Definici´on 5.1.7 : Si por p ∈ M, k1 = k2, entonces p es llamado punto umbilical de
M; en particular, los puntos planares (k1 = k2 = 0) son puntos umbilicales.
Todos los puntos de la esfera y de un plano, son puntos umbilicales. Usando el m´etodo del ejemplo 5.10, podemos verificar que el punto (0, 0, 0) del paraboloide z = y2+ x2 es
un (no planar) punto umbilical.
Proposici´on 5.1.5 : Si todos los puntos de una superficie conexa M son umbilicales, entonces M est´a contenida en un plano o en una esfera.
Demostraci´on: Primero n´otese que M tiene curvatura de Gauss constante K ≥ 0. En efecto, sea k : M → R la funci´on tal que en cada q ∈ M, k(q) es el valor com´un de las curvaturas principales en dicho punto. Sea p ∈ M, y
ϕ
: U → M una parametrizaci´on de M por p∈ V =ϕ
(U). Podemos suponer que V es conexo. Entonces se tiene que,Nu = dN(
ϕ
u) =−kϕ
u (5.1)Nv = dN(
ϕ
v) =−kϕ
v (5.2)Al derivar (5.1) con respecto a v y (5.2) con respecto a u, y restando los resulta- dos,obtenemos que:
kv
ϕ
u − kuϕ
v = 0 (5.3)Siendo
ϕ
u yϕ
v linealmente independientes, resulta que ku = kv = 0, lo que implica quek es constante en V como tambi´en lo es la curvatura de Gauss K = k2 ≥ 0. Ahora, sea W el conjunto de puntos q ∈ M para los cuales K(q) = K(p). Pero esto hace que W sea cerrado, y por lo anterior tambi´en es abierto. Pero M es conexa, W = M. Lo que prueba que K es constante no negativa sobre M. Consideremos el caso en que K = 0. Entonces, k
5.1. La Segunda Forma Fundamental Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss
y dN son aplicaciones nulas; N es constante y por tanto M est´a contenida en un plano. Si K > 0, elegimos p ∈ M, el normal por este punto N(p), y veamos que el punto ρ = p + 1
k(p)N(p) equidista de todos los puntos de M. Para esto, elija q ∈ M arbitrario, y sea α : (a, b)→ M una curva con a < 0 < 1 < b tal que α(0) = p y α(1) = q. Vamos a definir ahora una nueva funci´on β : (a, b)→ R3 por
β(t) = α(t) + 1
k(α(t))N(α(t)) Pero t→ k(α(t)) es constante, con lo que
β′(t) = α′(t) + 1 k(α(t))(N ◦ α) ′(t) (5.4) Ya que (N ◦ α)′(t) = dN(α′(t)) = −k(α(t)) α)′(t), resulta en (5.4) que β′(t) = 0
Entonces, β = ctte. ;m´as, β = ρ (se reduce a un punto). Por tanto, ρ = β(0) = β(1) = q + 1
k(q)N(q) (5.5)
De (5.5) se tiene que
kρ − qk = 1 k(q) Luego, M est´a contenida en una esfera de radio 1
k(q) y centro ρ. ⋄
Definici´on 5.1.8 : Sea p un punto en M. Una direcci´on asint´otica de M por p es una direcci´on de TpM para la cual la curvatura normal es cero. Una curva asint´otica de M es
una curva conexa regular C ⊂ M tal que para cada p ∈ C la tangente de C por p es una direcci´on asint´otica.
Un vector v ser´a asint´otico cuando kn(v) =hdNp(v), vi = 0 , lo que nos dice, que en una
direcci´on asint´otica, M no se aleja de su plano tangente.
Lema 5.1.6 : Sea p un punto M ⊂ R3
(1) Si K(p) > 0 no hay direcciones asint´oticas en p.
(2) Si K(p) < 0, hay entonces exactamente dos direcciones asint´oticas en p, que quedan bisecada por las direcciones principales a un ´angulo θ tal que tan2θ = −k1(p)
k2(p)
. (3) Si K(p) = 0, entonces toda direcci´on es asint´otica si p es punto de planicie; de lo
Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss 5.1. La Segunda Forma Fundamental
Demostraci´on: Todos estos casos se deducen de la F´ormula de Euler kn(v) = k1(p) cos2θ + k2(p) sen2θ
(1) Puesto que k1(p) y k2(p) tienen el mismo signo, kn(v) nunca es nula.
(2) Aqu´ı k1(p) y k2(p) tienen signos opuestos.Y para obtener las dos direcciones asint´oti-
cas,vamos a resolver la ecuaci´on
0 = k1(p) cos2θ + k2(p) sen2θ.
