6.2.
Campos de vectores sobre superficies regulares.
Las ideas introducidas arriba pertenecen al dominio local de R2, que depende solamente
de la “Estructura diferenciable” de R2. Ellas pueden, en consecuencia, ser trasladadas a
una superficie regular, sin ninguna dificultad como sigue:
Definici´on 6.2.1 : Un campo vectorial W en un conjunto abierto U ⊂ M de un super- ficie regular M es una correspondencia que asigna a cada p∈ U un vector W (p) ∈ Tp(M).
El campo vectorial W es diferenciable por p∈ U si, para alguna parametrizaci´on
ϕ
(u, v) por p, las funciones a(u, v) y b(u, v) dadas por W (p) = a(u, v)ϕ
u + b(u, v)ϕ
v son diferen- ciables por p; es claro que esta definici´on no depende de la escogencia deϕ
.Podemos definir, similarmente, trayectorias, campos de direcciones y curvas integrales. Los teoremas (6.1.1) y (6.1.2) y el lema (6.1.3) dados anteriormente, se pueden extender f´acilmente a la presente situaci´on; basta cambiar R2 por M, exactamente con las mismas
declaraciones .
Ejemplo 6.2.1 : En el toro usual, un campo de vectores W se obtiene por parametrizar los meridianos de T por longitud de arco y definir W (p) con el vector velocidad de los meridianos a trav´es de p. N´otese que kW (p)k = 1 para todo p ∈ T . Se deja de ejercicio verificar que W es diferenciable. (Fig. 6.6)
Figura 6.6: El Campo vector velocidad sobre el Toro .
Ejemplo 6.2.2 : Un procedimiento similar se hace sobre S2 usando los semi meridia-
nos, admitiendo un campo vectorial W definido en S2−{P n, P s}. Para obtener un campo
de vectores definido sobre toda la esfera, reparametrice todos los semi-meridianos por el mismo par´ametro t, −1 < t < 1, y defina υ(p) = (1 − t2)W (p) para p∈ S2− {P n, P s} y
υ(P n) = υ(P s) = 0 (Figura 6.7)
Ejemplo 6.2.3 : Sea M = {(x, y, z) ∈ R3; z = x2 − y2} el paraboloide hiperb´olico. La
Cap´ıtulo 6. Campos y vectores 6.2. Campos de vectores sobre superficies regulares.
Figura 6.7: El Campo vector velocidad sobre la esfera unitaria .
a trav´es de cada punto de M− {(0, 0, 0)} por all´ı pasa una curva Cα. Las rectas tangentes
sobre tales curvas da un campo de direcciones r sobre M−{(0, 0, 0)}. Queremos encontrar un campo de direcciones r′ sobre M− {(0, 0, 0)} que sea ortogonal a r por cada punto y
determinar las curvas integrales de r′. El campo r′ es llamado el campo ortogonal a r y
sus curvas integrales son llamadas la familia ortogonal de r. Comenzamos por parametrizar M por
ϕ
(u, v) = (u, v, u2− v2), u = x, v = y.La familia {Cα} es dada por u2 − v2 = ctte. 6= 0 ( o m´as a´un la imagen bajo
ϕ
deeste conjunto). Si
ϕ
uu′ +ϕ
vv
′ es un vector tangente de una parametrizaci´on regular de
alguna curva Cα, obtenemos, por derivar u2− v2 = ctte., que
2uu′− 2v v′ = 0
As´ı, (u′, v′) = (−v, −u). Se sigue que r es dado en la parametrizaci´on
ϕ
, por el par(v, u) o por algunos de sus m´ultiplos no nulo.
Ahora, sea (a(u, v), b(u, v)) una expresi´on para el campo ortogonal r′, en la parame-
trizaci´on
ϕ
, ya queE = 1 + 4u2, F =−4u v, G1 + 4v2, y r′
es ortogonal a r por cada punto, tendremos
Ea v + F (b v + au) + Gbu = 0 o
6.2. Campos de vectores sobre superficies regulares. Cap´ıtulo 6. Campos y vectores
va + ub = 0 (6.3)
Esto determina el par (a, b) por cada punto, hasta un m´ultiplo no negativo, y en conse- cuencia al campo r′.
Para encontrar las curvas integrales de r′, sea
ϕ
uu
′+
ϕ
vv
′ un vector tangente de alguna
parametrizaci´on regular de una curva integral de r′. Entonces (u′, v′) satisface la ecuaci´on
(3.3); i.e
v u′+ u v′ = 0 ´o u v = cHe.
Se sigue entonces que la familia ortogonal de {Cα} es dado por las intersecciones con
M del cilindro hiperb´olico xy = ctte.6= 0.
