Array Literals

6.4.

Superficies Regladas,Alabeadas y Doblemente Regladas.

Bien, aqu´ı vamos a presentar las superficies regladas mostradas como ejemplo en el cap´ıtulo de superficies: Geom´etricamente, es una superficie generadas por una recta que se mueve a lo largo de una curva sobre la que se apoya.

Definici´on 6.4.1 Una superficie reglada en M en R3 _{es una superficie regular que}

admite una parametrizaci´on

ϕ

: U _{→ M de la forma}

ϕ

(u, v) = α(u) + v γ(u),

siendo α y γ curvas en R3_{, con α}′ _{siempre distinto de cero. Diremos que}

_ϕ

_{es una}

parametrizaci´on local reglada. La curva α se denomina curva directriz o curva base de la superficie reglada, y γ se denomina curva generatriz. Las rectas generatrices de la superficie reglada son las rectas v → α(u) + v γ(u).

Definici´on 6.4.2 En ocasiones una superficie reglada

ϕ

admite dos parametrizaciones locales regladas distintas. En este caso diremos que

ϕ

es doblemente reglada.

Ejemplos de superficies regladas,ya hemos visto,el plano, las superficies tangentes, c´onicas y cil´ındricas; el helicoide; el conoide;el paraboloide hiperb´olico y el hiperboloide de una hoja (realmente estas dos cu´adricas de ecuaciones

2z = x 2 a2 − y2 b2, x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1

respectivamente poseen dos familias distintas de generadores rectil´ıneos).

generatriz

directriz Plano

Figura 6.12: El Plano reglado.

Las superficies de las figuras 6.14 y 6.13 son llamadas tambi´en superficies desarolla- bles, es decir, aquellas que tienen un plano tangente ´unico a lo largo de cada generatriz y por tanto admiten un ”desarrollo plano o una extensi´on plana”, pudi´endose montar a partir de porciones planas. Las no desarrollables o alabeadas,son aquellas en las cuales dos porciones sucesivas de la generatriz no son coplanares. Entre este tipo de superficies est´an:

Cilindroide: la generatriz se desplaza manteni´endose paralela a un plano director (π) y apoyada sobre dos directrices (d1y d2) curvas,

Cap´ıtulo 6. Campos y vectores 6.4. Superficies Regladas,Alabeadas y Doblemente Regladas. generatriz directriz eje generatriz directriz

Superficie cónica de revolución Superficie cónica de no revolución

Figura 6.13: Conos reglados de revoluci´on y de no revoluci´on.

generatriz

directriz eje

directriz generatriz

Superficie cilíndrica de revolución

Superficie cilíndrica de no revolución

Figura 6.14: Cilindros reglados de revoluci´on y de no revoluci´on.

Conoide: la generatriz se desplaza manteni´endose paralela a un plano director (π) y apo- yada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta (d1) y la otra curva (d2).

Hiperboloide hiperb´olico: la generatriz se desplaza manteni´endose paralela a un plano director (π) y apoyada sobre dos directrices rectas (d1y d2) que se cruzan,

Hiperboloide de revoluci´on: la generatriz se apoyada sobre dos directrices rectas (d1y d2)

circulares, paralelas, y se mueven manteni´endose constante el ´angulo que forman ellas.

Proposici´on 6.4.1 Una superficie reglada regular

ϕ

(u, v) = α(u) + v γ(u), es desarrollable si y solo si [α′_{, γ}′_{, γ] = 0.}

6.4. Superficies Regladas,Alabeadas y Doblemente Regladas. Cap´ıtulo 6. Campos y vectores Plano direct or( ) genera triz d1 d2 Cilindro_ide

Figura 6.15: Superficie Alabeada:Cilindroide.

Plano direct or( ) genera triz d1 d2 Conoide

Figura 6.16: Superficie Alabeada:Conoide .

