Para los alumnos la resta es una operación difícil y se llega a su dominio pasando por un camino en el que los errores son más normas que excepciones. Un niño puede conocer el procedimiento para la resta de tres dígitos, pero con un pequeño “agujero”, un pequeño paso operativo que es incorrecto. Un alumno que utiliza un algoritmo con uno o más fallos puede llegar a veces a la respuesta correcta y otras veces puede cometer errores. Por eso es útil describir qué conocimiento operativo tiene, con fallos y todo.
Algunos investigadores han estudiado los algoritmos (procedimientos) que emplean los niños cuando cometen errores sistemáticos (bugs) en las operaciones de sustracción. Esta línea fue iniciada por Brown y Burton (1978) que no sólo definieron algunos de estos “procedimientos sistemáticos de sustracción errónea” y que se recogen en la tabla 9.2.2., sino que desarrollaron un programa de ordenador llamado Buggy (fallado), capaz de diagnosticar y analizar el conocimiento operativo de los alumnos en operaciones de resta de tres dígitos.
El avance del enfoque de Brown y Burton (1978) respecto a los métodos clásicos de evaluación del rendimiento en matemáticas, es que no se limita a señalar los errores sino que detecta, al menos en parte, los procesos responsables de los errores. Otros autores que han realizado investigaciones en esta misma línea (Brown y VanLehn, 1980, 1982; Resnick, 1982; Resnick y Omanson, 1987; VanLehn, 1983).
Brown y Burton hicieron resolver a 1.325 alumnos de la escuela primaria 15 problemas de resta. El programa Buggy actuaba de la forma siguiente: si las respuestas eran todas correctas le asignaba la categoría de “utilizar el algoritmo de resta correcto”. Si había muchos fallos, Buggy intentaba hallar un fallo que diera cuenta de la mayor parte o de todos los errores. Si no había un único fallo que diera cuenta de todos los errores, entonces se intentaban todas las combinaciones posibles, hasta que descubría la combinación que mejor respondía por los errores cometidos.
El programa fue capaz de descubrir algoritmos (correctos o no) que producían completa o parcialmente las respuestas del 43 por ciento de los alumnos. Los otros alumnos parecían estar cometiendo errores al azar o bien eran inconsistentes en sus errores de procedimiento, en algunos casos no “conocidos” por Buggy.
TABLA 9.2.2
Procedimientos que producen errores frecuentes en la substracción (adaptado de Mayer, 1983, p. 426 en la edición castellana)
1. Menor de mayor: sustraer el dígito menor del mayor, en cada columna, con independencia de que estén en minuendo o sustraendo (253 – 118 = 145).
3. Cero menos un número igual a ese número: cuando el dígito superior de una columna es 0, el alumno responde con el dígito inferior (140 - 21= 121).
4. Saltar sobre cero y pedir prestado: si hay que llevarse hasta una columna cuyo dígito superior es 0, el alumno “se salta” esa columna de modo que no añade 1 a su sustraendo, y “conserva el 1” para la columna siguiente (304 - 75 = 139).
5. Cero menos un número igual al número: cuando el dígito superior de una columna es 0, se responde con el dígito inferior, que no se modifica aunque haya que “llevarse” de la columna anterior, en cuyo caso se añade 1 al sustraendo de la siguiente (304 - 75 = 179).
