235 excluded: 128 on relevance
4.3 ASSESSMENT OF STUDY VALIDITY
Es fácil observar cómo los niños son capaces de resolver unos problemas antes que otros, propuestos éstos incluso con cantidades similares. De aquí, que se pueda deducir que existen otros factores, además de las habilidades de cálculo, que favorezcan el éxito en la resolución de problemas. Desde distintos puntos de vista son numerosas las investigaciones que se han realizado para intentar determinar la dificultad en la resolución de los problemas, tratando de encontrar las variables que mejor puedan explicar y predecir el éxito en las tareas.
Nesher (1982) señala tres tipos de variables: lógicas, sintácticas y semánticas. (1) En las variables lógicas, enumera las condiciones lógicas que debe reunir el problema, como que haya acuerdo entre los argumentos utilizados y entre la expresión del problema y la operación a realizar. Si estas condiciones no se cumplen serán factores que influirán en la dificultad del problema. También analiza la información superflua y concluye que interferirá en la realización del problema. (2) Las variables sintácticas, corresponden a la estructura superficial del problema. Puig y Cerdán (1988) se refieren a ellas como “cualquier característica del problema que tiene que ver con el orden y las relaciones de las palabras y símbolos que contiene el enunciado del problema”. Los principales trabajos con esta variable han sido hechos por Jerman (1974); Jerman y Rees (1972); Jerman y Mirman (1974). A partir de ellos Nesher (1982) analiza: el número de sentencias, el número de palabras, la situación de la pregunta, el orden de las expresiones y sí reflejan o no el orden dinámico del texto, llegando a la conclusión de que los resultados no son significativos (Nesher y Katriel, 1978). Aporta resultados
detallados y termina diciendo que estos resultados sobre las variables sintácticas no son sorprendentes y están de acuerdo con el análisis lingüístico general. Dichos autores, agrupan en dos categorías los trabajos correspondientes a estas variables: (a) aquellos que intentan predecir la dificultad del problema en función de todas las variables que tengan influencia significativa sobre dicha dificultad; (b) aquellos que tratan de determinar si una variable concreta influye de forma significativa en la dificultad, controlando las otras variables.
Igualmente señalan estos autores que los resultados cualitativos y globales -a los que ya hemos hecho referencia- más importantes para ellos de los recogidos por Nesher son:
-Cuando los problemas verbales se presentan por medio de grabados, dibujos o materiales concretos, resultan más sencillos, al menos para los primeros niveles.
-La longitud del enunciado, el número de oraciones que lo forman y la posición de la pregunta son variables que, en los estudios del primer tipo, son útiles para explicar la dificultad del problema.
-El tamaño de los números y la presencia de símbolos en vez de números concretos incrementan la dificultad del problema.
-La relación entre el orden de aparición de los datos en el enunciado y el orden en que deben ser colocados a la hora de realizar con ellos la operación necesaria para resolver el problema es otra fuente de dificultad. Y, por último, (3) en las variables semánticas, Nesher (1982) partiendo del análisis de los resultados de estudios previos (Nesher y Katriel, 1978; Nesher y Teubal, 1974) señala dos elementos diferentes en las variables semánticas: el contextual y el léxico. Entendiendo por contextual la naturaleza del texto como un todo y las dependencias semánticas entre todas sus partes
implicadas. Esta dependencia entre las partes en el texto del problema verbal se puede establecer con una variedad de mecanismos lingüísticos como son:
Argumentos: dependencia semántica entre los argumentos
cuantificados numéricamente que aparecen en las proposiciones del texto del problema.
Adjetivos: dependencia semántica debida a adjetivos que califican los
argumentos cuantificados.
Agentes: dependencia semántica debida a los agentes que se hacen
referencia en el texto.
Localización: dependencia semántica debida a la relación espacial
entre objetos.
Tiempo: dependencia semántica debida a la relación temporal entre los
acontecimientos a los que hace referencia el texto.
Verbos: dependencia semántica que se expresa mediante los verbos que
aparecen en el texto.
Términos relacionales: dependencia semántica debida a términos
relacionales que afectan a dos argumentos cuantificados dados.