Demostraci´on:De la ecuaci´on de la superficie se tiene:

ϕ

_u = α′(u) + v γ′(u),

ϕ

_v = γ(u)

ϕ

_u ×

ϕ

_v = α′_{(u)× γ (u) + v γ}′_{(u)× γ(u).}

La superficie ser´a desarrollable si y s´olo si la direcci´on del vector normal

ϕ

_{u ×}

ϕ

_v no depende de v; esto naturalmente ocurre si y s´olo si α′_{(u)× γ (u) y γ}′_{(u)× γ(u) son}

linealmente dependientes para todo u, o sea  α′_{(u)× γ (u)}  +  γ′_{(u)× γ(u)}  = ˆ0. Pero efectuando el producto resulta:

[α′_{(u) γ}′_{(u) γ (u)] γ(u)− [γ}′_{(u) γ (u) γ (u)] α}′_{(u) = ˆ0.}

de donde

[α′_{(u) γ}′_{(u) γ (u)] γ(u) = ˆ0.}

⋄ En general cuando la superficie no es desarrollable, los vectores α′_{(u)×γ (u) y γ}′_(u)×

γ(u) son linealmente independientes y el vector normal

ϕ

_{u ×}

ϕ

_v cambia su direcci´on a lo largo de la generatriz cuando v var´ıa. Toda la generatriz rectiil´ınea queda en el plano

Cap´ıtulo 6. Campos y vectores 6.4. Superficies Regladas,Alabeadas y Doblemente Regladas. Plano direct or( ) genera triz d1 d2 Conoide Para_bolo ide Hipe rbóli_co d1 Hiperboloide de Revolución generatriz

Figura 6.17: Superficie Alabeada doblemente regladas .

tangente en todo punto de la generatriz pero los planos tangentes var´ıan de un punto a otro. En otras palabras, el plano tangente gira alrededor de la generatriz rectil´ınea cuando el punto de contacto se mueve a lo largo de ella. El plano tangente en p0 interseca a la

superficie a lo largo de la generatriz rectil´ınea que pasa por p0.

Otro elemento que merece ser estudiado aqu´ı, es el comportamiento del vector normal a la superficie cuando v_{→ ∞. Bien utilicemos el vector normal}

N∗ =

ϕ

u ×

ϕ

v

|v| =

α′(u)× γ (u)

|v| + sgn(v) γ

′_{(u)× γ(u),}

el cual est´a definido para v6= 0 y tiene la misma direcci´on que

ϕ

_u×

ϕ

_v. El correspondiente vector unitario N tendr´a la misma direcci´on, estar´a definido para todo v y, con tal que α′_{(u)× γ (u) y γ}′_{(u)× γ(u) sean linealmente independientes, depender´a continuamente}

de v, puesto que en este caso

ϕ

_u ×

ϕ

_v es distinto de cero para todo v. Cuando v → −∞ N∗ → γ′_{(u)× γ(u)}

v _{→ ∞} N_{∗ → γ}′_{(u)× γ(u)}

Esto significa que como el punto de contacto se mueve a lo largo de toda la recta generatriz el plano tangente gira un ´angulo de π alrededor de la generatriz, siendo la posici´on lim´ıte del plano tangente perpendicular a γ′_{(u)× γ(u). Este plano se llama plano asint´otico;}

contiene el punto de la directriz por donde pasa la generatriz y tiene ecuaci´on: [z_{− α (u) γ (u) γ}′_{(u)] = 0.}

De esto se tiene que,el plano central correspondiente a una generatriz, es el plano tangente en un punto de la misma y que es perpendicular al plano asint´otico.´Por supuesto, este es perpendicular al vector γ _{× γ}′ _{× γ
, luego su ecuaci´on es}

[z_{− α (u) γ (u) × γ}′_{(u)] = 0.}

Definici´on 6.4.3 Se llama punto central o punto de estricci´on al punto de una generatriz de una superficie reglada en el que el plano tangente es el plano central.