Bien, para resolver y llegar a tal ecuaci´on vamos a definir para p∈ M, la Indicatriz de Dupin: el conjunto de vectores w de Tp(M) tal que Πp(w) =±1.
Para escribir la ecuaci´on de la Indicatriz de Dupin en una forma m´as conveniente, sea (x, y) las coordenadas cartesianas de Tp(M) en la base ortogonal {e1, e2}, donde
e1y e2 son autovectores de dpN. Dado w ∈ Tp(M), sean ρ y θ las coordenadas
polares definidas por w = ρ v, con kvk = 1 y v = e1cos θ + e2sen θ, si ρ6= 0. Por
la f´ormula de Euler,
±1 = Πp(w) = ρ2Πp(v)
= k1(p)ρ2cos2θ + k2(p)ρ2sen2θ
= k1(p)x2+ k2(p)y2
donde w = x e1 + y e2. As´ı, las coordenadas (x, y) de un punto de la Indicatriz de
Dupin satisface la ecuaci´on
k1x2+ k2y2 =±1.
Por tanto, la Indicatriz de Dupin es uni´on de c´onicas en Tp(M). Adem´as, la curvatura
normal a lo largo de la direcci´on determinada por w es kn(v) = Πp(v) =±
1/ρ2
Para un punto el´ıptico, la Indicatriz de Dupin es una elipse (k1 y k2 tienen el mismo
signo); esto corrobora a (1); m´as, ´esta elipse degenera en un c´ırculo si el punto es umbilical no planar (k1 = k2 = 0). Para un punto hiperb´olico, k1 y k2 tienen signo
opuesto. La Indicatriz de Dupin est´a compuesta de dos hip´erbolas con un par de as´ıntotas en com´un. A lo largo de estas as´ıntotas knes cero; por tanto, son direcciones
asint´oticas. Esto justifica la terminolog´ıa y muestra que un punto hiperb´olico tiene exactamente dos direcciones asint´oticas.
(3) Si p es un punto llano, entonces k1(p) = k2(p) = 0, en consecuencia, kn(v)
es nula. Si solamente k2(p) = 0, entonces kn(v) = k1(p) cos2θ ser´a cero solamente
cuando cos θ = 0, es decir, en la direcci´on principal v = e1. Aqu´ı la Indicatriz de
Dup´ın se transforma en dos l´ıneas.[Ver figura 5.11]
Con esto podemos reforzar el hecho de que la segunda forma fundamental da la forma de la superficie M en R3. Otra manera de obtener la Indicatriz de Dupin geom´etrica-
mente es, cortando M con planos paralelos a Tp(M), redimensionando la escala de las
curvas de intersecci´on, y tomamos el limite cuando los planos se aproximan a Tp(M) [Ver
figura(5.12)abajo]. Si Πp tiene rango dos, obtenemos una curva limite, en este caso las
5.1. La Segunda Forma Fundamental Cap´ıtulo 5. Aplicaci´on de Gauss e2 e1 p p e2 e1 ! !
Punto Elíptico Punto Hiperbólico
Figura 5.11: Indicatriz de Dupin.
p m m 1 M TpM !p(w) = ± 1
Figura 5.12: Indicatriz de Dupin a trav´es de la c´onica Πp(w) =±1.
Definici´on 5.1.9 : Una superficie M ⊂ R3 es llana cuando su curvatura gaussiana es
cero, y es m´ınima cuando su curvatura gaussiana media es cero. Ejemplo 5.1.2 Los planos y los cilindros.
Las superficies m´ınimas tienen curvatura gaussiana K≤ 0, puesto que H = (k1+ k2)
2 ,
entonces k1 = −k2 y, en consecuencia, K = k1k2 ≤ 0. Tambi´en, una superficie M ⊂ R3
es m´ınima si y s´olo si existen dos direcciones asint´oticas en cada uno de sus puntos (parte (2) del lema anterior, K < 0 con θ =±π/4; las dos direcciones son ortogonales).
Definici´on 5.1.10 : Sea p un punto sobre una superficie M. Dos vectores no nulos w1, w2 ∈ Tp(M) son conjugados si hdpN(w1), w2i = hw1, dpN(w2)i = 0. Dos direcciones
γ1, γ2 por p son conjugadas si un par de vectores no nulos w1, w2 paralelos a γ1 y γ2,
respectivamente, son conjugados.
Esta definici´on no depende de w1 y w2, ni de γ1 y γ2 (verificarlo!). Se sigue que las
direcciones principales son conjugadas y que una direcci´on asint´otica es conjugada a ella misma. Adem´as, por un punto umbilical no planar, cada par de direcciones ortogonales es un par conjugado de direcciones, y por un punto umbilical planar cada direcci´on es conjugada a cualquier otra direcci´on.