruebe que si
l´ım
x→af (x) = L, entonces L ∈ Y .
2. Sean f : X → R y a ∈ X′. Pruebe que para que exis-
ta l´ım
x→af (x) es suficiente que, para toda sucesi´on de puntos
xn ∈ X − {a} tal que l´ım xn = a, la sucesi´on (f (xn)) sea
convergente.
3. Sean f : X → R, g : Y → R con f(X) ⊂ Y , a ∈ X′
y b ∈ Y′ ∩ Y . Si l´ım
x→af (x) = b y l´ımy→bg(y) = c, pruebe que
l´ım
x→ag(f (x)) = c, siempre que c = g(b) o que x 6= a implique
f (x) 6= b.
4. Sean f, g : R → R, definidas mediante f(x) = 0 si x es irracional y f (x) = x si x ∈ Q; g(0) = 1 y g(x) = 0 si x 6= 0. Demuestre que l´ım
x→0f (x) = 0 y l´ımx→0g(x) = 0, y que sin
embargo no existe l´ım
x→0g(f (x)).
5. Sea f :R → R definida mediante f(0) = 0 y f(x) = sen(1/x) si x 6= 0. Demuestre que para todo c ∈ [−1, 1] existe una sucesi´on de puntos xn6= 0 tales que l´ım xn = 0 y l´ım f (xn) =
c.
Secci´on 2: L´ımites laterales 1. Pruebe que a ∈ X′
+ (respectivamente, a ∈ X−′ ) si, y s´olo si,
a = l´ım xn es el l´ımite de una sucesi´on estrictamente decre-
ciente (respectivamente, estrictamente creciente) de puntos pertenecientes al conjunto X.
82 L´ımites de funciones Cap. 6
2. Pruebe que l´ım
x→a+f (x) = L (respectivamente, l´ımx→a−f (x) = L)
si, y s´olo si, para toda sucesi´on estrictamente decreciente (res- pectivamente, estrictamente creciente) de puntos xn ∈ X tal
que l´ım xn= a se tiene l´ım f (xn) = L.
3. Sea f : R − {0} → R definida mediante f(x) = 1/(1 + a1/x),
donde a > 1. Pruebe que l´ım
x→0+f (x) = 0 y l´ımx→0−f (x) = 1.
4. Sean f : X → R mon´otona y a ∈ X′
+. Si existe una sucesi´on
de puntos xn ∈ X tal que xn > qa, l´ım xn = a y l´ım f (xn) =
L, pruebe que l´ım
x→a+f (x) = L.
5. Dada f : R − {0} → R, definida como f(x) = sen(1/x)/(1 + 21/x), determine el conjunto de los n´umeros L tales que L =
l´ım f (xn), con l´ım xn= 0, xn6= 0.
Secci´on 3: L´ımites en el infinito, l´ımites infinitos, etc.
1. Sea p : R → R un polinomio no constante, esto es, para todo x ∈ R, p(x) = a0+a1x+· · ·+anxn, con an 6= 0 y n ≥ 1. Pruebe
que, si n es par, entonces l´ım
x→+∞p(x) = l´ımx→−∞p(x) = +∞ si
an > 0 y l´ım
x→+∞p(x) = l´ımx→−∞p(x) = −∞ si an < 0. Si n es
impar entonces l´ım
x→+∞p(x) = +∞ y l´ımx→−∞p(x) = −∞ cuando
an> 0 y los signos de los l´ımites se invierten cuando an < 0.
2. Sea f :R → R definida por f(x) = x sen x. Pruebe que, para todo c ∈ R, existe una sucesi´on xn ∈ R con l´ım
x→∞xn = +∞ y
l´ım
x→∞f (xn) = c.
3. Sea f : [a, +∞) → R una funci´on acotada. Para cada t ≥ a denotaremos mediante Mt y mt el sup y el ´ınf de f en el
intervalo I = [t, +∞), respectivamente. Mediante wt= Mt−
mt denotamos las oscilaci´on de f en I. Pruebe que existen
l´ım
t→+∞Mty l´ımt→+∞mt. Pruebe que existe l´ımt→+∞f (x) si, y s´olo si,
l´ım
7
Funciones
continuas
La noci´on de funci´on continua es uno de los puntos centrales de la Topolog´ıa. Ser´a estudiada en este cap´ıtulo en sus aspectos m´as b´asicos, como introducci´on a un enfoque m´as amplio y como ins- trumento que ser´a usado en cap´ıtulos posteriores.
