/ END BAD EXAMPLE

Para concluir esta parte diremos una interpretaci´on geom´etrica de la curvatura gaus- siana en t´erminos de la aplicaci´on de Gauss N : M _{→ S}2_{. En realidad, ´esta fue la}

manera en que Gauss mismo introdujo esta curvatura. Para hacer esto, primero necesita- mos una definici´on: Sea M y M dos superficies regulares orientadas. Sea ψ : M _{→ M una} aplicaci´on diferenciable y suponga que para alg´un p _{∈ M, d}pψ es no singular. Decimos

que ψ preserva orientaci´on por p, si dada una base positiva {w1, w2} en Tp(S), entonces

{dpψ(w1), dpψ(w2)} es una base positiva en Tp(M), entonces {dpψ(w1), dpψ(w2)} es una

base positiva en Tψ(p)(M ). Si {dpψ(w1), dpψ(w2)} no es positiva, decimos que ψ invierte

orientaci´on por p.

Ahora observe que tanto M y S2 _{(esfera unitaria) est´an inmersas en R}3_{. As´ı, una orien-}

taci´on N sobre S induce una orientaci´on N en S2_{. Sea p∈ M tal que d}

pN es no singular,

ya que para una base {w1, w2} en Tp(M) se tiene que

dpN(w1)× dpN(w2) = det(dpN) (w1× w2) = K w1× w2,

resulta que, la aplicaci´on de Gauss preservaba orientaci´on por p _{∈ M si K(p) > 0 y} invierte orientaci´on por p∈ S si K(p) < 0. Intuitivamente, esto significa la siguiente (ver figura 5.16): una orientaci´on de Tp(M) induce una orientaci´on a peque˜nas curvas cerradas

en M alrededor de p; la imagen por N de estas curvas tendr´an la misma orientaci´on o la orientaci´on opuesta a la inicial dependiendo de si p es un punto el´ıptico o hiperb´olico, respectivamente.

Al tomar este hecho en cuenta haremos la convenci´on de que el ´area de una regi´on con- tenida en una vecindad conexa V , donde K6= 0, y el a´erea de su imagen por N tendr´an el mismo signo si K > 0 en V , y signos opuestos si K < 0 en V (ya que V es conexo, K no cambia de signo en V ). 4 2 3 1 4 ₃1 ₂ N 2 4 3 1 N 4 ₃ 2 1

Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss 5.2. T´ecnica de c´alculo utilizando parametrizaciones.

Proposici´on 5.2.2 : Sea p un punto de una superficie M tal que la curvatura Gaussia- na K(p)_{6= 0, y sea V una vecindad conexa de p donde K no cambia de signo. Entonces}

K(p) = l´ım

A→0

A′

A

donde A es el ´area de la regi´on B ⊂ V que contiene a p, A′ _{es el ´area de la imagen de B}

por la aplicaci´on de Gauss N : M _{→ S}2_{, y el l´ımite es tomado a trav´es de una sucesi´on de}

regiones Bn que convergen a p, en el sentido que cualquier esfera alrededor a p, contiene

a todos los Bn para n suficientemente grande.

Demostraci´on: El ´area A de B es dado por A =R R_Rk

ϕ

_u ×

ϕ

_vkdudv, donde

ϕ

(u, v) es una parametrizaci´on en p, cuya vecindad coordenada contiene a V (V se puede suponer suficientemente peque˜na) y R es la regi´on del plano uv, correspondiente a B. El ´area de A′ _{de N(B) es A}′ ₌R R

RkNu× Nvkdudv.

Ahora, como Nu = a11

ϕ

_u + a21

ϕ

_v y Nv = a12

ϕ

_u + a22

ϕ

_v, con la definici´on de K y lo

convenido arriba, podemos escribir A′ ₌

Z Z

RK k

ϕ

_u ×

ϕ

vkdudv

Pasando al l´ımite y denotando tambi´en por R el ´area de la regi´on R, tendremos:

l´ım A→0 A′ A = l´ımR→o A′_/R A/R = l´ım R→0(1/R) R R RKk

ϕ

u ×

ϕ

vkdudv l´ım R→0(1/R) R R Rk

ϕ

u ×

ϕ

vkdudv = Kk

ϕ

u ×

ϕ

vk k

ϕ

_u ×

ϕ

_vk = K (N´otese que hemos utilizado el T.V.M. para integrales dobles).

