DATA COLLECTION AND ANALYSIS

Hay un acuerdo general para caracterizar como problema aquellas situaciones que plantean dificultades para las que no se poseen soluciones hechas. Para Krulik y Rudnik (1980) “Un problema es una situación, cuantitativa o no, que pide una solución para la cual los individuos implicados no conocen medios o caminos evidentes para obtenerla”.

Desde el punto de vista del lenguaje común no especializado, interesa traer aquí las definiciones “de diccionario general” del concepto “problema”.

“Problema”, según el DRAE, en la acepción 5 Matemáticas, es “Proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos”.

María Moliner (“Diccionario de Uso del Español”) define “problema” como “cuestión en que hay algo que averiguar o alguna dificultad”. “Particularmente, en matemáticas u otra ciencia, cuestión de la que se conocen algunos datos, los cuales hay que manejar convenientemente para encontrar otro que se busca”

Ya Newell y Simon en 1972, consideraron que: “una persona se enfrenta a un problema cuando quiere algo y no sabe inmediatamente qué tipo de acciones debe realizar para lograrlo”. Por tanto, problema es “una situación en la que se quiere conseguir una meta y hay algún obstáculo para alcanzarla”.

Lester Jr. (1983, p. 232) considera que un problema es una tarea para la cual:

1. El grupo o el sujeto quieren o necesitan encontrar una solución.

2. No existe un procedimiento accesible que garantice o determine completamente esta solución.

3.- El grupo o el sujeto ha de hacer un intento para encontrar la solución.

Schoenfeld (1996, p. 148) entiende que para cualquier alumno, “un problema matemático es una tarea: a) en la cual el alumno está interesado e involucrado y para la cual desea obtener una resolución; y b) para la cual el alumno no dispone de un medio matemático accesible para lograr esa solución”. Schoenfeld considera que una tarea no es un problema para una persona hasta que no lo ha hecho propio; que las tareas no son “problemas” por sí mismas, dependerá de lo que esa persona sepa; que la mayoría de los “problemas” de los libros de texto son ejercicios (aplicación directa de un procedimiento que previamente se ha explicado), porque la resolución real de un problema enfrenta directamente a las personas con la dificultad, saben dónde están y dónde quieren llegar pero no tienen los medios para llegar hasta allí; que la resolución de problemas sólo cubre parte del “pensar matemáticamente”, también es importante el desarrollo de habilidades metacognitivas y el desarrollo de un punto de vista matemático.

3.2. TEORÍA DEL PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

Los psicólogos de esta escuela cognitiva consideran que “el sistema humano de conocimiento debe considerarse como un sistema de procesamiento de la información”. La forma de trabajar de un ordenador

información. En ambos casos se supone que hay programas elaborados para enfrentarse de forma inteligente y adaptativa a la información que se recibe. Los programas consisten en secuencias de procesos cognitivos, interrelacionados unos con otros, que reciben, transforman y manipulan unidades de información o conocimiento. “El sistema consta de un conjunto de memorias, receptores y efectores, así como de procesos para actuar sobre ellos. Las memorias contienen datos (información) y programas de procesos de información. El estado del sistema en un momento dado de tiempo se determina por los datos y programas contenidos en esas memorias, junto con los estímulos que se presentan a los receptores”. (H. Simon, 1978).

Las teorías del Procesamiento de la Información han conseguido analizar los componentes básicos que se dan en la solución de problemas y realizar su simulación mediante ordenador. Para el Procesamiento de la Información, un problema se entiende como una situación en la que se intenta alcanzar un objetivo y se hace necesario encontrar un medio para conseguirlo. Los medios para alcanzar este objetivo parecen depender de la interacción entre dos elementos: un sistema de procesamiento de la información, el sujeto que soluciona problemas, y un entorno de la tarea (task envitonment), representando este último la tarea tal y como es descrita por el experimentador. Al enfocar ésta, el sujeto que resuelve problemas representa la situación en términos de un espacio del problema (problem space), que es la manera de considerar el ambiente de la tarea. Estos tres componentes - sistema de procesamiento de la información, entorno de la tarea y espacio del problema- establecen el marco de referencia para la conducta de solución de problemas. (Newell y Simon, 1972; Simon, 1978).

Simon (1978) señala cuatro proposiciones, que considera las leyes de

1. Unas pocas, y sólo unas pocas, características generales del sistema del procesamiento de la información humana permanecen invariables a lo largo de las tareas y de los sujetos. El sistema de procesamiento de la información es un sistema adaptativo capaz de amoldar su conducta a las exigencias de la tarea y capaz de modificar sustancialmente su conducta a lo largo del tiempo mediante el aprendizaje.

2. Estas características invariables del sistema de procesamiento de la información son suficientes, sin embargo, para determinar que el ambiente de la tarea se representará como un espacio del problema y que la solución de éste se realizará en un espacio del problema.

3. La estructura del entorno de la tarea determina las posibles estructuras del espacio del problema.

4. La estructura del espacio del problema determina los programas posibles (estrategias) que pueden utilizarse para la solución de problemas.

