3.5 Evaluation
3.5.1 Change Case Impact Analysis
En el presente capítulo se describen las cuatro fases de la ingeniería didáctica como metodología electa para la realización de este estudio: análisis preliminares, concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas; experimentación y análisis a posteriori y evaluación. Así mismo se especifica que el enfoque a seguir en el estudio debido a los objetivos a perseguir es de corte cualitativo, usando como estrategia el estudio exploratorio y el descriptivo. En un segundo momento se desarrolla el proceso de categorización para sistematizar la información recaba en el campo de estudio. Además se enuncian las dos grandes categorías en las que se dividió el tema de estudio, que son: el desarrollo de competencias a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza; y las competencias matemáticas desarrolladas a través de la enseñanza del tema “relación funcional”.
En otro apartado, se especifican las características del muestreo poblacional homogéneo que fue seleccionado, así como las tres fuentes de información (el docente, el observador externo y los alumnos) y los respectivos instrumentos de recolección de datos que fueron aplicados en el campo de investigación. Por último, se hace una descripción sobre la aplicación de la prueba piloto y de los instrumentos de recolección de datos, así como del método para su respectivo análisis después de la aplicación.
3.1 Método de investigación
Una de las cualidades del ser humano es su necesidad de tratar de comprender el mundo en el que vive. Por lo que desde siglos pasados, el hombre ha desarrollado diversas investigaciones intentando buscar explicaciones a diversos fenómenos físicos o sociales que ocurren en nuestro entorno, utilizando para ello distintos métodos o técnicas de estudio (Taylor, 1987). En el campo educativo la investigación es utilizada para conocer a fondo los procesos particulares que ocurren dentro y fuera del aula a partir de las prácticas sociales e históricas que surgen en el contexto escolar (Strauss, 2002). Por
tal motivo, sus métodos de investigación tienen un enfoque cualitativo, cuya intención es buscar resolver los problemas sociales que afectan el campo educativo a través del análisis profundo de situaciones cotidianas que se viven en la escuela.
En el caso de la problemática que se planteó en este proyecto de investigación, en el capítulo 2 se muestra la vasta investigación que surge del tema sobre modelación matemática y su relación con el desarrollo de competencias. Sin embargo, como se mencionó en el capítulo 1, se carecía de alguna que indicara cuáles son las competencias matemáticas que utilizaban los alumnos de primer grado de secundaria para favorecer el aprendizaje del tema “relación funcional” mediante el proceso de modelación
matemática.
Este desconocimiento generó la necesidad de emplear un método de estudio de tipo cualitativo, que permitiera entre otras cosas: 1) identificar las competencias matemáticas que los sujetos desarrollan a través de la aplicación de la modelación matemática como estrategia de enseñanza; 2) identificar las competencias matemáticas que los alumnos desarrollaron durante la enseñanza del contenido matemático “la relación funcional”.
Así, el estudio realizado fue de tipo experimental, en el que por medio de la planeación y aplicación de propuestas didácticas en el aula, el docente/investigador logró obtener información sobre los fenómenos ocurridos en el salón de clases. Esta
metodología es conocida como “ingeniería didáctica”, la cual fue creada por Michelle Artigue (1995), una investigadora francesa que relacionó los proyectos de construcción de ingenieros para aplicarlo a la didáctica de la enseñanza de las matemáticas. Dicha metodología por sus componentes de estudio está orientada a tener un enfoque de estudio tipo mixto; sin embargo, para este estudio se consideró necesario enfocarla a obtener un análisis de tipo cualitativo.
Las fases de la ingeniería didáctica se basan en la concepción, la realización, la observación y el análisis de secuencias de enseñanza, validando su información a través de la contrastación entre un análisis a priori y a posteriori de los estudios de caso a
analizar (Artigue, 1995; De Faria, 2006). La secuencia de pasos a seguir para el desarrollo de la ingeniería didáctica es la que se muestra en la figura 4.
Figura 4. Fases de la ingeniería didáctica (Artigue, 1995).
Primera fase: análisis preliminares. Hace referencia al análisis del cuadro teórico entre lo que se sabe y no del tema a estudiar relacionando dicho análisis a los objetivos de investigación (Artigue, 1995; De Faria, 2006). En este caso, nos referimos al marco teórico de la investigación, a través del cual, se realizó una exhaustiva revisión de literatura relacionada a los constructos abordados: modelación matemática y relación funcional.
Segunda fase: concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas. En esta etapa se hizo énfasis en el análisis contextual del problema abordado (Artigue, 1995), en donde, de acuerdo con De Faria (2006), se identificó la problemática a estudiar y sus variables de comando, denominados constructos, a través de las cuales se definió el tema de investigación, se desarrollaron las preguntas y objetivos de investigación, se determinó la hipótesis y se seleccionó el enfoque del estudio.
