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La diferencia principal de la estrategia extendida de control predictivo, es que no se hace la predicción en un solo instante futuro, sino en un horizonte de predicción [1], sin embargo, se sigue satisfaciendo el hecho de calcular la manipulación actual, que es el principio del control predictivo.

La estrategia extendida

Cuando se presentó la estrategia básica, cuando se genera la trayectoria deseada, no se considera la dinámica o el comportamiento del proceso. Es decir, se define una trayectoria deseada en base a algún comportamiento que se desee en la salida, pero no toma en cuenta la forma en la que se pueda seguir esa trayectoria, como se observa en el caso de un sistema de fase no mínima.

Esta información (del modelo AP) puede ser utilizada para predecir el comportamiento en un intervalo de muestras sucesivo (futuro), al cual se le conoce como horizonte de predicción. Éste está definido por el rango de [k, k+ ], donde representa el horizonte de predicción. Este parámetro es un parámetro fundamental en el desempeño del controlador. El objetivo de esta tesis no es encontrar el mejor horizonte de predicción para cada aplicación. En [14] se analizan los efectos de la elección de diferentes horizontes de predicción.

Con la introducción del horizonte de predicción ahora se va a predecir la salida del proceso no solo una muestra adelante, sino tantas como el horizonte de predicción. No podemos hacer esta predicción sin conocer las manipulaciones posteriores, esto es, se deben elegir manipulaciones “ficticias”. Esto se hace a través de la elección de un cierto criterio de rendimiento.

Predicción extendida

Así, para el intervalo [k,k+ ], se define el modelo predictivo, pero se aumenta el número de instantes futuros de predicción en la forma:

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Criterio de rendimiento

Una vez definido el horizonte de predicción, y las predicciones de acuerdo a la ecuación (2.13), lo que necesitamos es generar las acciones de control ficticias, que sean acotadas físicamente y que a su vez logren que el bloque conductor lleve de la manera deseada la salida del proceso hacia el valor de referencia.

Para esto, necesitamos algún criterio de minimización de una función objetivo. Para aclarar el concepto se propone:

(2.14)

La ecuación (2.14) es la función objetivo que se propone para minimizar y encontrar la manipulación, donde es una trayectoria de referencia que puede generarse a través de un modelo de referencia, que es donde podemos definir, de forma independiente del proceso, la dinámica deseada, como el tiempo de respuesta, el sobretiro, es decir el comportamiento deseado. Además, Q y R son factores de peso o de diseño de la función objetivo.

Para continuar con el proceso, hay que resolver la función de objetivo a través de un problema de minimización donde las variables a encontrar son las manipulaciones, tanto la actual como las

“ficticias” que minimizan la función objetivo, la cual minimizará el error entre la trayectoria

proyectada en el horizonte de predicción y una trayectoria de referencia deseada por el diseñador.

Minimización de la función objetivo

Una vez presentada la función objetivo, por ejemplo, la presentada en (2.14), hay que minimizar esta función para obtener la manipulación necesaria, es decir, la ley de control o señal de control. Una de las desventajas de esta solución, es que hay que obtener la solución para todas las manipulaciones en el horizonte de predicción, y en realidad se aplica solamente la manipulación actual u(k).

En [1] se propone, que utilizando recursividad, la ecuación de diferencias de la salida estimada (2.13), es decir, del modelo AP se pueda reescribir como:

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Donde el autor define:

(2.16)

Con

(2.17)

Esto, debido a que, si observamos la notación de la ecuación (2.15), la estimación de y, en una muestra k+j, depende de términos de y’s conocidos y u’s conocidas en las dos primeras sumatorias. Únicamente el tercer término depende de manipulaciones desconocidas, que es la que permitirá minimizar la función de objetivo.

Teniendo estas definiciones en cuenta, la ecuación (2.13), se puede escribir de forma matricial de la siguiente manera: (2.18) donde: , , , ,

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E, G y G0 son las siguientes matrices:

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Sustituyendo (2.18) en la función objetivo (2.14) y derivando para obtener el mínimo, se obtiene la solución. Ver [1, pp 112] para el procedimiento.

(2.22) El problema con esta solución es la cantidad de recursos utilizados en el cálculo de la ley de control. La complejidad introducida por la función objetivo se debe al número de incógnitas , que son los valores de la señal de control en el horizonte de predicción. Además de la complejidad que involucra el cálculo de inversión de matrices dentro de (2.22).

Además, el vector U de esta ecuación, contiene todas las manipulaciones ficticias que satisfacen la minimización de la función objetivo, aún y cuando sólo aplicaremos la manipulación en el instante de muestreo actual. Si además, manejamos un sistema adaptativo, como se verá posteriormente, se tiene que volver a calcular en cada tiempo de muestreo las matrices (2.19), (2.20) y (2.21), además de la solución (2.22).

Para facilitar este cálculo y para calcular solamente la manipulación actual, es decir, reduciendo el número de incógnitas de a 1, que es la única incógnita que concierne al sistema de control (u(k)), se presenta una solución particular, que es la que se implementó en el presente trabajo.

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