3.4 Extensions and further variants
3.4.2 Distance-constrained vehicle routing problem (with split-delivery)
f (x) ≤ |f(x)| para todo x ∈ [a, b], de (4) resulta que −Rb
a|f(x)|dx ≤ Rb af (x)dx ≤ Rb a |f(x)|dx, o sea, Rb a f (x)dx ≤ Rb a |f(x)|dx.
Corolario 1. Si f : [a, b] → R es integrable y |f(x)| ≤ K para todo x ∈ [a, b] entonces
Rb a f (x)dx ≤ K (b − a).
Observaci´on: Si una funci´on integrable f : [a, b] → R es tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces Rb
a f (x)dx ≥ 0. Esto es
consecuencia del apartado (4) del teorema anterior. Sin embargo, es posible que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y Rb
a f (x)dx = 0 sin
que f se id´enticamente nula. Basta tomar f (x) = 1 en un con- junto finito de puntos de [a, b] y f (x) = 0 en los dem´as puntos de [a, b]. Por el Ejemplo 4, f es integrable y su integral es nula. No obstante, si f es continua y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] entonces Rb
a f (x)dx = 0 implica que f es id´enticamente nula. En
efecto, si hubiese alg´un punto x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = c > 0
entonces existir´ıa un intervalo [α, β], donde x0 ∈ [α, β] ⊂ [a, b], tal
que f (x) > c/2 para todo x ∈ [α, β]. Entonces, como f(x) ≥ 0, tendr´ıamos Rb a f (x)dx ≥ Rβ α f (x)dx > c 2(β − α) > 0, lo que es ab- surdo.
4. Condiciones suficientes para la integrabilidad
Teorema 5. Toda funci´on continua f : [a, b] → R es integrable. Demostraci´on: Dado ε > 0, por la continuidad uniforme de f en el compacto [a, b]. existe δ > 0 tal que x, y ∈ [a, b], |y − x| < δ implican |f(y) − f(x)| < ε/(b − a). Sea P una partici´on de [a, b] tal que rodos sus intervalos tienen longitud < δ. En cada intervalo [ti−1, ti] de P existen xi, yi tales que mi = f (xi) y Mi = f (yi), de
donde ωi = f (yi) − f(xi) < ε/(b − a). As´ı, P ωi(ti− ti−1) < ε. Por
el Teorema 2, f es integrable.
Teorema 6. Toda funci´on mon´otona f : [a, b] → R es integrable. Demostraci´on: Para fijar ideas, sea f creciente. Dado ε > 0, sea P = {t0, t1, . . . , tn} una partici´on de [a, b] tal que todos sus inter-
146 La integral de Riemann Cap. 10
tenemos ωi = f (ti) − f(ti−1), por tantoP ωi = f (b) − f(a) y
X ωi(ti− ti−1) = ε f (b) − f(a) · X ωi = ε f (b) − f(a) X [f (ti) − f(ti−1)] = ε . Luego f es integrable.
Las consideracoines que siguen son una preparaci´on para el Teo- rema 7, que engloba a los Teoremas 5 y 6 como casos particulares. Si a < b, denotaremos mediante |J| = b−a la longitud del inter- valo (abierto, cerrado o semiabierto) I cuyos extremos son a y b. Se dice que el conjunto X tiene medida nula cuando, dado cualquier ε > 0, existe un recubrimiento numerable (finito o infinito) de X, X ⊂ S Ik, cuyos elementos son intervalos abiertos Ik tales que la
suma de sus longitudes es P |Jk| < ε.
Ejemplo 5. Todo conjunto numerable X = {x1, . . . , xk, . . .} tiene
medida nula. En efecto, dado cualquier ε > 0, sea Jk el intervalo
abierto centrado en xk de longitud ε/2k+1. Entonces X ⊂ S Ik y
P |Ik| = ε/2 < ε. En particular, el conjunto Q de los n´umeros
racionales tiene medida nula.
Teorema 7. Si el conjunto D de los puntos de discontinuidad de
una funci´on acotada f : [a, b] → R tiene medida nula entonces f es integrable.