1. Definici´on y propiedades b´asicas
Una funci´on f : X → R, definida en el conjunto X ⊂ R, se dice que es continua en el punto a ∈ X cuando, para todo ε > 0, se puede obtener δ > 0 tal que x ∈ X y |x − a| < δ impliquen |f(x) − f(a)| < ε. Con s´ımbolos matem´aticos, f continua en el punto a significa:
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ; x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε . Se llama discontinua en el punto a ∈ X a una funci´on f : X → R que no es continua en dicho punto. Esto quiere decir que existe ε > 0 con la siguiente propiedad: para todo δ > 0 se puede encontrar xδ ∈ X tal que |xδ− a| < δ y |f(xδ) − f(a)| ≥ ε. En particular, si
tomamos δ igual a 1, 1/2, 1/3, . . . y as´ı sucesivamente y escribimos xn en vez de x1/n, vemos que f : X → R es discontinua en el punto
a ∈ X si, y s´olo si, existe ε > 0 con la siguiente propiedad: para cada n ∈ N se puede encontrar xn ∈ X con |xn − a| < 1/n y
|f(xn) − f(a)| ≥ ε. Evidentemente, |xn− a| < 1/n para todo n ∈ N
implica l´ım xn= a.
84 Funciones continuas Cap. 7
Se dice que f : X → R es una funci´on continua cuando f es continua en todos los puntos a ∈ X.
La continuidad es un fen´omeno local, esto es, la funci´on f : X → R es continua si, y s´olo si, existe un entorno V de a tal que la res- tricci´on de f a V ∩ X es continua en el punto a.
Si a es un punto aislado del conjunto X, esto es, si existe δ > 0 tal que X ∩(a−δ, a+δ) = {a}, entonces toda funci´on f : X → R es continua en el punto a. En particular, si X es un conjunto discreto, como por ejemploZ, entonces toda funci´on f : X → R es continua. Si a ∈ X ∩ X′ esto es, si a ∈ X es un punto de acumulaci´on
de X, entonces f : X → R es continua en el punto a si, y s´olo si, l´ım
x→af (x) = f (a).
Al contrario de lo que sucede con el l´ımite, en la definici´on de funci´on continua el punto a pertenece necesariamente al conjunto X y se puede tomar x = a, pues en tal caso, la condici´on |f(x) − f (a)| < ε se convierte en 0 < ε, lo que es obvio.
Teorema 1. Sean f, g : X → R continuas en el punto a ∈ X, con f (a) < g(a). Entonces existe δ > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ).
Demostraci´on: Tomemos c = [g(a) + f (a)]/2 y ε = g(a) − c = c − f(a). Entonces ε > 0 y f(a) + ε = g(a) − ε = c. Por la definici´on de continuidad, existen δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que x ∈ X, |x − a| <
δ1 ⇒ f(a) − ε < f(x) < c y x ∈ X, |x − a| < δ2 ⇒ c < g(x) <
g(a) + ε. Sea δ el menor de los n´umeros δ1 y δ2. Entonces x ∈ X,
|x − a| < δ ⇒ f(x) < c < g(x), lo que prueba el teorema.
Corolario 1. Sea f : X → R continua en el punto a ∈ X. Si f (a) 6= 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ), f(x)
tiene el mismo signo que f (a).
En efecto, para fijar ideas supongamos que f (a) < 0. Entonces basta tomar g id´enticamente nula en el Teorema 1.
Corolario 2. Dadas f, g : X → R continuas, sean Y = {x ∈ X : f (x) < g(x)} y Z = {x ∈ X : f(x) ≤ g(x)}. Existen A ⊂ R abierto
Secci´on 1 Definici´on y propiedades b´asicas 85 y F ⊂ R cerrado tales que Y = X ∩ A y Z = X ∩ F . En particular, si X es abierto tambi´en Y es abierto, y si X es cerrado tambi´en Z es cerrado.
En efecto, por el Teorema 1, para cada y ∈ Y existe un intervalo abierto Iy, centrado en y, tal que {y} ⊂ X ∩ Iy ∩ Y . De donde
S
y∈Y{y} ⊂
S
y∈Y(X ∩ Iy) ⊂ Y , o sea: Y ⊂ X ∩ (Sy∈Y Iy) ⊂ Y .
Escribiendo A =S
y∈Y Iy, el Teorema 1, Cap´ıtulo 5, nos asegura que
A es un conjunto abierto. Adem´as, de Y ⊂ X ∩ A ⊂ Y conclu´ımos que Y = X ∩A. Respecto al conjunto Z, tenemos que Z = X −{x ∈ X : g(x) < f (x)}. Por lo que acabamos de ver, existe B ⊂ R abierto tal que Z = X − (X ∩ B) = X ∩ (R − B). Por el Teorema 3 del Cap´ıtulo 5, F = R − B es cerrado, y por tanto Z = X ∩ F como pretend´ıamos demostrar.