¿Por qué se cometen estos errores sistemáticos? Muchos errores son resultados de procedimientos o algoritmos incorrectos que los niños inventan. La cuestión es cómo llegan a esa invención y qué significado y coherencia tiene esta función de las estructuras del conocimiento y los recursos cognitivos que los niños poseen. Los alumnos no suelen quedarse parados o bloqueados (como haría un ordenador) cuando llegan a una situación de “impasse” en la resolución de un problema o en la realización de otras tareas matemáticas. Lo que hacen, frecuentemente, es tratar de aplicar ciertas operaciones (“reparaciones” o “remiendos”), basadas en su conocimiento que se ponen en juego en tales procesos. Brown y Van Lehn (1982) señalan que los sujetos poseen un proceso central de actuación que contiene el conocimiento para llevar a cabo una actividad. Este procedimiento central cuando hay error no está completo. Llega un momento en el que sus conocimientos son insuficientes para aplicar el procedimiento exacto, no tiene la respuesta adecuada y como trata de seguir, aplica una “reparación” que le permite seguir pero que le conduce a un resultado erróneo. La “reparación” aplicada tiene parte que respeta las reglas del proceso bueno y
otras que no. Por tanto, el proceso tiene apariencia de estar bien realizado, pero conduce a errores sistemáticos al no tener en cuenta algunas reglas o imposiciones. La reparación no viene determinada por ningún factor, cualquier reparación puede ser aplicada en cualquier punto en el que el sujeto no pueda seguir, lo que hace que se produzcan una gran variedad de errores, sin embargo no todos los errores tienen la misma frecuencia. Antes hemos señalado los más significativos (tabla 9.2.2.).
La explicación desde una perspectiva cognitiva, se ha centrado en dos factores:
1. Los requisitos de la resta podrían ser excesivos en cuanto a la carga de memoria de trabajo que exigen. Muchas estrategias inductoras de errores serían intentos de emplear algoritmos gravosos (como “menor de mayor”).
2. Los algoritmos correctos de resta presuponen una base de conocimientos: no se montan en el vacío. Quizá los algoritmos incorrectos sean una indicación de que el alumno no posee tales conocimientos, por lo que en realidad no “comprende” la resta.
El último tipo de explicación (base de conocimientos inadecuada) es el que han propuesto para los errores en la sustracción algunos investigadores, como Nesher (1986) o Resnick y Omanson (1987): para ellos, el empleo de procedimientos incorrectos se debería, en muchos casos, a una comprensión deficiente de principios básicos que definen la operación de restar.
Finalmente, Baroody (1988) identifica una serie de dificultades con las que se pueden encontrar los niños y que les inducen a cometer errores:
·Dificultades de alineación: consiste en la colocación incorrecta o inconstante de las cifras.
incorrectos, parcialmente correctos o inventados.
·Dificultades referentes a la aplicación inconsistente de un procedimiento correcto. Esta clase de errores se presenta frecuentemente cuando los procedimientos carecen de significado y, en consecuencia, no están seguros de cuando deben emplearlos.
·Dificultades derivadas de la aplicación mecánica de reglas a procedimientos aprendidos de memoria. Por ejemplo, aplican los procedimientos correctamente cuando los problemas se presentan de un modo familiar, mientras que si la forma del problema se modifica ligeramente (por ejemplo, de la presentación vertical a la horizontal) no hallan ninguna conexión con el procedimiento conocido. Es frecuente que los niños realicen cálculos correctos cuando se trata de números familiares para ellos e incorrectas cuando no lo son, porque no son capaces de aplicar las mismas reglas que para las familiares.
·Dificultades surgidas por la incapacidad para aprender procedimientos nuevos. Aplican de manera mecánica procedimientos aprendidos previamente a problemas nuevos y así, por ejemplo, algunos niños se basan en procedimientos informales en los algoritmos con dos cifras. Si el niño no dispone de una base conceptual para aprender el procedimiento nuevo, puede regresar a un procedimiento aprendido previamente y más costoso o bien puede inventar uno propio.
` ·Dificultades derivadas de la memorización incompleta o incorrecta de reglas. Cuando no se comprenden las reglas sólo se recuerdan en parte o de manera incorrecta, lo que da lugar a muchos errores. Por ejemplo, cuando aprenden incorrectamente las reglas para sumar con llevadas, pueden cometer errores consistentes en colocar la cantidad que se llevan en la parte superior de la columna más a la izquierda en vez de la siguiente columna por la izquierda.