Demostraci´on: Dado ε > 0, existen intervalos I1, . . . , Ik, . . . tales
que D ⊂S Iky P |Jk| < ε/2K, donde K = M − m es la oscilaci´on
de f en [a, b]. Para cada x ∈ [a, b] − D, sea Jx un intervalo abierto
centrado en x donde la oscilaci´on de f es menor que ε/2(b − a). Por el Teorema de Borel-Lebesgue, el recubrimiento abierto [a, b] ⊂ (S
kIk) ∪ (SxJx) posee un subcubrimiento finito [a, b] ⊂ I1∪ · · · ∪
Im ∪ Jx1 ∪ · · · ∪ Jxn. Sea P la partici´on de [a, b] formada oir los
puntos a, b y los extremos de estos m + n intervalos que pertenecen a [a, b]. Indicaremos mediante [tα−1, tα] los intervalos de P que est´an
contenidos en alg´un Ik y mediante [tβ−1, tβ] los dem´as intervalos de
Secci´on 4 Condiciones suficientes para la integrabilidad 147
intervalo [tβ−1, tβ] es ωβ < ε/2(b − a). Luego
S(f ; P ) − s(f; P ) = Xωα(tα− tα−1) + X ωβ(tβ− tβ−1) < XK(tα− tα−1) + Xε(tβ− tβ−1) 2(b − a) < K ε 2K + ε(b − a) 2(b − a) = ε . Luego f es integrable.
Observaci´on: Se puede demostrar que el rec´ıproco del Teorema 7 es verdadero, o sea, que el conjunto de puntos de discontinuidad de una funci´on integrable tiene medida nula (cfr. “Curso de An´alisis Matem´atico, vol 1”.)
Ejemplo 6. El conjunto de Cantor K (secci´on 5 del Cap´ıtulo 5), tiene medida nula, aunque no es numerable. En efecto, si paramos en la n-´esima etapa de su construcci´on, vemos que el conjunto de Cantor est´a contenido en la uni´on de 2n intervalos, cada uno de longitud 1/3n. Dado ε > 0 podemos tomar n ∈ N tal que (2/3)n <
ε, as´ı concluimos que la medida de K es cero. Podemos considerar la funci´on f : [0, 1] → R, definida mediante f(x) = 0 si x ∈ K y f (x) = 1 si x /∈ K. Como [0, 1] − K es abierto, la funci´on f es localmente constante, por tanto continua en los puntos x /∈ K. Como K no posee puntos interiores, f es discontinua en todos los puntos de K. Por el Teorema 7, f es integrable. Dada cualquier partici´on P de [0, 1], todos los intervalos de P contienen puntos que no pertenecen a K, pues int K =∅. As´ı, Mi = 1 y S(f ; P ) = 1
para toda partici´on P . De donde R1
0 f (x)dxd =
R1
0f (x)dx = 1.
Ejemplo 7. Si a < b el intervalo [a, b] no tiene mediada nula. Para probar esto recordemos que la funci´on caracter´ıstica de un conjunto X ⊂ [c, d] es la funci´on ξX(x) = 1 si x ∈ X y ξX(x) = 0 si x /∈ X. Es
f´acil ver que si X ⊂ X1∪ · · · ∪ Xk⊂ [c, d], entonces ξX ≤Pki=1ξXi.
Supongamos que [a, b] ⊂ I1∪· · ·∪Ik ⊂ [c, d]. dondew c es el menor y
d el mayor extremo de los intervalos Ij. Para simplificar escribamos
ξ = ξ[a,b] y ξj = ξIj. Entonces ξ ≤ Pk j=1ξj : [c, d] → R, luego b − a =Rd c ξ(x)dx ≤ Pk
j=1ξj(x)dx =Pkj=1|Ij|. As´ı, la suma de las
longitudes de cualquier colecci´on finita de intervalos abiertos cuya uni´on contiene [a, b] es, como m´ınimo, b − a. De donde resulta que
148 F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 10
[a, b] no tiene medida nula. En efecto, por el Teorema de Borel- Lebesgue, si [a, b] ⊂ S∞
j=1Ij entonces [a, b] ⊂ J1 ∪ · · · ∪ Jk para
alg´un k ∈ N. 5. Ejercicios
Secci´on 1: Integral de Riemann
1. Defina f : [0, 1] → R como f(0) = 0 y f(x) = 1/2n si
1/2n+1 < x ≤ 1/2n, n ∈ N ∪ {0}. Pruebe que f es integrable
y calculeR1
0 f (x)dx.
2. Sea f : [−a, a] → R integrable. Si f es una funci´on impar, pruebe que Ra
−af (x)dx = 0. Si, por el contrario, f es par
pruebe entonces que Ra
−af (x)dx = 2
Ra
0 f (x)dx.
3. Sea f : [a, b] → R definida como f(x) = 0 si x es irracional y f (x) = 1/q si x = p/q es una fracci´on irreducible con q > 0. (Haga f (0) = 1 su 0 ∈ [a, b]). Pruebe que f es continua exclusivamente en los puntos irracionales de [a, b], que f es integrable y que Rb
af (x)dx = 0.
4. Sea f : [a, b] → R una funci´on integrable, tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Pruebe que si f es continua en el punto c ∈ [a, b] y f(c) > 0, entonces Rb
af (x)dx > 0.