Comparando la proposici´on con la expresi´on de la curvatura κ = l´ım

s→ 0

σ

s de una curva C por p (aqu´ı s es la longitud de arco de un peque˜no segmento de C que contiene a p, y σ es la longitud de arco de su imagen en la tangente indicatriz); vemos que la curvatura Gaussiana K es an´aloga (para superficie), a la curvatura κ de curvas planas.

α′_(s 0) 1 θ(s) 1 α′_(s 1) α′_(s 0) α(s0) α(s1) α′_(s 1)    θ(s1)     =     l´ıms→s1 θ(s)_{− θ(s}1) s− s1     = κ

5.2. T´ecnica de c´alculo utilizando parametrizaciones. Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss

Veamos con un experimento sencillo una interpretaci´on de lo que Gauss afirm´o arriba. Imaginemos una rosquilla o dona y cortemos un trozo peque˜no de su porci´on exterior convexa. Si la aplastamos sobre una mesa, el trozo se agrieta y abre conforme se le va aplastado, de modo muy parecido a como lo hace la corteza de una naranja,como lo muestra la figura (5.17) abajo.

Este hecho nos permite confirmar experimentalmente que dicha regi´on de la dona encierra

Figura 5.17: La curvatura indica cuanto se aleja M de ser plana .

un ´area menor que la correspondiente regi´on del plano.

Del proceso inverso saben mucho los sastres, que recurren a ´el cuando han de formar una parte de una prenda que haya de adaptarse a una forma convexa, como el busto de un vestido. Se corta del tejido un trozo puntiagudo, llamado sisa, y se cosen los dos lados de la abertura que queda.

La situaci´on opuesta se produce cuando se corta un trozo peque˜no de la superficie de una dona pr´oximo al agujero. Al aplastarlo sobre una mesa, se arruga y se solapa consigo mismo, mostrando que el ´area de dicha regi´on es mayor que el de la regi´on correspondiente en el plano.

De nuevo esta situaci´on es familiar a los sastres: un sastre puede invertir el proceso haciendo un corte en el tejido y cosiendo en el mismo un parche o remiendo puntiagudo(se utiliza este recurso para hacer una falda que sea ajustada por debajo de las rodillas y con vuelo en la parte inferior).

Bien, hasta aqu´ı hemos visto dos tipos importantes de curvaturas: la extr´ınseca de una curva en R3_{dando origen a las f´ormulas de Frenet, que describen completamente la}

curva;y la intr´ınseca(se probar´a m´as adelante) dada por la curvatura de Gauss. A partir de Riemann, con el desarrollo de la geometr´ıa de variedades, esta curvatura fue genera- lizada a otras muchas, dando lugar a la curvatura seccional, curvatura escalar, el tensor de Riemann, la curvatura de Ricci,etc. En general, las curvaturas no se reflejar´an ya co- mo n´umeros, sino que tomar´an formas mas complejas como grupos, aplicaciones,campos de tensores,etc. Pero, esto ya es tema de cursos superiores y, dejamos la motivaci´on al estudiante para que ampl´ıe su conocimiento al respecto; aunque al final del capitulo 7 hablaremos un poco mas del tema.

Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss 5.3. Ejercicios.

5.3.

Ejercicios.

Ejercicio 5.1 Sea M una superficie regular la cual es tangente a un plano Π a lo largo de una curva regular C. Pruebe que los puntos de C o son parab´olicos o planos.

Ejercicio 5.2 Sea p un punto no plano de una superficie regular M en el que se anula la curvatura media. Prueba que en dicho punto existen dos direcciones asint´oticas orto- gonales.

Ejercicio 5.3 Sea p un punto de una superficie regular M: Prueba que la suma de dos curvaturas normales en dos direcciones ortogonales en p es constante.

Ejercicio 5.4 Calcula la aplicaci´on de Gauss del catenoide y prueba que es una superficie minimal. Demuestra que la aplicaci´on de Gauss de un catenoide es una aplicaci´on conforme (conserva el ´angulo que forman las curvas que se cortan).

Ejercicio 5.5 Calcula la aplicaci´on de Gauss de un cilindro sobre una curva plana. Cal- cula tambi´en su imagen esf´erica y la naturaleza de los puntos as´ı como la distribuci´on de los mismos.

