7.1 Improvements on current design
7.1.1 Back-etch
Los parámetros del bloque conductor utilizado para esta aplicación serán:
(4.23)
Los parámetros del modelo AP utilizado serán iguales a los presentados en (4.19), es decir, se considerará que no hay error de modelación.
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Por último, se aclara que se utilizará un CAP para controlar el lazo interno, es decir, se habilita la adaptación del modelo AP.
Parametrización del controlador maestro
Los parámetros del bloque conductor utilizado para esta aplicación en el control maestro serán:
(4.24)
Según metodología utilizada hasta el momento en la elección del modelo AP, lo más lógico sería pensar que los parámetros del modelo AP utilizado serán iguales a los presentados en (4.22), es decir, los parámetros del proceso externo. Sin embargo, esto no será así.
En la Fig. 4.29 se muestra el esquema de control cascada implementado en esta aplicación. Si analizamos este diagrama de bloques, podremos agrupar el controlador AP esclavo, el proceso interno y el proceso externo en un solo bloque equivalente, como lo muestra la Fig. 4.30.
Fig. 4.29 Diagrama de bloques de la estrategia de control cascada implementada. Controlador AP Maestro Proceso externo Perturbación 2 Referencia Salida del proceso Controlador AP Esclavo Proceso Interno Perturbación 1
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Fig. 4.30 Diagrama de bloques equivalente de la estrategia de control cascada, con el controlador AP esclavo, proceso interno y proceso externo agrupados.
La Fig. 4.30 muestra que el controlador AP maestro “ve” al proceso equivalente como el proceso que tiene que controlar. Es obvio que el controlador AP Maestro no ve en realidad el proceso equivalente, sino que recibe la consecuencia, a través de la salida del proceso, de los 3 bloques conjugados: controlador AP, proceso interno y proceso externo.
Por lo tanto, habría que obtener un modelo de este proceso equivalente, para que el controlador maestro realice un control efectivo. Hay varios métodos de identificación de sistemas que nos pueden permitir obtener un modelo del proceso equivalente. Sin embargo, como se ha visto anteriormente, la necesidad de un modelo exacto es reemplazada por la existencia de la adaptación en el controlador AP.
Por lo tanto se utilizará un modelo sencillo que el controlador AP Maestro se encargará de adaptar para controlar el proceso completo.
En [5, pp. 252] se muestra un ejemplo de un “subsistema en cascada”, que consiste básicamente en la unión de subsistemas en serie como lo muestra la Fig. 4.29. Estos sistemas representados en una función de transferencia pueden ser conjugados en un sistema equivalente que consiste en la multiplicación de las funciones de transferencia.
Por lo tanto, solo habrá que multiplicar las funciones de transferencia del controlador AP, el proceso interno y el proceso externo. Para simplificar el método, se considerará que no hay controlador AP, ya que el diseño del bloque conductor no exige mucho cambio en la dinámica del lazo interno. Por lo tanto, el modelo equivalente sería:
(4.25) Controlador
AP Maestro
Proceso equivalente
(CAP Esclavo, Proceso Interno y Proceso Externo)
Perturbación 2 Referencia
Salida del proceso
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Realizando esta multiplicación el sistema sería:
(4.26) Basados en la retención de orden cero [4, pp. 78] y considerando un tiempo de muestreo de 1 segundo, obtenemos el siguiente equivalente discreto de la ecuación (4.26):
(4.27) Por lo tanto los parámetros iniciales del modelo AP para el controlador maestro en la interfaz de la aplicación se definen como:
(4.28)
A continuación se presentan las pruebas realizadas de la estrategia de control cascada con dos controladores AP.
4.4.6. Pruebas realizadas
Para comprobar el correcto funcionamiento de los controladores, se realizó un cambio en referencia en el controlador maestro de 20 a 40 unidades. Se considerarán dos escenarios. En el primer escenario se aplican los dos controladores, el maestro y esclavo con el mismo tiempo de muestreo. En el segundo escenario se aplica el controlador esclavo con un tiempo menor al controlador maestro.
Primer escenario: CAP Maestro y CAP Esclavo con el mismo tiempo de muestreo
A continuación se presentan las gráficas de los procesos interno y externo ante el cambio en referencia de 20 unidades, con el mismo tiempo de muestreo en ambos controladores.
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Fig. 4.31 Gráfica de salida del proceso (a) y manipulación (b) del lazo externo ante un cambo de 20 unidades en la referencia.