5. Sea f : [a, b] → R definida como f(x) = x cuando x es racional y f (x) = x + 1 cuando x es irracional. Calcule las integrales superior e inferior de f . Use una funci´on integrable g : [a, b] → R en vez de x, y defina ϕ(x) = g(x) si x es racional y ϕ(x) = g(x) + 1 si x es irracional. Calcule las integrales (inferior y superior) de ϕ en funci´on de la integral de g.
Secci´on 2: Propiedades de la integral
1. Sea f : [a, b] → R integrable. Pruebe que la funci´on F : [a, b] → R, definida mediante F (x) = Rx
a f (t)dt, es lipschit-
ziana.
2. Pruebe que si f, g : [a, b] → R son integrables entonces tam- bi´en lo son las funciones ϕ, ψ : [a, b] → R, definidas como
Secci´on 5 Ejercicios 149
ϕ(x) = m´ax{f(x).g(x)} y ψ(x) = m´ın{f(x), g(x)}. Deduzca que las funciones f+, f− : [a, b] → R dadas por f+(x) = 0 si
f (x) ≤ 0, f+(x) = f (x) si f (x) ≥ 0; f−(x) = 0 si f (x) ≥ 0,
f−(x) = f (x) si f (x) ≤ 0, son integrables (suponiendo que f lo sea).
3. Pruebe que si f, g : [a, b] → R son continuas entonces: Z b a f (x)g(x)dx 2 ≤ Z b a f (x)2dx Z b a g(x)2dx , (Desigualdad de Schwarz.)
Secci´on 3: Condiciones suficientes de integrabilidad 1. Pruebe que la funci´on f del Ejercicio 1.3 es integrable. 2. Pruebe que el conjunto de los puntos de discontinuidad de una
funci´on mon´otona es numerable. Concluya que el Teorema 6 es consecuencia del Teorema 7.
3. Sea D el conjunto de los puntos de discontinuidad de una funci´on acotada f : [a, b] → R. Si D′ (el conjunto de los
puntos de acumulaci´on de D) es numerable pruebe entonces que f es integrable.
4. Una funci´on acotada f : [a, b] → R, que se anula fuera de un conjunto de medida nula, puede no ser integrable. En estas condiciones, y suponiendo que f es integrable, pruebe que su integral es igual a cero.
5. Se dice que un conjunto X ⊂ R tiene contenido nulo cuando, para todo ε > 0, existe un recubrimiento finito X, X ⊂ I1∪
· · ·∪Ik, formado por intervalos abiertos tal quePkj=1|Ij| < ε.
Pruebe que:
(a) Si X tiene contenido nulo lo mismo sucede con su cierre X.
(b) Existen conjuntos de medida nula que no tienen contenido nulo.
(c) Un conjunto compacto tiene medida nula si, y s´olo si, tiene contenido nulo.
150 F´ormula de Taylor y aplicaciones de la derivada Cap. 10
(d) Sea g : [a, b] → R una funci´on acotada que coincide con una funci´on integrable f : [a, b] → R excepto en un con- junto de contenido nulo. Pruebe que g es integrable y que su integral es igual a la de f .
6. Si un conjunto X ⊂ [a, b] no tiene medida nula pruebe enton- ces que existe ε > 0 tal que, para toda partici´on P de [a, b], la suma de los intervalos de P que contienen puntos de X en su interior es mayor que ε.
7. Sea ϕ : [a, b] → R una funci´on positiva (esto es, ϕ(x) > 0 para todo x ∈ [a, b]). Entonces existe α > 0 tal que el conjunto X = {x ∈ [a, b] : ϕ(x) ≥ α} no tiene medida nula.
8. Si la funci´on ϕ : [a, b] → R es positiva e integrable, enton- ces Rb
a ϕ(x)dx > 0. Concluya que si f, g : [a, b] → R son
integrables y f (x) < g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces Rb
a f (x)dx <
Rb
a g(x)dx.
9. Sea p : [a, b] → R integrable, tal que p(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Pruebe que si Rb
ap(x)dx = 0, entonces el conjunto
formado por los puntos x ∈ [a, b] tales que p(x) = 0 es denso en [a, b]. Si f : [a, b] → R es una funci´on integrable cualquie- ra que se anula en un conjunto denso en [a, b], pruebe que Rb
11
C´alculo
con integrales
Este cap´ıtulo es continuaci´on del anterior. En aqu´el se defini´o la integral y se establecieron condiciones generales que aseguraban la integrabilidad de una funci´on. Es ´este se probar´an las reglas para el uso eficaz de las integrales, entre ´estas el llamdo Teorema Fundamental del C´alculo, un movido camino de ida y vuelta que relaciona derivadas e integrales. Tambi´en usaremos la integral para dar las definiciones precisas de logaritmo y exponencial. El cap´ıtulo termina con una breve discusi´on sobre integrales impropias.