Tercera fase: experimentación. En esta fase, se realizó la planeación e implementación de una secuencia didáctica que permitiera la obtención de datos
significativos referentes al problema de investigación. En primera instancia se preparó el escenario (el espacio áulico) en donde se llevó a cabo el estudio. Y como segunda fase, una vez que se desarrolló el proyecto, y apoyado de las técnicas e instrumentos de
recogida de datos, se recolectó la información necesaria sobre el proyecto de estudio (Artigue, 1995, De Faria, 2006).
Cuarta fase: análisis a posteriori y evaluación. Una vez realizada la
experimentación y aplicados los instrumentos de recolección de datos, se prosiguió al proceso de sistematización, validación, evaluación de la información obtenida a través del método de triangulación de tipo metodológica, pretendiendo validar y contrastar los datos obtenidos de los instrumentos de recogida de datos, que en este caso fueron: el registro de observación, entrevistas, rúbricas y diarios del profesor (Artigue, 1995, De Faria, 2006). El esquema de la figura 5 muestra la metodología que se realizó con base al diseño de ingeniería didáctica.
Figura 5. Proceso metodológico: fases y sub-fases de la investigación basada en la ingeniería didáctica de Artigue (1995).
3.2 Población y muestra
Considerando que el objetivo de esta investigación era identificar cuáles son las competencias matemáticas que los alumnos de primer grado de secundaria desarrollan a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza. Se tomó en
consideración como población del estudio todos aquellos alumnos de primer grado de secundaria inscritos en una escuela pública del Estado de México. Sin embargo, tal como lo menciona Hernández (2006), no es posible hacer una investigación considerando el total de la población arriba mencionada, de tal manera que se tuvo que seleccionar el subgrupo representativo de la población que nos permita obtener información de la misma (Hernández, 2006, p. 236).
Para la selección de la muestra se optó por tener una muestra no probabilística porque permite seleccionar sujetos con características especificas, además porque las características del estudio a realizar así lo requería (Hernández, 2006). Los factores que determinaron la selección de la muestra fueron los recursos tecnológicos disponibles para la aplicación de la propuesta didáctica – en total 14 computadoras- y la disponibilidad de tiempo de los alumnos, debido a que por características de la escuela, las computadoras a utilizar sólo podrían ocuparse después de la jornada escolar.
Otros factores que influyeron en forma individual para la selección de los alumnos fueron el grado escolar, la escuela en donde estaban inscritos, el turno de la escuela, las edades, el escaso desarrollo de competencias, y el grado académico de éstos. El número total de sujetos a participar estuvo determinado por las limitantes del contexto institucional, pues únicamente se cuentan con 14 computadoras, por ende el total de alumnos electos para la muestra fue de 14.
Cabe señalar que inicialmente la selección de 14 alumnos estaba determinada por el numero de computadoras disponibles para la realización de la actividad; sin embargo, al momento de la aplicación solamente servían la mitad de las mismas, por lo que se tuvo que organizar a los alumnos muestra en parejas para la realización de algunas –no todas-
las etapas del proceso de modelación. Aunque en el momento de aplicación, el análisis de trabajo se siguió contemplando en forma individual. De esta manera, en los próximos capítulos se observará que el análisis fue en su mayoría de tipo individual; es decir por alumno, no por equipo. La única parte que se retomó por equipo fue la construcción de los modelos en la computadora.
3.3 Tema, categorías e indicadores de estudio
Según Osses (2006) la categorización es una herramienta que permite sistematizar la información obtenida del estudio realizado, en donde el investigador es el encargado de clasificar el estudio en variables (o constructos) que tengan algún significado o se refieran a situaciones, actividades, métodos, procesos y estrategias relacionadas al tema de
estudio.
En este caso, se ha de recordar que el tema de investigación es “La modelación matemática como estrategia de enseñanza, que se apoya del uso de la hoja de cálculo, para la enseñanza del tema Relación Funcional en el aula”. El cual fue dividido para su estudio en dos grandes áreas, que son los constructos que hemos venido manejando tanto en el marco contextual, como en el marco teórico, estos son:
− El desarrollo de competencias matemáticas a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza.
− Las competencias matemáticas desarrolladas durante la enseñanza de la relación funcional.
Con respecto a la categoría “el desarrollo de competencias a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza”, ésta se dividió en tres sub- categorías, que de acuerdo con Biembengut y Hein (1997) son las etapas en las que se realiza en el proceso de modelación:
a) Interacción con el asunto. Con este indicador se pretendió identificar si el alumno podía analizar y comprender los problemas, para saberlo se plantearon dos
preguntas:
− ¿El alumno comprendió el problema real y pudo explicarlo con sus propias palabras?