La Fig. 4.31 (a) muestra que el controlador maestro pudo controlar correctamente el sistema. La Fig. 4.31 (b) muestra la manipulación que se aplicó con el CAP. Esta manipulación se pasa al controlador esclavo como la variable de referencia interna Esto se puede apreciar en la Fig. 4.32 (a), donde la línea punteada representa la referencia y se aprecia que esta señal es exactamente igual a la curva de manipulación de la Fig. 4.31 (b).
113 Fig. 4.32 Gráfica de salida del proceso (a) y manipulación (b) del lazo interno ante el cambo de referencia
proveniente del control maestro (Fig. 4.31).
También se presentan las gráficas de evolución del modelo AP de ambos controladores. Como el modelo AP del controlador esclavo es exactamente igual que el modelo ARX simulado, el modelo AP no cambió en la duración de esta prueba, lo cual se puede apreciar en la Fig. 4.33. En cambio el modelo AP del controlador esclavo si se modificó debido a que la modelación no es exacta, como se explicó en la sección anterior. La evolución de los parámetros del modelo AP Maestro se muestran en la Fig. 4.34.
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Fig. 4.33 Evolución del modelo AP del CAP Esclavo en la estrategia cascada.
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Estos resultados sirven para comprobar que efectivamente el controlador desarrollado puede interactuar con otro controlador que utiliza la misma estrategia de control y trabajar conjuntamente desarrollando una estrategia avanzada de control.
Sin embargo, la estrategia de control cascada ya existe. A continuación se demostrará a la ventaja de utilizar un control cascada pero con controladores adaptativo predictivos variando la dinámica de los procesos interno y externo simulados y observando la adaptación de los controladores.
Variación en los parámetros de los modelo ARX simulados
La ventaja de utilizar control adaptativo predictivo en una estrategia de control cascada se mostrará a continuación. Se aplicarán dos variaciones arbitrarias de los modelos ARX para el proceso interno y externo.
Primero, se modificará el proceso interno, cambiando los parámetros del modelo ARX definido en (4.19) por los siguientes parámetros:
(4.29) Este cambio se llevó a cabo 3 segundos después de iniciada la prueba.
Después, se modificará el proceso externo, de los parámetros definidos en (4.22), por los siguientes:
(4.30) Este cambio se realizó aproximadamente a los 170 segundos de iniciada la prueba. Cabe mencionar que los demás parámetros (n, m y d) de los dos modelos permanecen constantes. La respuesta del lazo externo se muestra en la Fig. 4.35 y la del lazo interno en la Fig. 4.32. Podemos apreciar cómo efectivamente al inicio de la prueba, cuando se cambió el modelo del proceso interno, la variable de interés (Fig. 4.35 (a)) se sale de operación normal. Esto sucede también alrededor de los 170 segundos de la prueba, aunque el efecto parece ser menor. Lo importante de esta prueba, es observar que la salida del proceso en el último cambio de referencia, nuevamente tiene un comportamiento similar al de la Fig. 4.31 (a).
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Fig. 4.35 Gráfica de salida del proceso (a) y manipulación (b) del CAP externo ante las variaciones de los modelos ARX simulados.
Fig. 4.36 Gráfica de salida del proceso (a) y manipulación (b) del CAP esclavo ante las variaciones de los modelos ARX simulados.
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Se muestra también la variación de los parámetros de los modelos AP esclavo y maestro para observar el trabajo realizado por los mecanismos de adaptación.
En la Fig. 4.37 se muestra la evolución del modelo AP del controlador esclavo. En este controlador, si podemos comparar qué tan buena fue la adaptación que realizó el mecanismo de adaptación ya que el controlador esclavo actúa solamente sobre el proceso interno ARX.
Fig. 4.37 Evolución del modelo AP del CAP Esclavo ante las variaciones de los modelos ARX simulados.
La Tabla 4.13 muestra la comparación del modelo simulado contra el modelo AP una vez estabilizada la estrategia de control cascada, es decir, en los dos cambios. Se puede observar cómo la ganancia se iguala aunque el modelo AP no es exactamente igual al modelo simulado.
Tabla 4.13 Comparación del modelo AP del CAP Esclavo contra el proceso interno simulado una vez estabilizado el mecanismo de adaptación (Cascada).
Tiempo y modelo a1 b1 Ganancia
Simulado - 3 s 0.8 0.3 1.5
Modelo AP - 170s 0.81 0.285 1.5
Modelo AP - 320s 0.807 0.29 1.502
Para el CAP Maestro no se tiene manera de comparar de la misma forma que como se hizo con el CAP Esclavo, ya que como se comentó anteriormente el CAP Maestro no actúa solamente sobre el proceso externo sino en la combinación del CAP Esclavo, el proceso interno y el proceso
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externo. Aún así, se muestra la evolución del modelo AP de CAP Maestro en la Fig. 4.38, para observar que también el CAP Maestro se adaptó a los cambios en los parámetros del modelo.