1. Teoremas cl´asicos del C´alculo Integral
Para comenzar estableceremos la conexi´on entre derivada e in- tegral.
Teorema 1. (Teorema Fundamental del C´alculo). Sea f : I → R continua en el intervalo I. Las siguientes afirmaciones sobre
la funci´on F : I → R son equivalentes:
(1) F es una integral indefinida de f , esto es, existe a ∈ I tal que
F (x) = F (a) +Rx
a f (t)dt para todo x ∈ I.
(2) F es una primitica de f , esto es, F′(x) = f (x) para todo x ∈ I.
Demostraci´on: (1) ⇒ (2) Si x0, x0+ h ∈ I entonces F (x0 + h) −
F (x0) = Rx0+h x0 f (t)dt y h · f(x0) = Rx0+h x0 f (x0)dt, por tanto: F (x0+ h) − F (x0) h − f(x0) = 1 h Z x0+h x0 [f (t) − f(x0)]dt . 151
152 C´alculo con integrales Cap. 11
Dado ε > 0, por la continuidad de f en el punto x0, existe δ > 0
tal que t ∈ I, |t − x0| < δ implican |f(t) − f(x0)| < ε. Entonces,
0 < |h| < δ, x0+ h ∈ I implican: F (x0+ h) − F (x0) h − f(x0) ≤ 1 h Z x0+h x0 |f(t) − f(x0)|dt < 1 |h||h| · ε = ε . Lo que demuestra que F′(x
0) = f (x0).
(2) ⇒ (1) Sea F′ = f . Como acabamos de ver, si fijamos a ∈ I
y definimos ϕ(x) = Rx
0 f (t)dt, tendremos ϕ′ = f . Las dos fun-
ciones F, ϕ : I → R tiene la misma derivada, luego difieren en una constante. Como ϕ(a) = 0, esta constante es F (a). Por tanto F (x) = F (a) + ϕ(x), esto es, F (x) = F (a) +Rx
a f (t)dt para todo
x ∈ I.
Comentarios. (1) Acabamos de probar que toda funci´on continua posee una primitiva. De forma m´as precisa: si f : [a, b] → R es inte- grable, entonces F : [a, b] → R, definida como F (x) =Rx
a f (t)dt, es
derivable en todo punto x0donde f es continua, y se tiene F′(x0) =
f (x0). En dicho punto tambi´en es derivable la funci´on G : [a, b] → R
dada por G(x) = Rb
x f (t)dt, y se tiene G′(x0) = −f(x0). En efecto,
F (x) + G(x) =Rb
a f (t)dt =constante, luego F′(x0) + G′(x0) = 0.
(2) Tambi´en hemos probado que si F : [a, b] → R es de clase C1 (es-
to es, tiene derivada continua) entonces F (x) = F (a) +Rx
a F′(t)dt.
En particular, F (b) = F (a) +Rb
a F′(t)dt. Esto reduce el c´alculo de
la integral Rb
a f (x)dx a encontrar una primitiva de f . Si F′ = f ,
entonces Rb
a f (x)dx = F (b) − F (a).
Teorema 2. (Cambio de variables) Sean f : [a, b] → R con-
tinua, g : [c, d] → R con derivada integrable y g([c, d]) ⊂ [a, b]. Entonces Z g(d) g(c) f (x)dx = Z d c f (g(t))g′(t)dt .
Demostraci´on: Por el Teorema 1, f posee una primitiva F : [a, b] → R y se tiene Rg(d)
g(c) f (x)dx = F (g(d)) − F (g(c)). Por otra
Secci´on 1 Teoremas cl´asicos del C´alculo Integral 153
f (g(t))g′(t) para todo t ∈ [a, b]. Luego F ◦ g : [c, d] → R es
una primitiva de la funci´on integrable t → f(g(t))g′(t). Por tanto
Rd
c f (g(t))g′(t)dt = F (g(d))−F (g(c)), lo que prueba el teorema.
Observaci´on: El Teorema 2 nos da una buena justificaci´on para usar la notaci´onRb
af (x)dx en vez de
Rb
af . Para cambiar de variables
en Rg(d)
g(c) f (x)dx, se toma x = g(t). La diferencial de x ser´a dx =
g′(x)dx. Estas substituciones nos dan
Z g(d) g(c) f (x)dx = Z d c f (g(x))g′(x)dx .
El cambio de los l´ımites de integraci´on es natural:; cuando t var´ıa entre c y d, x = g(t) lo hace entre g(c) y g(d).
Es tradicional en el c´alculo la notaci´on F |ba= F (b) − F (a).
Teorema 3. (Integraci´on por partes) Si f, g : [a, b] → R tienen
derivadas integrables entonces:
Z b a f (x) · g ′(x)dx = f · g|b a− Z b a f′(x)g(x)dx .