El espacio básico del problema consiste en un conjunto de nudos formado por todos los movimientos lícitos, que el sujeto puede llevar a cabo para encontrar la solución del problema. Cada nudo puede ser considerado como un posible estado de conocimiento que el sujeto puede alcanzar. Un estado de conocimiento es simplemente lo que sabe el sujeto acerca de un problema en un momento concreto, entendiendo por saber el que la información se encuentre disponible para él y pueda ser recuperada en una fracción de segundo. En palabras de Simon (1978, p. 202) “La búsqueda de una solución representa una odisea a través del espacio del problema, desde un estado de conocimiento a otro, hasta que el estado de conocimiento actual incluye la solución del problema”.

que suministra información que puede ser utilizada para predecir las propiedades de las partes del espacio aún no conocidas, a partir de las propiedades de aquellas ya examinadas. La mayoría de los principios de selección que -según se observa- utilizan los sujetos están basados en la idea de “acercarse”. Cada estado de conocimiento es un nudo en el espacio del problema. Una vez alcanzado un nudo concreto, el sujeto puede elegir un

operador, dentro de un conjunto de operadores que están disponibles, y

puede aplicarlo para alcanzar un nuevo nudo. De forma alternativa, el sujeto puede abandonar el nudo que acaba de conseguir, seleccionar otro nudo, entre aquellos que ha visitado previamente, y continuar desde ese nudo. Así, debe realizar dos clases de elecciones: elección de un nudo, desde el que continuar, y elección de un operador para aplicar ese nudo. (Simon, 1978, p. 203-204).

El sistema concreto de búsqueda heurística, que encuentra diferencia entre la situación presente y la deseada, halla luego un operador relevante para cada diferencia y aplica el operador para reducir la diferencia, se denomina normalmente análisis de medios-fines.

Simon (1978, p. 205) resume la explicación de la solución humana de problemas en términos de procesamiento de la información: “un sistema serial de procesamiento de la información con una memoria a corto plazo limitada utiliza la información, que obtiene de la estructura del espacio del problema, para evaluar los nudos que alcanza y los operadores que podrían aplicarse a esos nudos. La mayoría de las veces, la evaluación supone encontrar diferencias entre las características del nudo presente y las del nudo deseado (la meta). Las evaluaciones se utilizan para seleccionar un nudo y un operador para el próximo paso de la búsqueda. Normalmente, los operadores se aplican al último nudo, pero si no se realiza ningún progreso, el sujeto puede volver al nudo anterior que se ha retenido en la memoria, estando

limitada la elección del nudo anterior, en su mayor parte, por los límites de la memoria a corto plazo”.

3.3. PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Polya señala que “Resolver un problema consiste en encontrar un camino allí donde previamente no se conocía tal, encontrar una salida para una situación difícil, para vencer un obstáculo, para alcanzar un objetivo deseado que no puede ser inmediatamente alcanzado por medios adecuados”.

Polya (1965) considera cuatro fases para resolver eficazmente un problema:

1) Comprender el problema. 2) Concebir un plan.

3) Ejecutar el plan.

4) Examinar la solución obtenida.

Siegler (1991/1986), recoge los elementos que hay que considerar para comprender el proceso de resolución de problemas. Son:

Análisis de la tarea: el análisis de los componentes de la situación,

ayudará a distinguir tanto las acciones de las personas consideradas como adaptativas como las acciones que reflejan limitaciones en el procesamiento de la información. Esto permitirá identificar las estrategias utilizadas para resolver el problema.

Codificación: para Siegler codificar es “identificar la información

crítica en una situación y utilizarla para construir una representación interna”. Los niños pueden fallar en la resolución de la tarea porque no son capaces de

codificar importantes rasgos de ella, no los comprenden o no saben cómo codificarlos.

Modelo mental: es una representación lo más adecuada posible de la

estructura del problema. Este modelo implica un determinado nivel de abstracción, eliminando las características no esenciales para, de esa manera, facilitar la generalización de problemas relacionados con el actual, pero con caracteres superficiales diferentes.

Dominio general y dominio específico de conocimiento: la distinción se

lleva a cabo en muy diversas situaciones a las que podrían aplicarse los procesos de resolución de problemas. Es intentar analizar cómo los niños llegan a integrar diferentes niveles de generalidad de la información en procedimientos eficaces de resolución del problema.

Diferencias en función del desarrollo: las diferencias que existen entre

niños y adultos son consideradas por este autor más aparentes que reales y referidas en términos como: cambios graduales unidos a demandas de memoria, aspectos relacionados con la competencia lingüística, etc.

Baroody (1988, p. 237) añade más requisitos para la resolución de problemas no rutinarios:

Comprensión: el primer paso en la comprensión de un problema es definir claramente su naturaleza: ¿cuál es la incógnita o meta del problema? Carpenter y cols., (1984). Esto ayuda a decidir qué información es necesaria para solucionar el problema y qué información es irrelevante, qué métodos son adecuados para llegar a la solución y cuáles no, y qué soluciones son razonables y cuáles suponen la necesidad de un esfuerzo adicional. Los niños que no identifican claramente el objetivo del problema pueden tener dificultades para elegir y aplicar un procedimiento para la solución y comprobar los resultados. Definir la incógnita es especialmente importante.