Definici´on 6.4.4 Se llama l´ınea de estricci´on de una superficie reglada a la curva lugar geom´etrico de los puntos centrales.

6.5. Ejercicios. Cap´ıtulo 6. Campos y vectores

La ecuaci´on de la l´ınea de estricci´on χ : I _{→ R}3_{por un punto central (u, v) de la}

generatriz u es

χ(u) = α (u)₋α

′_{(u)  γ}′_(u)

γ′(u)
2 γ (u)

Esta ecuaci´on representa en una superficie desarrollable la arista de retroceso.

Por ´ultimo, un elemento que resalta en superficies regladas es el par´ametro de distribuci´on, representado por la funci´on

ρ(u) = [α′_{(u) γ (u) γ}′_(u)].

Este permite la continuidad de la curvatura de Gauss sobre la generatriz y adem´as, es el cociente entre la distancia, d, de un punto cualquiera ˆC de la generatriz v al punto central C y la tangente del ´angulo que forma el plano tangente en dicho punto ˆC con el plano central.

6.5.

Ejercicios.

Ejercicio 6.1 Sea W un campo de vectores sobre una superficie M, con W(p) _{6= 0 en} un cierto punto p _{∈ M. Pruebe que existe una parametrizaci´on}

ϕ

: V0 → V de una

vecindad de p, tal que

ϕ

_u = W en V .

Ejercicio 6.2 En las hip´otesis del problema anterior, sea γ : (−ǫ, ǫ) → M un camino tal que γ(0) = p o γ′_{(0) no es un m´ultiplo de W(p). Muestre que una parametrizaci´on}

ϕ

puede ser elegida de modo que, adem´as de

ϕ

_u = W, se tenga a´un que

ϕ

(0, v) = γ(v) para todo v pr´oximo a 0.

Ejercicio 6.3 Pruebe que el hecho de que un campo de vectores sea diferenciable en un punto p∈ M, no depende del sistema de coordenadas elegido en p.

Ejercicio 6.4 Se define la derivada W(θ) de una funci´on diferenciable θ : U ⊂ M → R

seg´un un campo W, definido en un abierto U ⊂ M, por W(θ) (q) = d

dt(θ◦ µ)  

t = 0, q∈ U

donde µ :_{→ M es una curva tal µ(0) = q, nµ}′_{(0) = W(q). Probar que:}

a) W es diferenciable en U si y s´olo si W(θ) es diferenciable para todo θ diferenciable en U.

b) Si φ : U _{→ R es otra funci´on diferenciable en U y δ, κ n´umeros reales, se tiene que} W(δ θ + κ φ) = δ θ + κ φ

Cap´ıtulo 6. Campos y vectores 6.5. Ejercicios.

Ejercicio 6.5 Pruebe que si W es un campo diferenciable de vectores en una superficie M y W(p) _{6= 0} p _{∈ M, entonces es posible parametrizar una vecindad de p con} ψ(u, v) de tal modo que ψu = W.

Ejercicio 6.6 Admita que no existe campo de vectores tangentes no nulos y diferenciable en la esfera S2 _{y muestre que lo mismo sucede para la elipsoide}

x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1. ,

Ejercicio 6.7 Sea Υ un campo de vectores diferenciable definido en un abierto Θ de R3_{. Verifique que:}

i) Si f es una primera integral de Υ, entonces _{∂Υ ≡}∂f 0 en Θ. Tambi´en, si _{∂Υ ≡}∂f 0 y dpf 6= 0 para todo p ∈ Θ, entonces f es una integral primera de Υ.

ii) Si p ∈ Θ no es punto singular de Υ, entonces existe una vecindad V de p tal que Υ/V tiene dos integrales primeras f1, f2 funcionalmente independientes.

Ejercicio 6.8 Demuestre que M es minimal si y s´olo si sus l´ıneas asint´oticas se cortan siempre en ´angulo recto.

Ejercicio 6.9 Demuestre que el Helicoide y catenoide son minimal utilizando el argu- mento del problema anterior.