Demostraci´on: Es suficiente observar que f · g es una primitiva de f · g′+ f′· g e integrar la suma usando el Teorema Fundamental
del C´alculo.
Teorema 4. (F´ormula del Valor Medio para integrales).
Sean f, p : [a, b] → R, f continua y p integrable con p(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Entonces existe un n´umero c ∈ (a, b) tal que
Rb
af (x)p(x)dx = f (c) ·
Rb
a p(x)dx.
Demostraci´on: Para todo x ∈ [a, b], tenemos m ≤ f(x) ≤ M, donde m es el ´ınfimo y M el supremo de f en [a, b]. Como p(x) ≥ 0 se tiene m · p(x) ≤ f(x) · p(x) ≤ M · p(x) para todo x ∈ [a, b]. Sea A = Rb
a p(x)dx, De las desigualdades anteriores resulta m ·
A ≤ Rb
a f (x)p(x)dx ≤ M · A. Luego existe d ∈ [m, M] tal qu
Rb
af (x)p(x)dxd · A. Como f es continua, tenemos d = f(c) para
alg´un c ∈ (a, b), lo que prueba el teorema.
Corolario 1. Sea f : [a, b] → R continua. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que Rb
154 C´alculo con integrales Cap. 11
Lema 5. Si ϕ : [0, 1] → R tiene derivada de orden n integrable,
entonces: ϕ(1) = n−1 X i=0 ϕ(i)(0) i! + Z 1 0 (1 − t)n−1 (n − 1)! ϕ (n)(t)dt .
Demostraci´on: Si n = 1, esta f´ormula se reduce a ϕ(1) = ϕ(0) + R1
0 ϕ′(t)dt, v´alida por el Teorema Fundamental del C´alculo. Para
n = 2, la integraci´on por partes nos da Z 1 0 (1 − t)ϕ ′′(t)dt = (1 − t)ϕ′(t)|1 0+ Z 1 0 ϕ′(t)dt = −ϕ′(0) + ϕ(1) − ϕ(0) , luego ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) + Z 1 0 (1 − t)ϕ ′′(t)dt .
Para n = 3, de nuevo la integraci´on por partes nos da Z 1 0 (1 − t)2 2! ϕ ′′′(t)dt = (1 − t)2 2! · ϕ ′′(t) 1 0+ Z 1 0 (1 − t)ϕ ′′(t)dt = −ϕ ′′(0) 2 + ϕ(1) − ϕ(0) − ϕ ′(0) , luego ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) +ϕ′′(0) 2! + Z 1 0 (1 − t)2 2 ϕ ′′(t)dt .
El proceso inductivo est´a claro, as´ı el lema es v´alido para todo n.
Teorema 5. (F´ormula de Taylor con resto integral). Si f : I → R tiene derivada n-´esima integrable en el intervalo de extremos a, a + h entonces
f (a + h) = f (a) + f′(a) · h + · · · + f(n−1)(a) (n − 1)! h n−1 + Z 1 0 (1 − t)n−1 (n − 1)! f (n)(a + th)dt · hn.
Secci´on 2 La integral como l´ımite de sumas de Riemann 155
Demostraci´on: Definiendo ϕ : [0, 1] → R como ϕ(t) = f(a + th), se tiene ϕ(i)(0) = f(i)(a)hi. Ahora el Teorema 5 resultado del lema
anterior.
Corolario 1. (F´ormula de Taylor con resto de Lagrange).
Si f : I → R es de clase Cn en el intervalo de extremos a, a + h ∈ I
entonces existe θ ∈ (0, 1) tal que
f (a + h) = f (a) + f′(a) · h + · · · +f(n−1)(a) (n − 1)! h
n−1+f(n)(a + θh)
n! h
n.
En efecto, si llamamos A a la integral que aparece en el enun- ciado del Teorema 5, por el Teorema 4 existe θ ∈ (0, 1) tal que
A = f(n)(a + θh) Z 1 0 (1 − t)n−1 (n − 1)! dt = f(n)(a + θh) n! .
Observaci´on: Esta demostraci´on es m´as natural que la que se di´o en el Teorema 2, Cap´ıtulo 9; sin embargo, se exige m´as a la funci´on f .
2. La integral como l´ımite de sumas de Riemann
La norma de una partici´on P = {t0, t1, . . . , tn} ⊂ [a, b] es el
n´umero |P | = mayor longitud ti − ti−1 de los intervalos de P .
Teorema 6. Sea f : [a, b] → R acotada. Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que |P | < δ ⇒ S(f; P ) ≤Rb
af (x)dx + ε.