Por el léxico quiere decir el efecto de los elementos léxicos aislados
que aparecen en el texto. Se ha apreciado que ciertas palabras cuando aparecen en un problema verbal facilitan o dificultan la actuación del niño en resolver este problema, algunas de estas palabras son incluso indicativas en la literatura como distractores en los verbos. Lo que es característico de estas palabras es que en muchos casos son opcionales en el texto y pueden ser introducidas, sustituidas o quitadas en sí mismas, excepto en el caso de palabras verbales del tipo de relacionar términos y por tanto no sirven como parte de las dependencias semánticas características del constituyente
Para Puig y Cerdán (1988, p. 98) “el contenido semántico de un problema verbal puede ser analizado a trozos atendiendo a los diversos modos de codificar lingüísticamente las relaciones lógicas entre las tres proposiciones básicas del problema, o bien globalmente atendiendo a la naturaleza y el sentido del texto como un todo”. También afirman que en el enunciado de un problema verbal cabe distinguir dos tipos de palabras: las que desempeñan algún papel en la elección de la operación y las que no lo desempeñan. Estas últimas suelen limitarse a conectar el problema con la realidad o a delimitar el contexto del problema. Hay otras palabras, tales como “ganó”, perdió”, “los dos juntos”..., que determinan, al menos en parte, la elección de la operación. Por ello se les llama palabras clave. Las dividen en tres categorías: a) palabras propias de la terminología matemática, b) palabras conectivas, verbos, que no son propias de la terminología matemática y c) palabras que expresan relaciones.
Siguiendo esta línea se encuentran los trabajos de Suppes y cols. (1969) que tienen como finalidad determinar si la variable presencia o ausencia de las palabras clave facilitaba o dificultaba la resolución de los problemas. Los resultados no fueron significativos, la presencia de palabras clave no explicaba suficientemente la varianza observada.
El enfoque de los esquemas mentales fue utilizado, a partir de la segunda mitad de la década de los setenta y primeros años de los ochenta, en las investigaciones sobre problemas aritméticos verbales simples de estructura aditiva y llegaron a clasificaciones de los problemas en categorías semánticas similares. Entre ellos destacan las aportaciones de Carpenter y Moser (1982); Heller y Greeno (1978); Nesher (1982); Vergnaud (1982).
Dentro del enfoque de los esquemas mentales se pueden distinguir dos corrientes:
-La corriente que utiliza el concepto de cálculo relacional, cuyo representante es Vergnaud.
-La corriente basada en las categorías semánticas de los problemas, (Riley, Greeno y Heller, 1983; Carpenter y Moser, 1982; Nesher, 1982, entre otros).
a) Cálculo relacional
Vergnaud (1981) parte de la noción de relación, como noción absolutamente general. El conocimiento consiste en gran medida en establecer relaciones y organizarlas en sistemas. Las relaciones aditivas las encuadra dentro de las relaciones ternarias.
Las relaciones son a veces simples comprobaciones que se pueden hacer sobre la realidad. A menudo éstas no son directamente verificables y se deben inferir o aceptar. La inteligencia quedaría muy limitada si solo se ocupara de verificar, pero también debe deducir, inferir y construir. Hay, para Vergnaud (1981), dos formas de deducción:
La primera forma consiste en deducir una conducta o una regla de conducta de las relaciones verificadas o aceptadas.
La segunda forma consiste en deducir nuevas relaciones a partir de relaciones verificadas o aceptadas.
El niño rige su conducta de acuerdo con las relaciones que aprende y con el cálculo relacional que practica
Vergnaud define el campo conceptual como “un espacio de problemas o de situaciones problemas cuyo tratamiento implica conceptos y procedimientos de varios tipos pero en estrecha conexión”. Distingue entre el
campo conceptual de las estructura aditivas y el campo conceptual de las estructuras multiplicativas.
Realiza la clasificación de los problemas teniendo en cuenta tres conceptos: medida, transformación temporal y relación estática.
Vergnaud (1981) distingue seis categorías de relaciones aditivas:
·Primera categoría: dos medidas se componen para dar lugar a una
medida.
El ejemplo propuesto es: “Pablo tiene 6 canicas de vidrio y 8 de acero. En total tiene 14 canicas”.
6, 8, 14 son números naturales.
El esquema correspondiente es:
La ecuación correspondiente es: 6 + 8 = 14
“+” es la ley de composición que corresponde a la adición de dos medidas, es decir, de dos números naturales.
·Segunda categoría: una transformación opera sobre una medida para
dar lugar a una medida. Presenta dos ejemplos.
-El primero es: “Pablo tenía 7 canicas antes de empezar a jugar. Ganó 4 canicas. Ahora tiene 11”.
7 y 11 son números naturales; +4 es un número relativo. El esquema correspondiente es:
La ecuación correspondiente es: 7 + (+4) = 11
“+” es la ley de composición que corresponde a la aplicación de una transformación sobre una medida, es decir, a la adición de un número natural (7) y de un número relativo (+4).
-El segundo ejemplo es: “Pablo tenía 7 canicas antes de empezar a jugar. Perdió 4 canicas. Ahora tiene 3”.
El esquema correspondiente es:
La ecuación correspondiente es: 7 + (-4) = 3
·Tercera categoría: una relación une dos medidas.