Ejercicio 5.6 Sea C una curva regular de una superficie M la cual nunca es tangente a una direcci´on asint´otica. Se supone que

1. La curva C es una l´ınea de curvatura M.

2. El plano osculador de C forma un ´angulo consante con el plano tangente a M a lo largo de C.

Ejercicio 5.7 Calcula la aplicaci´on de Gauss de una superficie de revoluci´on. Calcula tambi´en las direcciones principales en cada punto y las l´ıneas de curvatura. Finalmente las curvaturas de Gauss y media.

Ejercicio 5.8 Prueba que toda superficie regular compacta tiene al menos un punto el´ıptico. En particular, demuestre que no existen superficies minimales compactas. Ejercicio 5.9 Calcula la aplicaci´on de Gauss y su imagen esf´erica de la superficie definida por M ={(x, y, z) ∈ R3 _{: z = 2x}2_{+ 2y}2_}.

Ejercicio 5.10 Calcula la aplicaci´on de Gauss y su imagen esf´erica de la superficie definida por M =_{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: cosh z = x}2_{+ y}2_}.

Ejercicio 5.11 Calcula la aplicaci´on de Gauss y su imagen esf´erica de la superficie defi- nida por M =_{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: z = xy}.}

Ejercicio 5.12 Una superficie regular se dice llana si su curvatura de Gauss se anula id´enticamente. Calcula todas las superficies de revoluci´on llanas.

Ejercicio 5.13 Calcula un ejemplo de una superficie regular que tenga un punto pa- rab´olico aislado, esto es que tenga un entorno sin otros puntos parab´olicos.

5.3. Ejercicios. Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss

Ejercicio 5.14 Sea f : M _{→ R la funci´on distancia al cuadrado, a un punto fijo p ∈ R}3_,

sobre una superficie regular M. Caracteriza los puntos cr´ıticos de f y calcula el Hessiano en dichos puntos cr´ıticos.

Ejercicio 5.15 Calcula las curvaturas de Gauss y media de la superficie M ={(x, y, z) ∈ R3 _{: z = axy}, donde a es constante, en el punto p = (0, 0, 0).}

Ejercicio 5.16 Calcula las curvaturas de Gauss y media de superficie M =_{{(x, y, z) ∈} R3 _{: z = xy}. Prueba que la curvatura de Gauss de esta superficie en un punto p, s´olo}

depende de la distancia de p al eje z.

Ejercicio 5.17 Se considera la superficie M = _{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: z = x}3 _{− 3xy}2_{}. Calcula}

su curvatura de Gauss. ¿Es minimal?.

Ejercicio 5.18 Sea C la curva en la que se cortan dos superficies M1 y M2. Si las dos

superficies son tangentes a lo largo de dicha curva, prueba que C es una l´ınea de curvatura en M1 si y solo si lo es en M2.

Ejercicio 5.19 Se considera la superficie definida param´etricamente por (Superficie de Enneper):

ϕ

(u, v) = u− u 3 3 + uv 2_{; v−}v3 3 + u 2_{v; u}2_{− v}2_),

calcula la primera y la segunda forma fundamental. Calcula tambi´en las curvaturas de Gauss y media, las l´ıneas de curvatura y las curvas asint´oticas.

Ejercicio 5.20 Calcula las curvas asint´oticas de un paraboloide y de un catenoide. Ejercicio 5.21 Calcula las curvas asint´oticas de las superficie M =_{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: z =}

xy}.

Ejercicio 5.22 Sea F : R3 _{→ R}3 _{la aplicaci´on definida F (p) = cp, donde c es una}

constante positiva. Si M es una superficie regular, prueba que F (M) es otra superficie regular. Encuentra f´ormulas que relaciones las curvaturas de Gauss y media de estas dos superficies.

Ejercicio 5.23 Sea p un punto hiperb´olico de una superficie regular, M. Prueba que en cualquier entorno de p en M existen puntos de M a ambos lados de TpM.

Ejercicio 5.24 Sea φ : R3 _{→ R}3 _{un movimiento r´ıgido y M una superficie regular. Se}

considera la superficie φ(M). Relaciona las aplicaciones de Gauss y Weingarten a ambas superficies. Relaciona tambi´en las curvaturas de Gauss y Weingarten de ambas superficies. Ejercicio 5.25 Sea

ϕ

(u, v) = (R+r cos u) cos v; (R+r cos u) sen v; r sen v, ), parametrizaci´on usual de un toro de revoluci´on,T.

1. Calcula la aplicaci´on de Weingarten y las curvaturas de Gauss y media en cada punto de dicha parametrizaci´on.

Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss 5.3. Ejercicios.