Demostraci´on: Supongamos inicialmente que f (x) ≥ 0 en [a, b]. Dado ε > 0 existe una partici´on P0 = {t0, t1, . . . , tn} de [a, b] tal
que S(f ; P0) <
Rb
af (x)dx + ε/2. Sea M = sup f . Tomemos δ tal
que 0 < δ < ε/2Mn. Si P es una partici´on cualquiera de [a, b] tal que |P | < δ, indicaremos mediante [rα−1, rα] los intervalos de P que
est´en contenidos en alg´un [ti−1, ti] de P0, y mediante [rβ−1, rβ] los
restantes intervalos de P . Cada uno de estos contiene, al menos, un punto ti en su interior, luego hay como m´aximo n intervalos del
tipo [rβ−1, rβ]. Escribiremos α ⊂ i si [rα−1, rα] ⊂ [ti−1, ti]. Cuando
156 C´alculo con integrales Cap. 11
n´umero son todos ≥ 0, luego P
α⊂iMα(rα − rα−1) ≤ Mi(ti− ti−1) y Mβ(rβ − rβ−1) ≤ Mδ. Por tanto: S(f ; P ) = X α Mα(rα− rα−1) + X β Mβ(rβ − rβ−1) ≤ n X i=1 Mi(ti − ti−1) + M · n · δ < S(f ; P ) + ε/2 < Z b a f (x)dx + ε .
En el caso general, como f est´a acotada, existe una constante c tal que f (x) + c ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Tomando g(x) = f(x) + c, tenemos S(g; P ) = S(f ; P ) + c(b − a) y Z b a g(x)dx = Z b a f (x)dx + c(b − a) ,
luego estamos en el caso anterior. Afirmar que S(f ; P ) <Rb
af (x)dx+ε es equivalente a |
Rb
af (x)dx−
S(f ; P )| < ε, Luego el Teorema 6 significa que l´ım
|P |→0S(f ; P ) =
Rb
af (x)dx.
De forma totalmente an´aloga se prueba queRb
af (x)dx = l´ım|P |→0s(f ; P ).
Una partici´on puntuada del intervalo [a, b] es un par P∗ = (P, ξ)
donde P = {t0, . . . , tn} es una partici´on de [a, b] y ξ = (ξ1, . . . , ξn)
es una colecci´on de n n´umeros escogidos de forma que ti−1≤ ξi ≤ ti
para cada i = 1, . . . , n.
Dada una funci´on acotada f : [a, b] → R y una partici´on pun- tuada P∗ de [a, b], se define la suma de Riemann:
X (f ; P∗) = n X i=1 f (ξi)(ti− ti−1) .
Evidentemente, sea cual fuere la forma en que se punt´ue la par- tici´on P , se tiene
Secci´on 3 Logaritmos y exponenciales 157
Se dice que el n´umero real I es el l´ımite de P(f ; P∗) cuando
|P | → 0, y se escribe I = l´ım
|P |→0
X
(f ; P∗), cuando, para todo ε > 0, se puede escoger δ tal que |P(f ; P∗) − I| < ε sea cual fuere la
partici´on puntuada P∗ tal que |P | < delta.
Teorema 7. Si f : [a, b] → R es integrable entonces Rb
a f (x)dx =
l´ım
|P |→0
X
(f ; P∗).
Demostraci´on: Del Teorema 6 se sigue que si f es integrable, entonces l´ım |P |→0s(f ; P ) = l´ım|P |→0S(f ; P ) = Z b a f (x)dx .
Como se tiene s(f ; P ) ≤ P(f ; P∗) ≤ S(f; P ), es inmediato que
l´ım |P |→0 X (f ; P∗) = Z b a f (x)dx.
Observaci´on: El rec´ıproco del Teorema 7 es verdadero, pero es menos interesante. (Vea “Curso de An´alisis Matem´atico”, vol. 1).
3. Logaritmos y exponenciales
Sea a un n´umero real mayor que 1. Se suele definir el logaritmo de un n´umero real x en base a como el exponente y, y = logax, tal que ay = x.
O sea, la funci´on loga : R+ → R se suele definir como la in-
versa de la funci´on exponencial y → ay. Para esto se requiere el
trabajo previo de establecer el significado y las propiedades de las potencias ay, donde y es un n´umero real cualquiera, lo que se puede
hacer rigurosamente. Sin embargo, nos parece m´as sencillo definir en primer lugar el logaritmo y, a partir de ´este, la exponencial, tal como haremos a continuaci´on.
Definiremos la funci´on log : R+→ R, como
log x = Z x 1 dt t , para cada x ∈ R+.
158 C´alculo con integrales Cap. 11
El n´umero log x se llama logaritmo de x. Si recordamos que Rb
a f (x)dx = −
Ra
b f (x)dx, vemos que log x < 0 si 0 < x < 1,
log 1 = 0 y log x > 0 cuando x > 1.