Comprender un problema implica tener una representación mental adecuada, lo que a su vez implica poseer una cantidad suficiente de datos y conceptos (Riley y cols., 1983). Sin un conocimiento adecuado para comprender (representar mentalmente) el problema, el niño tiene muy poca base para elegir y poner en práctica una estrategia, para encontrar la solución y comprobar el resultado de una manera crítica. Las dificultades con la representación de los problemas aumentan a medida que los niños avanzan en la escuela y se espera de ellos que adquieran una gama amplia y compleja de conocimientos matemáticos (Silvert y Thompson, 1984).

Técnicas para la resolución de problemas. Las técnicas o estrategias

que contribuyen al análisis de un problema se denominan heurísticas (Polya, 1965). Una técnica heurística para analizar mejor un problema es hacer un dibujo que represente el problema (Davis y McKillip, 1.980; Le Blanc y cols., 1.980).

Motivación. El factor afectivo de la motivación, que se basa en el interés, la autoconfianza y la perseverancia, es importante para el éxito en la resolución de problemas (Lester, 1980; Silver y Thompson, 1984).

Recientemente Ohlson (1992) señala los siguientes puntos en el proceso de resolución de problemas:

1º. Se refiere así a los elementos implícitos en su representación: “El acto de percibir o captar un problema tiene como resultado una

representación mental de: a) la situación del problema (lo dado); y b) la

solución criterio (aquello que se busca)” (Ohlson, 1992, p. 7).

2º. Señala la competencia del sujeto en términos de operadores: “Un

operador es una estructura de conocimiento que corresponde a una acción

3º. Los operadores están relacionados con estructuras de memoria. Conocer los operadores en el punto de partida y en el de llegada, es lo que permite al que resuelve el problema anticipar los efectos de su acción.

4º. Resolver un problema es para Ohlson (1992, p. 8) “El proceso por el cual se decide qué operador se ejecuta, está dirigido por una función de evaluación, un plan, una estrategia, un esquema, un “script” o por cualquier otro tipo de conocimiento heurístico”.

5º. Recuperar un operador es fundamental en el proceso de resolución. Se recupera a través de una corriente de actividad que se propaga a través de diferentes estructuras. La estructura recuperada es a su vez fuente de activación. Estos procesos no son conscientes. Por otro lado, la representación mental del problema opera como una prueba de memoria para la recuperación de los operadores; los que no tengan relación semántica con la meta de una situación dada no serán activados.

Otros autores señalan dos procesos en la resolución de problemas: la representación del problema y la solución del problema (Carpenter y Moser, 1982; De Corte y Verschaffel, 1987a; Greeno, 1982; Kintsch y Greeno, 1985; Mayer, 1986, 1989; Riley y Greeno, 1988; Schoenfeld, 1985c).

Mayer (1986) considera que para llevar a cabo la solución de un problema se necesitan dos procesos: 1. representación del problema, que es la conversión de un problema verbal en una representación interna, y 2.

solución del problema, que es la aplicación de los operadores matemáticos a

la representación interna para poder llegar a una respuesta final.

También determina los conocimientos que pueden ser relevantes:

tipo de problema-; estratégico -relativos al desarrollo y control de un plan de solución-; y algorítmico -procedimientos, cálculos-.

Cada proceso lo subdivide en dos subprocesos. Para la representación del problema señala: 1a. Traducción, por el que cada frase o proposición del problema se traduce en una representación interna, para lo que necesitaría conocimientos lingüísticos y generales. 1b. Integración, por el que agrupa cada proposición textual del problema en una representación coherente (aquí serían necesarios conocimientos esquemáticos apropiados al tipo de problema). Los subprocesos de la solución del problema también son dos: 2a.

Planificación de la solución implica diseñar el plan de solución, en los que

están implicados los conocimientos estratégicos y que llevaría a utilizar distintas estrategias heurísticas, como dividir el problema en varios pasos, el orden de operaciones, etc. 2b. Ejecución de la solución es la aplicación de la estrategia o algoritmo elegido para la solución.

Hayes y Simon (1977) han utilizado problemas que se describen por medio de palabras. Los protocolos verbales que cubren el intervalo completo desde el momento en que está listo para comenzar a trabajar en la solución del problema ponen de manifiesto las características principales de la conducta del sujeto mientras está elaborando una representación del problema. Este proceso ha sido simulado por un programa de computadora llamado Comprender (Understand). Un apartado que nos interesa es la

construcción de la representación del problema. En el laboratorio un sujeto

no puede comenzar a tratar de resolver el problema hasta que no lo comprende. El proceso de comprensión consta de dos subprocesos: uno para interpretar el lenguaje de las instrucciones, otro para construir el espacio del problema. El proceso de construcción recibe información, frase por frase, del

representación del espacio del problema en dos partes: una descripción de la situación y un conjunto de operadores. La primera representa los elementos del problema, las relaciones entre ellos y los estados iniciales y finales de un problema; la segunda constituye un sistema de producción en el que las condiciones se representan como estados de la situación, y las acciones se representan como procesos para realizar cambios en la situación.