Las distribuciones de Weibull son ampliamente utilizadas en fiabilidad y análisis de información de vida debido a su versatilidad. Dependiendo de los valores de los parámetros, la distribución de Weibull puede utilizarse para modelar una variedad de comportamientos de vida. Ahora examinaremos como los valores del parámetro forma,
β
, y el parámetro de escala,η
, afectan a las características de la distribución como la forma de la curva, la fiabilidad y la tasa de fallo. Darse cuenta que en el resto de la sección se asume la forma general de la distribución de Weibull, (ej. La forma del tercer parámetro). La sustitución adecuada para obtener las otras formas, como el segundo parámetro dondeϒ
, o el primer parámetro dondeβ=C=
constante, pueden realizarse de manera sencilla.4.3.6.1 EFECTO EN EL PARAMETRO DE FORMA, BETA
El parámetro de forma de Weibull,
β
, también se conoce como pendiente. Esto se debe a que el valor deβ
es igual a la pendiente de la línea de regresión en el gráfico de probabilidad. Otros resultados del parámetro de forma pueden remarcar efectos en el comportamiento de la distribución. De hecho, algunos valores del parámetro forma pueden causar que se reduzcan las ecuaciones de la distribución a aquellas de las distribuciones. Por ejemplo, cuandoβ
=1, el pdf o tercer parámetro de la distribución de Weibull reduce al segundo parámetro de la distribución exponencial o:70
Donde 1
𝜂
= 𝜆 =
tasa de fallo. El parámetroβ
es un numero puro, (ej. Esadimensional). La siguiente figura muestra el efecto de diferentes valores del parámetro forma,
β,
en la forma del pdf. Puedes ver que la forma puede tomar una variedad de formas basadas en el valor deβ
.Fig. 46 Extraída de Accelerated Life Testing Analisys Reference (Reliasoft)
Para 0 ˂ β≤1:
-
Comot→0 (o ϒ), f (t) →∞.
-
Comot→∞), f (t) →0.
-
f (t)
decrece monótonamente y es convexa mientras incrementa pasado el valor de ϒ.-
El modo es inexistente.Para
β
>1:-
f (t)=0
parat=0 (
oϒ).
-
f (t)
incrementa mientras quet→Ť
(el modo) y decrece después de ello.- Para
β˂2.6
el pdf de Weibull es sesgado positivamente (tiene una cola a la derecha), para2.6˂β˂3.7
el coeficiente es sesgado a medida que se aproxima a cero (no la cola). Consecuentemente, se puede aproximar al pdf normal, y paraβ>3.7
es sesgado negativamente (cola izquierda). El modo en el que el valorβ
se relaciona al comportamiento físico de las unidades que están siendo modeladas se hace más aparente cuando se observa como estos distintos valores afectan a las funciones fiabilidad y tasa de fallos. Darse cuenta que para71
β=0.999, f (0)=∞,
pero paraβ=1.001, f (0)=0
. Este cambio busco es lo que complica la estimación MLE cuandoβ
se aproxima a 1.4.3.6.2 EFECTO DE BETA EN EL CDF Y LA FUNCION DE FIABILIDAD
Fig. 47 Extraída de Accelerated Life Testing Analisys Reference (Reliasoft)
La figura superior muestra el efecto del valor de
β
en el cdf, como se manifiesta en el gráfico de probabilidad de Weibull. Es fácil ver porque este parámetro se refiere a veces a la pendiente. Darse cuenta que el modelo representado por las tres líneas tiene todo el mismo valor deη
. La siguiente figura muestra el efecto de la variedad de valores deβ
en el gráfico de fiabilidad, que es linealmente análogo al gráfico de probabilidad.Fig. 48 Extraída de Accelerated Life Testing Analisys Reference (Reliasoft)
-
R(t)
decrece bruscamente y monótonamente para0˂β˂1
y es convexo- Para
β=1, R(t)
decrece monótonamente pero es menos brusco que para72
- Para
β>1, R (t)
decrece a medida que aumenta. Como se establece por desgaste, la curva pasa por un punto de inflexión y disminuye bruscamente4.3.6.3 EFECTO DE BETA EN LA TASA DE FALLO DE WEIBULL
El valor de
β
tiene un efecto remarcado en la tasa de fallo de la distribución de Weibull y se pueden dibujar inferencias sobre las características de fallo de la población simplemente considerando que el valor deβ
es igual o mayor a uno.Fig. 49 Extraída de Accelerated Life Testing Analisys Reference (Reliasoft)
Como se indica en la figura superior, la poblaciones con un β˂1 expuestas a una tasa de fallo que decrece con el tiempo, poblaciones con un β=1 tienen tasas de fallo constantes y poblaciones con β>1 tienen tasas de fallo que incrementan con el tiempo. Estos tres estados de vida de la curva pueden ser modeladas con la distribución de Weibull y variando valores de β. La tasa de fallo de Weibull para 0˂β˂1 es ilimitado para T=0 (o ϒ). La tasa de fallo, λ (t), decrece de forma monótona y es convexa, aproximándose al valor de cero mientras que t→∞ o λ (∞)=0. Este comportamiento hace que se ajuste para representar la tasa de fallo de unidades exhibidas a tipos de fallos tempranos, para los cuales la tasa de fallo decrece con el tiempo. Cuando se encentra este comportamiento en la fabricación del producto, puede ser un indicador de problemas en el proceso de producción, partes deficientes, o problemas con el embalaje y envió. Para β=1, λ (t) subyace una constante de valor 1
𝜂 o:
Esto hace que se ajuste para representar la tasa de fallo de los diferentes tipos de posibilidades de fallo y la tasa del periodo de fallo de vida tan útil.