La funci´on logaritmo es mon´otona, estrictamente creciente y derivable; adem´as (log x)′ = 1/x, (log x)′′(x) = −1/x2, etc. Por
tanto, log es derivable infinitas veces, esto es, log ∈ C∞. Tambi´en
se puede ver que log es una funci´on c´oncava.
Teorema 8. Para cualesquiera x, y ∈ R+ se tiene log(xy) = log x+
log y.
Demostraci´on: log(xy) =Rxy
1 dt/t = Rx 1 dt/t + Rxy x dt/t = log x + Rxy
x dt/t. Cuando s var´ıa entre 1 e y, el producto xs var´ıa entre x y
xy, luego el cambio de variable t = xs nos da dt = xds yRxy
x dt/t =
Rx
1 xds/xs =
Ry
1 ds/s = log y, lo que prueba el teorema.
Corolario 1. Para todo n´umero racional r se tiene log(xr) =
r log x.
En efecto, del Teorema 8 se deduce log(xn) = n log x cuando n ∈
N. De xn· x−n= 1 resulta 0 = log(xn· x−n) = log(xn) + log(x−n) =
n log x+ log(x−n), de donde log(x−n) = −n log x. Esto demuestra el
corolario cuando r ∈ Z. En el caso general, r = p/q donde p, q ∈ Z, por definici´on (xp/q)q = xp, de aqu´ı, por lo que acabamos de probar, q log(xp/q) = p log x, de donde log(xp/q) = (p/q) log x.
Corolario 2. log :R+→ R es sobreyectiva.
Como log es continua, su imagen es un intervalo, por tanto basta demostrar que log no est´a acotada, ni superior ni inferiormente, lo que es consecuencia de las igualdades log(2n) = n log 2 y log(2−n) =
−n log 2.
Como log es una funci´on estrictamente creciente, entonces es una biyecci´on de R+ en R. Su inversa, exp : R → R+, se llama
funci´on exponencial. Por definici´on, exp(x) = y ⇔ log y = x, o sea log(exp(x)) = x y exp(log y) = y.
Existe un ´unico n´umero real cuyo logaritmo es igual a 1. Este se denota con el s´ımbolo e. En breve demostraremos que e coincide con el n´umero introducido en los Ejemplos 12 y 13 del Cap´ıtulo 3. De momento, su definici´on es e = exp(1).
Secci´on 3 Logaritmos y exponenciales 159
Teorema 9. La funci´on exponencial exp : R → R+ es una biyec-
ci´on creciente de clase C∞, tal que (exp x)′ = exp(x) y exp(x+y) =
exp(x)·exp(y) para cualesquiera x, y ∈ R. Adem´as, para todo r ∈ Q
se tiene exp(r) = er.
Demostraci´on: Por la regla de derivaci´on de la funci´on inversa, para cada x ∈ R, tal que exp(x) = y, se tiene (exp x)′ = 1/(log y)′ =
y = exp(x). As´ı exp′ = exp, de donde exp ∈ C∞. Dados x, y ∈ R,
sean x′ = exp x e y′ = exp y, luego x = log x′ e y = log y′. Entonces
exp(x + y) = exp(log x′+ log y′) = exp[log(x′y′)] = exp(x) · exp(y).
Si r es racional, el Corolario 1 del Teorema 8 nos da log(exp(r)) = r = r · 1 = r log(e) = log(er); as´ı, por la inyectividad de log,
exp(r) = er.
La igualdad exp(r) = er, si r ∈ Q, junto con la relaci´on exp(x +
y) = exp(x) · exp(y) nos indican que exp(x) se comparta como una potencia con base e y exponente x. Escribiremos entonces, por definici´on, ex = exp(x) para todo x ∈ R. Gracias a esto, pasa a
tener significado la potencia ex para cualquier x real.
Con esta notaci´on tenemos
ex+y = ex· ey , e0 = 1 , e−x = 1/ex, x < y ⇔ ex < ey log(ex) = x = elog x. Tambi´en tenemos l´ım x→∞e x = +∞ y l´ım x→−∞e x = 0, como se puede ver f´acilmente.
Por el Teorema del Valor Medio, para todo x > 1, existe c tal que 1 < c < x y log x = log x − log 1 = (log c)′(x − 1) = (x − 1)/c.
As´ı se tiene log x < x para todo x ≥ 1. Como log x = 2 log√x, tenemos 0 < log x < 2√x, de donde 0 < log x/x < 2/√x para todo x ≥ 1. Como l´ım
x→+∞(2/
√
x) = 0, se tiene que l´ım
x→∞log x/x = 0, lo
que ya hab´ıa sido probado en el final del Cap´ıtulo 3 suponiendo que x = n ∈ N.