Fig. 4.38 Evolución del modelo AP del CAP Maestro ante las variaciones de los modelos ARX simulados.
Con estas pruebas realizadas se concluye que efectivamente dos CAP pueden ser implementados en una estrategia de control. Además, esto se realizó de manera relativamente sencilla gracias a la modularidad del controlador implementado.
A continuación se presenta el mismo esquema de control cascada, con los mismos modelos simulados, pero con la diferencia de que el controlador esclavo tendrá un tiempo de muestreo de ¼ de segundo, mientras el controlador maestro conservará el tiempo de muestreo de 1 segundo.
Segundo escenario: CAP Maestro y CAP Esclavo con diferentes tiempos de muestreo
El objetivo de esta prueba es observar el comportamiento del esquema de control cuando dejamos que el controlador esclavo tenga tiempo de reaccionar (adaptarse) más rápido que el control maestro. Con esto se pretende mejorar el desempeño de la estrategia de control ya que se evitará realizar un doble ajuste cuando no se requiera.
Para realizar esta modificación se tuvo que cambiar el bloque conductor y el modelo AP del CAP Esclavo, ya que ahora el tiempo de ejecución es de 0.25 segundos.
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Estas modificaciones se presentan a continuación.
Cambios en la parametrización del controlador esclavo
Los parámetros del bloque conductor utilizado para este segundo escenario aplicación serán:
(4.31)
Los parámetros del modelo AP utilizado corresponden a la discretización del proceso interno que se presentó en la ecuación (4.17). Nuevamente basado en la retención de orden cero pero considerando un tiempo de muestreo de 0.25 segundo, los parámetros del modelo AP utilizados son:
(4.32)
Después se realizó el mismo cambio de referencia de 20 a 40 y se observó el comportamiento. La Fig. 4.39 muestra el comportamiento del lazo interno. Una comparación rápida entre la Fig. 4.31(b) y la Fig. 4.39 (b) da como resultado la observación de una manipulación más constante en el segundo escenario debido a que el control interno actuó de manera más efectiva.
Posteriormente se sometió al esquema de control a las mismas variaciones de los modelos simulados para observar el comportamiento del sistema adaptativo.
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Fig. 4.39 Gráfica de salida del proceso (a) y manipulación (b) del lazo externo ante un cambo de 20 unidades en la referencia (segundo escenario).
Fig. 4.40 Gráfica de salida del proceso (a) y manipulación (b) del lazo interno ante el cambo de referencia proveniente del control maestro (Fig. 4.31, segundo escenario)
121 Variación en los parámetros de los modelo ARX simulados
Como siguiente prueba se sometió al sistema de control a los mismos cambios en los modelos simulados presentados en (4.29) y (4.30), con la diferencia de que estos cambios se realizaron en distintos tiempos. El cambio descrito en (4.29) se realizó a los 5 segundos y la modificación del modelo externo (4.30) se aplicó alrededor de los 90 segundos.
El resultado de estas variaciones de los modelos simulados se muestra en la Fig. 4.41 para el CAP maestro y en la Fig. 4.42 para el CAP esclavo. Una breve comparación entre la Fig. 4.41 (a) y la Fig. 4.35 (a) demuestran que efectivamente, la ejecución más rápida del CAP esclavo trae beneficios en la implementación del control cascada.
Esto se puede apreciar también observando la Fig. 4.43 y Fig. 4.44, ya que la primera variación (4.29) fue realizada en el proceso esclavo y en la Fig. 4.43 se observa que efectivamente a los 5 segundos aproximadamente el modelo AP del CAP esclavo empieza a cambiar, mientras en la Fig. 4.44 se observa cómo la adaptación del modelo AP del CAP maestro es casi nula.
Fig. 4.41 Gráfica de salida del proceso (a) y manipulación (b) del CAP externo ante las variaciones de los modelos ARX simulados (segundo escenario).
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Fig. 4.42 Gráfica de salida del proceso (a) y manipulación (b) del CAP esclavo ante las variaciones de los modelos ARX simulados.
Fig. 4.43 Evolución del modelo AP del CAP Esclavo ante las variaciones de los modelos ARX simulados (segundo escenario)
123 Fig. 4.44 Evolución del modelo AP del CAP Maestro ante las variaciones de los modelos ARX simulados (segundo
escenario)
Entonces, podemos concluir que con la modificación del tiempo de muestreo del CAP esclavo se mejoró el comportamiento del esquema de control, lo cual da pauta para el estudio del comportamiento de los CAPs implementados en un esquema de control cascada.