El ejemplo propuesto es: “Pablo tiene 8 canicas. Jaime tiene 5 menos; entonces tiene 3”.
El esquema correspondiente es:
La ecuación correspondiente es: 8 + (-5) = 3
Esta categoría es estática, a diferencia de las anteriores que corresponden a transformaciones.
·Cuarta categoría: dos transformaciones se componen para dar lugar a
Vergnaud presenta el ejemplo siguiente: “Pablo ganó 6 canicas ayer y hoy perdió 3. En total perdió 3”.
+6, -9 y -3 son números relativos. El esquema correspondiente es:
La ecuación correspondiente es: (+6) + (-9) = (-3)
“+” es la ley de composición que corresponde a la adición de dos transformaciones, es decir, de dos números relativos.
·Quinta categoría: una transformación opera sobre un estado relativo
(una relación) para dar lugar a un estado relativo.
El ejemplo señalado es: “Pablo la debía 6 canicas a Enrique. Le devuelve 4. Sólo le debe 2”.
El esquema correspondiente es:
La ecuación correspondiente es: (-6) + (+4) = (-2)
“+” es aquí la ley de composición que corresponde a la operación de una transformación sobre un estado relativo.
·Sexta categoría: dos estados relativos (relaciones) se componen para
-El primer ejemplo es así: “Pablo le debe 6 canicas a Enrique, pero Enrique le debe 4. Pablo de debe entonces sólo 2 canicas a Enrique”.
-6,
+4 y -2 son números relativos
El esquema correspondiente es:La ecuación correspondiente es: (-6) + (+4) = (-2)
“+” es la ley de composición que corresponde a la adición de dos estados relativos.
Esta categoría es muy similar a la cuarta, la diferencia se encuentra en que se compone de relaciones-estados y no de transformaciones.
-El ejemplo segundo es: “Pablo le debe 6 canicas a Enrique y 4 canicas a Antonio. Debe 10 canicas en total”.
El esquema correspondiente es:
La ecuación correspondiente es: (-6) + (-4) = (-10)
En este segundo ejemplo la composición de relaciones se da entre dos personas diferentes y no así en el primero caso que se realizaba entre las mismas personas.
Además, partiendo de estas seis grandes categorías, plantea diferentes clases de problemas en cada categoría, tratando de determinar la dificultad de los problemas aditivos y llegando a la conclusión de que la complejidad de los problemas varía no solo en función de las categorías y de las distintas
clases de problemas de cada categoría -aunque sea la fuente principal- sino también en función de otros factores: la facilidad más o menos grande del cálculo numérico necesario, el orden y la presentación de las informaciones, el tipo de contenido y de relaciones consideradas, etc.
Las categorías de problemas aditivos de este autor han sido menos seguidas que las propuestas para los problemas de estructura multiplicativa.
b) Estructura semántica
Muchos autores clasifican los problemas según la estructura semántica (Bermejo, Lago, Rodríguez y otros, 1997, Carpenter y Moser, 1982, 1983; De Corte y Verschaffel, 1985a; Heller y Greeno, 1987; Kintsch y Greeno, 1985; Morales, Shute y Pellegrino, 1985; Nesher y Greeno, 1981; Riley, Greeno y Heller, 1983; Vergnaud, 1982: Wolters, 1983), por considerar que la variable “estructura semántica del problema” es más relevante para determinar los procesos de resolución de los problemas que las variables sintácticas.
Carpenter y Moser (1982) señalan tres dimensiones básicas en los problemas verbales de suma y resta y que serán las que utilicen en su clasificación:
Primera dimensión: hay una relación dinámica o estática entre los conjuntos implicados en el problema. Hay problemas en los que hay una referencia a la acción que es la causa del cambio de la cantidad dada en el problema. En otros problemas, sin embargo, no existe ninguna acción, por lo que se da una relación estática entre las cantidades dadas en el problema.
Segunda dimensión: hay una relación de inclusión de conjuntos o una relación conjunto-subconjunto, es decir, dos conjuntos pueden ser subconjuntos de otro o uno de los dos conjuntos es disjunto con los otros dos.
Tercera dimensión: está implicada en la relación dinámica. La acción del problema es el resultado de un aumento o disminución de la cantidad inicial dada.
Con estas tres dimensiones o criterios, Carpenter y colaboradores, determinan seis clases de problemas: cambio/unión, cambio/separación, parte-parte-todo, comparación, igualación/suma e igualación/resta (tabla 4.1.).
TABLA 4.1
Dimensiones básicas de los problemas de sumar y restar, según Carpenter y Moser (1982)
DIMENSIÓN 1 DIMENSIÓN 2 DIMENSIÓN 3