Para β>1, λ (t) incrementa mientras t incremente y se convierte más ajustable para representar la tasa de fallo de las unidades. Para 1˂β˂2, la curva de λ (t) es
73
cóncava, consecuentemente la tasa de fallo incrementa y decrece la tasa mientras que t incrementa.
Para β=2 emerge una relación lineal entre λ (t) y t, que comienza para el valor de
λ (t)=0 y t=ϒ, e incrementa después de ello con una pendiente de 2
η2 .
Consecuentemente, la tasa de fallo incremente con una tasa constante mientras que t incrementa. Además, si η=1 la pendiente se convierte igual a 2, y cuando ϒ=0, λ (t) se convierte en una línea recta que atraviesa el origen con una pendiente de 2. Darse cuenta que para β=2, la ecuación de la distribución de Weibull se reduce a la distribución de Rayleigh.
Cuando β>2, la curva λ (t) es convexa, con su pendiente incrementándose a medida que t incrementa. Consecuentemente, la tasa de fallo incrementa a un ritmo creciente cuando t incrementa.
4.3.6.4 EFECTOS DEL PARAMETRO DE ESCALA, ETA
Fig. 50 Extraída de Accelerated Life Testing Analisys Reference (Reliasoft)
Un cambio en el parámetro de escala η tiene el mismo efecto en la distribución que un cambio de escala de la abscisa. Incrementando el valor de η mientras se mantiene β constante tiene el efecto de estirado de pdf. Desde que el área bajo la curva de pdf es una constante de valor uno, el “pico” de la curva pdf decrecerá con el incremento de η, como indica la figura de arriba.
- Si η se incrementa mientras β y ϒ se mantienen iguales, la distribución se estira
hacia la derecha y su altura decrece mientras se mantenga la forma y la localización
- Si η se decrementa mientras β y ϒ se mantienen iguale, la distribución es
empujada hacia la izquierda (ej. Hacia su comienzo o hacia 0 o ϒ) y su altura incrementa.
74
4.3.6.5 EFECTOS EN EL PARAMETRO LOCALIZACION, GAMMA
El parámetro de localización, ϒ, como su nombre indica, localiza la distribución a lo largo de la abscisa. Cambiando el valor de ϒ tiene el efecto de correr la distribución y sus funciones asociadas tanto a la derecha (si ϒ>0) o a la izquierda (si ϒ˂0).
Fig. 51 Extraída de Accelerated Life Testing Analisys Reference (Reliasoft)
- cuando ϒ=0, la distribución empieza en t=0 o en el origen.
- Si ϒ>0, la distribución comienza en la localización de ϒ a la derecha del origen.
- Si ϒ˂0, la distribución comienza en la localización de ϒ a la izquierda del origen.
- ϒ proporciona una estimación temprana del tiempo de fallo de tales unidades. - El periodo de vida hasta +ϒ es un periodo de fallo operando libremente de tales
unidades.
- El parámetro ϒ debe asumir todos los valores y proporcionar una estimación de
los fallos tempranos. Un ϒ negativo debe indicar que los fallos hayan ocurrido a priori del comienzo del ensayo, llamado duración de la producción, almacenamiento, en tránsito, durante el chequeo previo al comienzo de la misión, o previo al uso actual.
- ϒ tiene las mismas unidades que t, como horas, millas, ciclos, actuaciones, etc.