Ejercicio 6.10 Determinar la expresi´on m´as general de una superficie minimal de revo- luci´on.

Ejercicio 6.11 Una condici´on necesaria y suficiente para que una superficie sea minimal es que se cumpla en todo punto

E g− 2 F f + G e = 0 .

Ejercicio 6.12 Si existe una superficie de ´area m´ınima que pase por una curva alabeada cerrada, es una superficie minimal.

Ejercicio 6.13 Determinase la curvatura de Gauss de las superficies desarrollables(conos,cilindros y superficies tangenciales.

Ejercicio 6.14 Sea α una curva regular en una superficie M _{⊂ R}3_{, y sea N la normal}

unitaria a M a lo largo de α. Demostrar que α es l´ınea de curvatura en M si y s´olo si la superficie reglada

ϕ

(u, v) = α(u) + v N(u) es llana.

Ejercicio 6.15 Hallar las superficies desarrollables generadas por las rectas que se apoyan en la par´abola y2 _{= 4 x, z = 0 y forman con el eje OZ un ´angulo de π/4 .}

6.5. Ejercicios. Cap´ıtulo 6. Campos y vectores

Ejercicio 6.16 Hallar la ecuaci´on de conoide, cuyo eje coincide con el eje OZ y la directriz es la recta x = a t + 1, y = b t, z = c t. Determinar la l´ınea de estricci´on de la superficie y probar que est´a contenida en un plano.

Ejercicio 6.17 Hallar las generatrices rectil´ıneas de las superficies: a) x = u v + cos v, y = u cos v + sen v, z = u cos v + v.

b) x2_{+ 5 Y}2_{+ z}2_{+ 2 x y− 2 x z − 6 y z + 4 y − 1 = 0.}

Ejercicio 6.18 Determinar la superficie reglada cuyas generatrices rectil´ıneas vienen da- das por las ecuaciones y = t x + 2 t + 1, z = (t− 1) x − 3 t, y calcular el plano tangente a la superficie en un punto P0 de la generatriz t0.

Ejercicio 6.19 Determinar la funci´on f para que la superficie reglada de ecuaciones x = t z + f (t), y = f (t) z + t3/3

sea desarrollable. Calcular la arista de retroceso.

Ejercicio 6.20 Compruebe que la superficie reglada engendrada por las rectas x = t2z + t3, y = 2 t z + 3/2 t2

es desarrollable y hallar la arista de retroceso.

Ejercicio 6.21 Dada la superficie reglada x = t u + t2_{, y = t}2_{u + t, z = u. De-}

terminar: plano tangente, plano asint´otico, plano central, punto central, l´ınea de estricci´on y par´ametro de distribuci´on.

Cap´ıtulo 7

La Geometr´ıa Intr´ınsica de Superficie

“ Las matem´aticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo ”.

Galileo Galilei

7.1.

M´etricas sobre Superficies

Un problema central de la teor´ıa de superficies es el determinar invariantes geom´etricos computables que sean conservados por isometr´ıas. La Geometr´ıa Intr´ınseca de la superfi- cie estudia los invariantes isom´etricos; m´as adelante daremos los detalles correspondientes al respecto.

La idea intuitiva de distancia sobre una superficie.

Recordemos aqu´ı,lo dicho en el cap´ıtulo 3, sobre m´etrica en superficies:

En Rn _{se verifica el teorema de Pit´agoras. Si p, q∈ R}n_{, entonces la distancia s entre p y q}

s2 = (p1− q1)2+· · · + (pu− qu)2 (7.1)

¿En qu´e medida es esta noci´on diferente para un superficie?

Ya que una superficie est´a curvada, la distancia sobre ella no es la misma que en R3_;

as´ı que (7.1) es falsa en general. Sobre una superficie arbitraria. La versi´on infinitesimal de (7.1) para n = 2 es

ds2 = dx2+ dy2 (7.2)

ds

dx

dy

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