Teorema 2. Para que la funci´on f : X → R sea continua en el
punto a es necesario y suficiente que, para toda sucesi´on de puntos
xn ∈ X con l´ım xn = a, se tenga l´ım f (xn) = f (a).
La demostraci´on se deduce usando exactamente los mismos ar- gumentos que en el Teorema 3, Cap´ıtulo 6, y por tanto se omite. Corolario 1. Si f, g : X → R son continuas en el punto a ∈ X entonces tambi´en son continuas en dicho punto las funciones f + g, f · g : X → R, as´ı como la funci´on f/g, en el caso en que g(a) 6= 0.
El dominio de la funci´on f /g, bien entendido, es el subconjunto de X formado por los puntos x tales que g(x) 6= 0. As´ı, existe δ > 0 tal que X ∩ (a − δ, a + δ) est´a contenido en dicho dominio.
Ejemplo 1. Todo polinomio p : R → R es una funci´on continua. Toda funci´on racional p(x)/q(x) (cociente de dos polinomios) es continua en su dominio, que es el conjunto de los puntos x tales que q(x) 6= 0. La funci´on f : R → R, definida mediante f(x) = sen(1/x) si x 6= 0 y f(0) = 0, es discontinua en el punto 0 y continua en los dem´as puntos de la recta. La funci´on g : R → R, dada como g(x) = x sen(1/x) si x 6= 0 y g(0) = 0, es continua en toda la recta. La funci´on ϕ : R → R, definida por ϕ(x) = 0 para todo x racional y ϕ(x) = 1 para todo x irracional, es discontinua en todos los puntos de la recta; sin embargo, sus restricciones a Q y a
86 Funciones continuas Cap. 7
R−Q son continuas porque son constantes. Si definimos ψ : R → R escribiendo ψ(x) = x·ϕ(x) vemos que ψ es continua exclusivamente en el punto x = 0.
Teorema 3. Sean f : X → R continua en el punto a ∈ X, g : Y → R continua en el punto b = f(a) ∈ Y y f(X) ⊂ Y , de forma que
la funci´on compuesta g ◦ f : X → R est´a bien definida. Entonces
g ◦ f es continua en el punto a. (La composici´on de dos funciones
continuas es continua.)
Demostraci´on: Dado ε > 0 existe, por la continuidad de g en el punto b, un n´umero η > 0 tal que y ∈ Y ; |y − b| < η implican |g(y) − g(b)| < ε. A su vez, la continuidad de f en el punto a nos asegura que existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implican |f(x) − b| < η. Por consiguiente, x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ) ⇒ |g(f(x)) − g(b)| = |(g ◦ f)(x) − (g ◦ f)(a)| < ε, lo que prueba el teorema. 2. Funciones continuas en un intervalo
Teorema 4. (Teorema del valor intermedio) Sea f : [a, b] → R continua. Si f(a) < d < f(b) entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.
Demostraci´on: Consideremos los conjuntos A = {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ d} y B = {x ∈ [a, b] : f(x) ≥ d}. Por el corolario 2 del Teorema 1, A y B son cerrados, luego A ∩ B = A ∩ B = A ∩ B. Adem´as, es claro que [a, b] = A ∪ B. Si tuvi´eramos A ∩ B 6= ∅ entonces el teorema estar´ıa demostrada ya que f(c) = d para cualquier c ∈ A ∩ B. Si, por el contrario, tuvi´esemos A ∩ B = ∅ entonces [a, b] = A ∪ B ser´ıa una escisi´on no trivial (pues a ∈ A y b ∈ B), lo que est´a prohibido por el Teorema 5 del Cap´ıtulo 5. Luego necesariamente A ∩ B 6= ∅; as´ı pues el teorema est˜na probado. Corolario 1. Si I ⊂ R es un intervalo y f : I → R es continua,
entonces f (I) es un intervalo.
El resultado es obvio si f es constante. En caso contrario, sea α = ´ınf(f (I)) = ´ınf{f(x) : x ∈ I} y β = sup(f(I)) = sup{f(x) : x ∈ I}. Si f(I) no est´a acotado tomaremos α = −∞ y β = +∞. Para probar que f (I) es un intervalo (abierto, cerrado o semiabier- to) cuyos extremos son α y β tomemos d tal que α < d < β. Por