2. Calcula las direcciones principales y asint´oticas as´ı como las l´ıneas de curvatura y las curvas asint´oticas.

3. Se considera la curva α : R _{→ T, definida por α(t) =}

ϕ

(t, t), calcula su curvatura normal en cada punto.

Ejercicio 5.26 Si una superficie regular contiene a una recta, prueba que no puede tener puntos el´ıpticos sobre dicha recta.

Ejercicio 5.27 Sea p un punto de una superficie regular, M y sea T⊥

p M la recta normal

de M en p. Para cada q _{∈ T}⊥

p M se considera dq : M → R, la funci´on distancia al

cuadrado al punto q.

1. Prueba que p es un punto cr´ıtico para cada funci´on dq.

2. Prueba que existe una infinidad de elecciones de q para los que p es un m´ınimo local de dq.

Ejercicio 5.28 Sea

ϕ

: V ⊂ R2 _{→ M una parametrizaci´on de una superficie regular, M.}

Prueba que para cada punto p_∈

ϕ

(V ), se tiene la siguiente expresi´on, dNp(

ϕ

_u(p))∧ dNp(

ϕ

_v(p)) = K(p)

ϕ

_u(p)∧

ϕ

_v(p).

Ejercicio 5.29 Prueba que la aplicaci´on de Gauss de una superficie compacta y orienta- ble es un difeomorfismo local si y solo si la superficie tiene todos sus puntos el´ıpticos. Ejercicio 5.30 Calcula expresiones para las curvaturas de Gauss y media de una super- ficie en funci´on de las dos formas cuadr´aticas fundamentales.

Ejercicio 5.31 Calcula las curvaturas de Gauss y media de la superficie M =_{{(x, y, z) ∈} R3 _{: 4z = x}2_{+ y}2_}.

Ejercicio 5.32 Prueba que la catenoide es una superficie minimal. Demuestre que es la ´

unica superficie minimal de revoluci´on (obviamente sin contar al plano).

Ejercicio 5.33 Estudia la distribuci´on de los puntos, seg´un la curvatura de Gauss, en la superficie definida como el grafo de la siguiente funci´on diferenciable h : R2 _{→ R, definida}

por h(u, v) = u3_{+ v}3_.

Ejercicio 5.34 Se considera la superficie M, globalmente parametrizada por X : R2 _→

R3_{. Calcula la curvatura normal en t = 1 de la curva en M definida por α(t) =}

_ϕ

_(t2_{, t).}

Ejercicio 5.35 Calcula la imagen esf´erica, por la aplicaci´on de Gauss, de la superficie regular, M, definida como el grafo de la siguiente funci´on diferenciable, h : R2 _{→ R,}

definida por h(u, v) = uv.

Ejercicio 5.36 Para cualquier n´umero natural n ∈ N, se considera la curva αn(t) =

(cos, sin t, tn). Calcula su curvatura normal en t = 0 cuando se considera como una familia de curvas sobre el cilindro M =_{{x, y, z) ∈ R}3 _{: x}2 _{= y}.}

5.3. Ejercicios. Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss

Ejercicio 5.37 Calcula la curvatura de Gauss y media de las superficies de las normales de una curva regular.

Ejercicio 5.38 Calcula las curvaturas de Gauss y media de la superficie de las binormales de una curva regular.

Ejercicio 5.39 Calcula una ecuaci´on diferencial en funci´on de las dos formas cuadr´aticas de una superficie cuyas soluciones sean las l´ıneas de curvatura de dicha superficie.

Ejercicio 5.40 Calcula la aplicaci´on de Gauss y la imagen esf´erica de la superficie dada por M =_{{(x, y, z) ∈ R}3_/x2_{+ y}2_{}. Calcula su curvatura de Gauss y curvatura media.}

Ejercicio 5.41 Calcula la aplicaci´on de Gauss y la imagen esf´erica de la superficie dada por M = {(x, y, z) ∈ R3_{/x = yz}. Calcula su curvatura de Gauss y curvatura media.}

Prueba que la curvatura de Gauss de esta superficie en un punto p s´olo depende de la distancia de p al eje x.

Ejercicio 5.42 Calcula la aplicaci´on de Gauss y la imagen esf´erica del helicoide global- mente parametrizado por

ϕ

: R2 _{−→ R}3 _como

_ϕ

_{(u, v) = (u cos v, u sen v, a v), a 6= 0.}

Calcula su curvatura de Gauss y media.