− ¿Identificó los datos necesarios que le permitieron comprender el problema?
b) Construcción matemática. Siendo este la fase más relevante de la modelación básicamente, en ella se pretendió saber si el alumno era capaz de construir modelos matemáticos, tomando en cuenta las siguientes cuestiones:
− ¿Clasificó la información (en relevante y no relevante) identificando los hechos involucrados?
− ¿Decidió cuáles eran los factores a ser perseguidos, planteando la hipótesis?
− ¿Generalizó y seleccionó variables relevantes?
− ¿Seleccionó símbolos apropiados para dichas variables?
− ¿Describió las relaciones establecidas, en términos matemáticos?
c) Modelo matemático. En esta tercer sub-categoría se pretendió saber si el alumno pudo representar, argumentar y comunicar sus resultados con respecto al modelo creado. Por ello las preguntas a considerar fueron:
− ¿Demuestra a través de una serie de pasos con fundamentos matemáticos cómo surge el modelo de la relación funcional?
− ¿Aplicó sus conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación de modelo?
− ¿Interpretó y validó la solución del problema matemático que resulta en relación a la situación dada?
− ¿Analizó y comparó los modelos de investigación? − ¿Comunicó a los demás sus resultados?
La tabla 1 muestra los aspectos considerados en la primera categoría, en este se toma de base las competencias matemáticas que se desarrollan por el simple hecho de realizar el proceso de modelación matemática.
Tabla 1.
Categoría 1 “El desarrollo de competencias a través de la modelación matemática como estrategia de enseñanza”.
(Sub-
categoría) Indicador Preguntas
Interacción con el asunto
Comprensión del problema real: identificación de los datos necesarios que permitan comprender el problema.
¿El alumno comprendió el problema real y pudo explicarlo con sus propias palabras? ¿Identificó los datos necesarios que le permitieron comprender el problema?
Construcción matemática
Clasificación de la información (en relevante y no relevante) e
identificando los hechos involucrados.
¿Clasificó la información (en relevante y no relevante) identificando los hechos involucrados?
Selección de los factores a ser perseguidos y planteamiento de la hipótesis.
¿Decidió cuáles eran los factores a ser perseguidos, planteando la hipótesis? Generalización y selección de las
variables relevantes
¿Generalizó y seleccionó variables relevantes?
Selección de los símbolos apropiados para dichas variables
¿Seleccionó símbolos apropiados para dichas variables?
Descripción de las relaciones que se establezcan, en términos
matemáticos.
¿Describió las relaciones establecidas, en términos matemáticos?
Modelo matemático
Aplicación de conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación de modelo.
¿Demuestra a través de una serie de pasos con fundamentos matemáticos cómo surge el modelo de la relación funcional? ¿Aplicó sus conocimientos y habilidades matemáticas para comprobar la aplicación de modelo?
Interpretación y validación de la solución del problema matemático que resulta en relación a la situación dada.
¿Interpretó y validó la solución del problema matemático que resulta en relación a la situación dada? Análisis y comparación de los
modelos de investigación.
¿Analizó y comparó los modelos de investigación?
Comunicación y argumentación de
Sobre la segunda categoría “competencias matemáticas desarrolladas durante la enseñanza de la relación funcional”, esta hace referencia aquellos conocimientos, habilidades y actitudes que se espera los alumnos de educación secundaria desarrollen a través de los contenidos matemáticos enseñados en clase las cuales de acuerdo de con la OCDE (2003; OCDE, 2006). Por lo anterior, esta categoría se dividió en tres sub-
categorías:
a) Aprendizaje del contenido matemático. A través de la cual se pretendió saber qué contenidos matemáticos adquirió el sujeto durante la enseñanza del tema relación funcional, específicamente si:
− ¿Conoció el término relación funcional y lo aplicó a su contexto? − ¿Comprendió la relación funcional que existe entre dos variables?
b) Implicación de conocimientos matemáticos. Mediante esta sub-categoría se quiso conocer si el sujeto:
− ¿Utilizó el lenguaje algebraico para relacionar dos variables y su crecimiento proporcional?
− ¿Realizó algún gráfico que muestre la relación entre dichas variables? − ¿Realizó los procedimientos adecuados para demostrar la relación
funcional de dos variables?
c) Desarrollo de competencias matemáticas. Tomando en cuenta lo que menciona Niss y Blum (2007a) con respecto al desarrollo de competencias que se da a través del proceso de modelación, en esta categoría se deseo saber si el sujeto:
− ¿Construyó modelos matemáticos que le permitieran explicar la relación funcional entre dos variables?
− ¿Representó e interpretó la relación funcional a través de diversos modelos (de una gráfica, tabla de datos y ecuación algebraica)?