Por otra parte, dado cualquier polinomio p(x), se tiene l´ım
x→+∞p(x)/e x =
0. Para probar esto es suficiente considerar el caso p(x) = xk. En-
tonces escribimos ex/k = y, de donde x = k · log y. Evidentemente,
160 C´alculo con integrales Cap. 11 Por tanto l´ım x→+∞ x ex/k = l´ım y→+∞ klog y y = 0 , y as´ı l´ım x→+∞ xk ex = l´ımx→+∞ x ex/k k = 0 .
Si c y k son constantes reales, la funci´on f (x) = c · ekx tiene
derivada k · c · ekx = kf (x). Esta propiedad de ser la derivada de
la funci´on f proporcional a s´ı misma es la causa de gran parte de las aplicaciones de la funci´on exponencial. Demostraremos que esta propiedad es exclusiva de las funciones de este tipo.
Teorema 10. Sea f : I → R derivable en el intervalo I, con f′(x) = k · f(x). Si para alg´un x
0 ∈ I se tiene f(x0) = c, entonces
f (x) = c · ek(x−x0) para todo x ∈ I.
Demostraci´on: Sea ϕ : I → R definida como ϕ(x) = f(x) · e−k(x−x0). Entonces ϕ′(x) = f′(x)e−k(x−x0) − kf(x)e−k(x−x0) = 0.
Luego ϕ es constante. Como ϕ(x0) = c, se tiene ϕ(x) = c para todo
x ∈ I, o sea, f(x) = c · ek(x−x0).
Como la derivada de la funci´on f (x) = ex tambi´en es f′(x) = ex,
tenemos f′(0) = 1. Por tanto, de la definici´on de derivada se deduce
que l´ım
x→0(e x
− 1)/x = 1.
Dados a > 0 y x ∈ R, definiremos la potencia ax de forma que
sea v´alida la f´ormula log(ax) = x log a. Para esto, tomaremos dicha
igualdad como definici´on, o sea, diremos que axes el (´unico) n´umero
real cuyo logaritmo es igual a x · log a. En otras palabras, ax = ex log a.
La funci´on f : R → R, definida como f(x) = ax, tiene las
propiedades esperadas.
La primera es que si x = p/q ∈ Q (donde q > 0), f(x) = √q
ap.
En efecto, f (x) = exp((p/q) log a) = exp(log√q
ap) =√q
ap.
Se tiene ax+y = ax· ay, a0 = 1, a−x = 1/ax y (ax)y = axy.
La funci´on f (x) = ax tiene derivada f′(x) = ax· log a, por tanto
es de clase C∞. La derivada f′ es positiva si a > 1 y negativa si
0 < a < 1.
Luego en el primer caso f es creciente, y decreciente en el se- gundo. Cuando a > 1, se tiene l´ım
x→+∞a x
= +∞ y l´ım
x→−∞a
Secci´on 4 Integrales impropias 161
0 < a < 1, los valores de estos l´ımites se intercambian. En cualquier caso, f (x) = ax es una biyecci´on deR en R+ cuya inversa se denota
mediante loga :R+→ R; logax se llama logaritmo de x en base a.
As´ı, y = logax ⇔ ax = y, volviendo a la definici´on cl´asica.
Cuando a = e, se tiene logex = log x. Por tanto, el logaritmo que definimos al principio de esta secci´on tiene base e. Es el llamada
logaritmo natural o logaritmo neperiano. Para todo x > 0 tenemos
elog x= x = a logax = elogaz·log a,
por tanto, log x = logax · log a, o sea, logax = log x/ log a. Como
consecuencia de esta ´ultima f´ormula tenemos las propiedades de logax an´alogas a las de log x, como loga(xy) = logax + logay o (logax)′ = x log a1 .
Para finalizar esta secci´on demostraremos que e coincide con el n´umero definido en los Ejemplos 12 y 13 del Cap´ıtulo 3.
La derivada de la funci´on log x es igual a 1/x. En el punto x = 1 esta derivada vale 1. Esto significa que
l´ım x→0 log(1 + x) x = 1 , o sea, l´ım x→0log(1 + x) x = 1 .
Como (1 + x)1/x = exp{log[(1 + x)1/x]}, entonces l´ım
x→0(1 + x) 1/x =
exp(1) = e, Si hacemos y = 1/x concluimos que l´ım
y→∞(1 + 1/y) y = e. En particular, l´ım n∈N(1 + 1/n) n= e. 4. Integrales impropias
Las hay de dos clases: integrales de funciones que no est´an acota- das (definidas en un intervalo acotado pero no cerrado) e integrales de funciones definidas en un intervalo que no est´a acotado.
El siguiente teorema descarta el caso trivial.
Teorema 11. Sea f : (a, b] → R acotada, tal que la restricci´on f |[c,d] es integrable para todo c ∈ (a, b]. Entonces, sea cual fuere el