WAGE RESTRAINT AND THE STUDY OF WAGE DETERMINATION IN THE SOCIAL SCIENCES
3.1 E CONOMICS
En el estudio de la barra a tracción-flexión se parte de las premisas básicas asumidas en el estudio inicial de la Teoría de la Elasticidad, las cuales se expusieron en el tema 1. Se repro- ducen a continuación como recordatorio:
– Material homogéneo e isótropo
– Pequeños desplazamientos y cambios de forma – Ausencia de efectos dinámicos
– Comportamiento lineal y elástico
Adicionalmente, las particularidades de la tipología del problema permiten realizar un con- junto de aproximaciones razonables que simplifican su estudio. Esta tipología típicamente consta de una barra recta esbelta, sustentada en unos pocos puntos, y sometida a cargas fundamentalmente transversales a la barra. Las aproximaciones enumeradas a continuación están respaldadas tanto por una amplia evidencia experimental como por soluciones “exac- tas” (analíticas) obtenidas de la Teoría de la Elasticidad. Existe asimismo una amplia eviden- cia de que estas aproximaciones serán tanto más acordes con el comportamiento real cuanto más esbelta sea la barra. Por ello se indicó al principio de este tema que considerarí- amos barras cuya relación de longitud partido por mayor dimensión de la sección fuese al menos de 10:1. Las aproximaciones a las que nos estamos refiriendo, y que aquí presenta- remos de una forma axiomática por brevedad, son las siguientes:
– Las componentes de tensión yy, zz, yz, son muy pequeñas en la barra. Es decir, despreciaremos estas componentes que no tienen subíndice x.
– La componente de tensión xx, tiene valores máximos mucho mayores que cualquier otra componente de tensión, y tiene un efecto ampliamente dominante sobre la deformación de la barra.
– Las componentes de tensión xy, xz, aun teniendo valores máximos pequeños en comparación con xx, pueden tener algún efecto en la aplicación de un criterio de plastificación, y en caso de duda deben ser consideradas a tales efectos. No obstante, se puede despreciar el efecto que estas componentes tangenciales de tensión en la sección tienen sobre la deformación de la barra (hipótesis de Navier-Bernoulli).
– Las secciones inicialmente planas de la barra, permanecen planas tras la defor- mación.
Adicionalmente cabe recordar que estamos suponiendo nulo el momento torsor como hipó- tesis de trabajo.
El que las secciones permanezcan planas nos permite pensar en el movimiento de una sec- ción como unos ciertos movimientos de los puntos en el plano de la sección, más un movi- miento de sólido rígido de la misma. La figura 4.8 muestra solamente éste movimiento de sólido rígido, descompuesto en la suma de una traslación (4.8b) que lleva el centro de áreas
a su posición final, más una rotación (4.8c) alrededor de una cierta recta que pasa por el centro de áreas.
A su vez, es posible descomponer la rotación en suma de una rotación y alrededor del eje y, más una rotación z alrededor del eje z, como indica la figura 4.9.
En la teoría de pequeñas deformaciones que asumimos, el que las secciones permanezcan planas no está influido por las componentes uy, uz, del desplazamiento de los puntos, ya que estas componentes mantienen al punto en el plano de la sección. Es la componente ux la que saca al punto del plano de la sección, y por tanto la responsable de que la misma siga siendo plana o no. Por tanto esta componente ux debe ajustarse al los movimientos horizon- tales implicados en el movimiento de sólido rígido descrito anteriormente. Para ello, la com- ponente de desplazamiento ux de un punto de coordenadas y, z, que está en la sección de coordenada x, debe tener la forma:
u
xx,y, z=u
oxx
zx⋅y
yx⋅z
(4.2) en donde uox es el movimiento horizontal del centro de áreas de la sección, que es único para la sección de coordenada x, y por tanto depende sólo de esta coordenada. Este sumando corresponde a la traslación que lleva el centro de áreas a su posición final. Los giros y, z, de la sección respecto de los ejes y,z respectivamente, son una característica de la sección, y por idéntico motivo dependen solamente de x. El término z(x)·y representa los desplazamientos horizontales de los puntos debidos al giro z de la sección. Análoga- mente, el término y(x)·z representa los desplazamientos horizontales de los puntos debidos al giro y.Figura 4.8: a) Posición inicial de la sección b) Traslación c) Rotación
x
y
z
C.A.
a)
b)
c)
Figura 4.9: Descomposición del giro de la sección en dos componentes (se dibujan positivas)
x
y
z
z
yResistencia de Materiales
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Recuerde que descomponer un giro en suma ordinaria de otros, como hemos hecho, sólo ofrece buena aproximación cuando los giros son pequeños. Los giros finitos aplicados a un sólido no son conmutativos.
Nos preguntamos ahora por el convenio de de signos aplicable a los giros de la sección. Nuevamente estamos ante la situación de haber escrito ya una ecuación, la (4.2), y los con- venios de signos deben ser coherentes con ella. Por tanto consideremos (por ejemplo con- templando la figura 4.9) un punto de y,z, positivos en la sección, y pensemos que experi- menta un ux positivo. Para facilitar el razonamiento, aislaremos un sólo término de (4.2) pen- sando adicionalmente que la sección sólo puede girar respecto de z. El sentido de giro en z implicado por el movimiento ux positivo será el sentido positivo de z, ya que el término apa- rece con signo positivo en (4.2). Puede apreciarse fácilmente que dicho sentido es precisa- mente el dibujado en la figura 4.9, y que por tanto z es positivo cuando tiene sentido opuesto al eje z. Análogamente, pensando que sólo existiese giro en y, el sentido del mismo implicado por un ux positivo en un punto de y,z, positivos, nos da el sentido positivo de y. En este caso, se trata del sentido del eje y, que nuevamente es el dibujado en la figura 4.9. En resumen, dicha figura muestra los sentidos positivos de los giros de la sección·
Nótese que el desplazamiento u de los puntos del sólido es un campo vectorial. El valor en un punto es un vector, sin más dependencias de planos de corte, etc. Ello hace por ejemplo innecesarias otras conside- raciones acerca de la sección con sólido a la derecha, etc, que en este caso conducirían a idénticos resultados. Apréciese también el carácter vectorial del propio giro de la sección, que tampoco depende del sen- tido de la normal exterior en la sección.
Para finalizar, realizaremos una breve reflexión acerca de la hipótesis relativa a despreciar el efecto sobre la deformación de la barra de las componentes tangenciales de tensión, y que se conoce como hipótesis de Navier-Bernoulli.
Como sabemos, la única componente de deformación asociada a xy es xy, que a su vez representa (la mitad de) el decremento del ángulo inicialmente recto que formaban dos seg- mentos diferenciales que pasan por el punto, y que eran paralelos a y, z, antes de la defor- mación. Por tanto, la hipótesis de Navier-Bernoulli equivale a asumir que cualquier ángulo recto de lados inicialmente paralelos a y, z, seguirá siendo recto tras la deformación. En par- ticular, la línea de centros de área de las secciones (directriz de la barra) permanecerá per- pendicular a las secciones tras la deformación (ver figura 4.10), característica de la que nos serviremos más adelante en el cálculo de desplazamientos.
Figura 4.10: Ángulo que permanecerá sensiblemente recto tras la deformación