Ejercicio 5.43 Sea C una curva plana regular en R3 _{y M el cilindro construido a partir}

de C. Calcula la aplicaci´on de Gauss de M y su imagen esf´erica. Clasifica, en t´erminos de la curvatura de C, los puntos planos y parab´olicos de M.

Ejercicio 5.44 Sea F : R3 _{−→ R}3 _{un movimiento r´ıgido y M una superficie regular.}

Se considera la superficie M′ _{= F (M). Relaciona las aplicaciones de Gauss de ambas}

superficies. Relacionas tambi´en las curvaturas de Gauss y media de M y M′_.

Ejercicio 5.45 Sea p un punto no plano de una superficie regular M en el que se anula la curvatura media. Prueba que en dicho punto existen dos direcciones asint´oticas orto- gonales.

Ejercicio 5.46 Calcula la aplicaci´on de Gauss del catenoide y prueba que es una super- ficie minimal.

Ejercicio 5.47 Sea M una superficie con aplicaci´on de Gauss N : M _{−→ S}2 _{y p ∈ M. Si}

llamamos K(p) y H(p) a la curvatura y media de M en p y H(p) a la curvatura de Gauss y media de M en p, respectivamente, demu´estrese que

hdNp(−→v ), dNp(−→w )i = −K(p)h−→v , −→wi + 2H(p)h−dNp(−→v ), −→wi, ∀−→v , −→w ∈ TpM

(Observaci´on: Demu´estrese primero para una base ortogonal que diagonalice al endo- morfismo de Weingarten y ded´uzcase posteriormente para todo vector por linealidad.) Deduce que la aplicaci´on de Gauss de una superficie minimal sin puntos planos es una aplicaci´on conforme (conserva el ´angulo que forman las curvas que se cortan).

Ejercicio 5.48 Sea M una superficie compacta y orientable con aplicaci´on de Gauss N : M −→ S2_{. Demuestre que son equivalentes:}

Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss 5.3. Ejercicios.

(a) N es un difeomorfismo local.

(b) Todos los puntos de M son el´ıpticos.

Demuestra que si se da (a) o (b) entonces la imagen esf´erica de M de toda S2_.

Ejercicio 5.49 Calcula la curvatura de Gauss de la superficie no orientable (Cinta de M¨obius) parametrizada como

ϕ

(u, v) = 2_{− v sen}u 2
sen u, 2_{− v sen}u 2
cos u, v cosu 2
.

Ejercicio 5.50 Demu´estrese que toda superficie regular con curvatura de Gauss positiva en todo punto es orientable.

Ejercicio 5.51 En una parametrizaci´on sobre una superficie regular, interpreta geom´etri- camente el hecho de que F = f = 0.

Ejercicio 5.52 Demuestra que el plano y la catenoide son las ´unicas superficies mini- males de revoluci´on.

Cap´ıtulo 6

Campos y vectores

“ La geometr´ıa es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que

est´a sujeto a la generaci´on y a la muerte. La geometr´ıa es una ciencia de lo que siempre es.”.

Plat´on

Aqu´ı usaremos los teoremas fundamentales de las ecuaciones ordinarias (existencia, unicidad y dependencia sobre condiciones iniciales) para probar la existencia de ciertos sistemas de coordenadas sobre superficies.

6.1.

Presentaci´on Geom´etrica.Curva integral de un Campo de

Vectores.Flujo de un Campo de Vectores.

Un campo de vectores sobre un abierto U ⊂ R2 _{es una aplicaci´on que asigna a cada}

q _{∈ U un vector W (q) ∈ R}2_{. El campo de vectores W se dice que sea diferenciable si}

escribiendo q = (x, y) y W (q) = (a(x, y), b(x, y)), se tiene que las funciones a y b son diferenciables sobre U.

Geom´etricamente, la definici´on corresponde asignar a cada (x, y) ∈ U un vector con coordenadas a(x, y), b(x, y), las cuales var´ıan diferenciablemente con (x, y). (Fig. 6.1).

( x, y)

a (x, y) + b (x, y)

U

0

Figura 6.1: El campo de vector W (q) = (a(x, y), b(x, y)).

En lo que sigue consideraremos campos de vectores diferenciables. Dada un campo de vectores W , es natural preguntar si existe un trayectoria de este campo, i.e, si existe una

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