− ¿Utilizó la hoja de cálculo Excel como herramienta de apoyo para la construcción del modelo matemático?
La esquematización del proceso de categorización para la realización de este estudio se muestra en la tabla 2. En esta se abordan los indicadores que permitieron conocer sobre las competencias matemáticas desarrolladas durante la enseñanza del contenido matemático mediante la modelación matemática como estrategia de enseñanza.
Tabla 2.
Categoría 2. “Competencias matemáticas desarrolladas durante la enseñanza de la relación funcional”.
(Sub-categoría) Indicador Preguntas
Aprendizaje del contenido matemático.
Dominio del tema relación funcional y su aplicación en el contexto.
¿Conoció el término relación funcional y lo aplicó a su contexto?
¿Comprendió la relación funcional que existe entre dos variables?
Implicación de conocimientos matemáticos.
Uso del lenguaje algebraico para representar el modelo de una relación funcional.
¿Utilizó el lenguaje algebraico para relacionar dos variables y su crecimiento proporcional?
Representación gráfica de una relación funcional
¿Realizó algún gráfico que muestre la relación entre dichas variables?
Realización de procedimientos
matemáticos que permitan demostrar la relación funcional de dos variables
¿Realizó los procedimientos adecuados para demostrar la relación funcional de dos variables?
Desarrollo de competencias matemáticas.
Construcción de modelos matemáticos que permitan explicar la relación funcional entre dos variables
¿Construyó modelos matemáticos que le permitieran explicar la relación funcional entre dos variables?
Representación e interpretación de la relación funcional a través de diversos modelos (gráfica, tabla de datos y ecuación algebraica)
¿Representó e interpretó la relación funcional a través de diversos modelos (de una gráfica, tabla de datos y ecuación
algebraica)?
Uso de recursos tecnológicos para la construcción del modelo matemático
¿Utilizó la hoja de cálculo Excel como herramienta de apoyo para la construcción del modelo matemático?
3.4 Fuentes de información
Una vez que se que se determinaron las categorías y sus respectivos indicadores, se seleccionaron las fuentes de información que permitieron recopilar los datos necesarios de la investigación. Estas fueron: los alumnos, el profesor y un observador externo.
3.4.1. Los alumnos
Esta fuente fue la más importante porque los alumnos fueron los que vivieron el estudio de modo más directo. Éstos aportaron información acerca de cómo se llevó a cabo el proceso, qué conocimientos aprendieron y que habilidades desarrollaron. Así mismo, fueron los que a través de su trabajo pudieron dar información sobre su desempeño al momento de aplicar la modelación para construir modelos utilizando la hoja electrónica de cálculo.
Otra fuente inmersa en este rubro fueron los trabajos de los alumnos, ya que a través de ellos se logró valorar el desarrollo, los avances, las dificultades, los
conocimientos y las actitudes de los sujetos durante el proceso de la modelación
matemática. Así mismo permitieron responder a preguntas sobre el tipo de conocimientos adquiridos, las habilidades desarrolladas durante el proceso, la secuencia de pasos
aplicados en la modelación y el desempeño de cada uno de ellos.
Cabe mencionar, que dentro de este material se incluyó un ejercicio de evaluación que comprendió problemas parecidos a los que la prueba de ENLACE maneja en sus evaluaciones. La intención fue conocer la forma en que el alumno desarrolla el proceso de modelación para resolver un problema que le permitiera medir sus conocimientos y habilidades matemáticas, comprobando el grado de desarrollo de sus competencias para la resolución del mismo (Véase apéndice A).
3.4.2. El profesor
El docente fue otra fuente importante para la obtención de datos, sobre todo porque tomó el rol de observador participante (Hernández, 2006), ya que fue él quien observó directamente el trabajo de los alumnos, y quien valoró de manera cualitativa y cuantitativa el desempeño obtenido en cada sesión. Así mismo, el docente titular fue la persona encargada de la investigación, ya que su rol le permitió conocer los avances y retrocesos de cada uno de sus alumnos, por lo que es de considerarse las aportaciones que este otorgó al estudio realizado.
3.4.3. Observador externo
El observador externo de acuerdo con Hernández (2006) es un observador no participante que permite tener una perspectiva distinta de lo que se viven antes, durante y después del proceso de investigación. El observador externo fue un docente con
conocimientos matemáticos, que durante la enseñanza del contenido de “relación funcional” detectó en los alumnos aquellas competencias que pudieran haber
desarrollado, tanto de la modelación matemática como de las matemáticas, plasmando sus observaciones en los formatos de registro de observación (Véase Apéndice B).
Es importante decir, que el observador externo, además de tener dominio de contenidos matemáticos, conocía cómo se debía llevar a cabo el proceso de observación y qué tipo de competencias matemáticas se pretendía desarrollar en los estudiantes durante