El principal resultado de esta parte es el siguiente teorema:
Teorema 6.2.1 : Sean W1 y W2 dos campos vectoriales un abierto U ⊂ M, los cuales
son ℓ.i. por alg´un punto p ∈ U. Entonces es posible parametrizar una vecindad V ⊂ U de p tal forma que para q ∈ V las l´ıneas coordenadas de esta parametrizaci´on que pasan a trav´es de q son tangentes a las rectas determinadas por W1(q) y W2(q).
Demostraci´on: Ver [3]
Se deber´ıa observar que el teorema no implica que las curvas coordenadas pueden ser parametrizadas de tal forma que su velocidad sean W1(q) y W2(q). Las declaraciones del
teorema se aplican a curvas coordenadas como curvas regulares (conjunto de puntos); es decir,
Corolario 6.2.2 : Dados dos campos de direcciones r y r′en el conjunto abierto U ⊂ M
tal que p∈ U, r(p) 6= r′(p), existe una parametrizaci´on
ϕ
en una vecindad de p tal que lascurvas coordenadas de
ϕ
son las curvas integrales de r y r′.Una primera aplicaci´on del teorema arriba es la prueba de la existencia de una para- metrizaci´on ortogonal.
Corolario 6.2.3 : Para todo p∈ M existe una parametrizaci´on
ϕ
(u, v) en una vecindad V de p tal que las curvas coordenadas u = ctte. se intersecan ortogonalmente por cada q∈ V (as´ı queϕ
es llamada parametrizaci´on ortogonal).Una segunda aplicaci´on del teorema(en realidad del corolario 6.2.2) es la existencia de coordenadas dadas por las direcciones principales y asint´oticas. Hemos visto que las curvas asint´oticas son soluciones de
e(u′)2+ 2f u′v′+ g( v′)2 = 0 (6.4)
en una vecindad de un punto hiperb´olico p, para lo cual se tiene que eg−f2 < 0. Rotando
el plano u v de tal forma que e(p) > 0, el lado izquierdo de (1,4) se puede descomponer en dos factores lineales distintos, admitiendo
Cap´ıtulo 6. Campos y vectores 6.2. Campos de vectores sobre superficies regulares.
donde los coeficientes son determinados por
A2 = e , A((B + D) = 2f , BD = g
El sistema arriba de ecuaciones tiene soluci´on real, ya que eg − f2 < 0. Aqu´ı que la
ecuaci´on (1.5) da como resultado dos ecuaciones:
Au′+ B v′ = 0 y Au′+ D v′ = 0 (6.6)
Cada una de esas ecuaciones determinan un campo de direcciones diferenciales (Por ej., la primera determina la direcci´on de r que contiene el vector no nulo (B,−A) ), y por cada punto de la vecindad en cuesti´on. Las direcciones dadas por estas ecuaciones son distintas. Aplicando el Corolario 6.2.2, vemos que es posible parametrizar una vecindad de p de tal manera que las curvas coordenadas son las curvas integrales de las ecuaciones dadas en (1.6). En otras palabras:
Corolario 6.2.4 : Sea p∈ M un punto hiperb´olico de M. Entonces es posible parame- trizar una vecindad de p de tal forma que las curvas coordenadas de esta parametrizaci´on son curvas asint´oticas de M.
Ejemplo 6.2.4 : Un ejemplo casi trivial, pero que ilustra el mecanismo de arriba, se da con el paraboloide hiperb´olico z = x2− y2. Como es usual, una parametrizaci´on de la
superficie entera es
ϕ
(u, v) = (u, v, u2− v2) Los coeficientes de la segunda forma fundamental son:e = 2
(1 + 4u2+ 4v2)1/2 , f = 0 , g =
−2
(1 + 4u2+ 4v2)1/2
As´ı, las ecuaciones de las curvas asint´oticas pueden ser escritas como −2
(1 + 4u2+ 4v2)1/2((u
′)2− (v′)2) = 0,
las cuales pueden ser factorizadas en dos ecuaciones lineales que producen dos campos de direcciones:
r1 : u′+ v′ = 0 y r2 : u′− v′ = 0
Las curvas integrales de estos campos de direcciones son dadas por las dos familias de curvas:
r1 : u + v = ctte. y r2 : u− v = ctte.
Ahora, las funciones f1(u, v) = u + v, f2(u, v) = u− v son claramente las primeras
integrales de los campos vectoriales asociados a r1 y r2, respectivamente. As´ı, por colocar
u = u v , v = u− v,
Obtenemos una nueva parametrizaci´on de la superficie entera z = x2− y2 en la cual las
curvas coordenadas son curvas asint´oticas de la superficie.