R EUNIFICATION AND THE LOSS OF FISCAL AND WAGE DISCIPLINE (1990-1993)

La imposición del equilibrio de un sistema plano usando procedimientos gráficos requiere, al igual que cuando se usa cualquier otro procedimiento, garantizar que la resultante de las fuerzas aplicadas sea nula, y que la suma de momentos respecto de un punto del plano sea también nula. Es indiferente el punto del plano respecto del que tomemos el momento, ya que el campo de momentos será constante por ser la resultante nula.

Podemos imponer las ecuaciones de equilibrio en cualquier orden que nos resulte conve- niente. Por ejemplo, en el caso de la figura C1 será más conveniente comenzar imponiendo la igualdad a cero del momento. Para ello, y como paso previo, reducimos todas las fuerzas conocidas a una sola fuerza (su resultante aplicada en un punto de momento nulo, como por ejemplo el punto donde se cruzan esas fuerzas), como se ha hecho en la figura C2.

Figura C1: Una armadura isostática.

2F

F F

Figura C2: La reacción derecha debe pasar por el punto de corte de las demás fuerzas. 2F2 di r. co no ci da cono cida calculada, pendien te 8:3

Sabemos que la reacción del apoyo izquierdo será vertical. El punto de esa linea vertical que se corte con la recta de acción de la reducción de las fuerzas conocidas, debe ser también un punto de la recta de acción de la reacción del apoyo derecho, ya que de otra manera el momento resultante respecto de ese punto no sería nulo. Por tanto hemos encontrado la dirección de la reacción del apoyo derecho, que es la que se indica en la figura C2.

Hay que entender que, desde el punto de vista del álgebra, hemos utilizado una de las con- diciones de equilibrio (momento nulo) para encontrar una incógnita (la dirección en principio desconocida de una fuerza de reacción). En estos momentos quedan dos incógnitas por cal- cular (los módulos de ambas fuerzas de reacción), y tenemos aún disponibles dos ecuacio- nes de equilibrio estático (por ejemplo componente horizontal de la resultante nula, y compo- nente vertical de la resultante nula). Seguidamente podemos proceder al cálculo de dichas incógnitas, que realizaremos asimismo de manera gráfica.

Para ello consideramos de nuevo (y para el resto de los razonamientos) las cargas reales del problema. En el cálculo de las reacciones sería posible aún operar con la reducción de las fuerzas conocidas realizada en la figura C.2, pero evidentemente no sería correcto emplear esa reducción para el cálculo de los esfuerzos en las barras. Como más tarde vamos a abordar dicho cálculo, es más conveniente operar desde este momento con las fuerzas actuantes reales.

La figura C3 muestra las áreas entre fuerzas y esfuerzos nombradas del modo que se pre- sentó en el Tema 7. El cálculo de la magnitud de las reacciones se realiza imponiendo que las fuerzas actuantes formen un polígono cerrado. Dicho polígono se muestra junto a la figura. El mismo está trazado comenzando por la fuerza “ab”, lo que se ha elegido para que el trazado de las fuerzas conocidas se realice antes que el de las desconocidas, al ir avan- zando en sentido horario en torno a la estructura. Se ha tomado su módulo, “F”, igual a cua- tro lados de la cuadrícula de referencia (“unidades” en lo sucesivo), por lo que esa será la escala del polígono de fuerzas. La fuerza “bc” es de módulo 2F y sentido hacia abajo, por lo que se traza con 8 unidades hacia abajo. La fuerza “cd” tiene de módulo F, por lo que se traza con magnitud de 4 unidades, hacia la izquierda.

La fuerza de reacción “de”, cuyo sentido desconocemos en principio, tiene inclinación 8:3, así que trazamos un segmento de recta desde “d” con esa inclinación, sin saber todavía en

Figura C3: Cálculo de la magnitud de las reacciones mediante el equilibrio gráfico de fuerzas.

2F F F a b _c d e f g h i j b c d e a

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qué posición de esa recta se encontrará el punto “e”. Finalmente, la fuerza “ea” debe ser vertical. No sabemos dónde está “e”, pero sí dónde está “a”, por lo tanto realizamos un trazo vertical que pase por “a”. El punto “e” debe estar tanto en la recta “de” como en la “ea”, por lo tanto su posición queda determinada en el cruce de los dos trazos que acabamos de reali- zar.

Haber determinado la posición del punto “e” en el polígono de fuerzas equivale de hecho a haber determinado el valor de las reacciones en los apoyos. En efecto, la reacción en el apoyo derecho es vertical y según hemos obtenido en el trazado, tiene de módulo 5 “unida- des”, es decir 5/4 de F = 1.25F, y su sentido viene dado por el vector ea del trazado (recuér- dese que siempre nombramos las fuerzas con el orden en que encontramos las áreas adya- centes al girar en sentido horario). Es decir tiene sentido hacia arriba.

Por su parte, la reacción “de” tiene el sentido del vector de del trazado. Por tanto tiene sen- tido hacia la derecha y hacia arriba, con inclinación 8:3 como habíamos calculado. Su módulo se obtiene fácilmente del trazado: en “unidades” de cuadrícula es

_8

_3

_=8.54,

que equivale a 8.54/4 = 2.13F. El trazado de las reacciones en una figura de ha pospuesto hasta la figura C5 por claridad de la exposición.

El procedimiento esbozado hasta aquí será de utilidad en la mayoría de los casos en que las incógnitas de reacción estén asociadas a un apoyo fijo y un apoyo móvil. Merece un comen- tario especial el caso en que todas las fuerzas del problema sean paralelas. Tal es el caso mostrado en la figura C4, en el que se conoce que todas las fuerzas serán verticales (“excepto quizá la del apoyo fijo”, pero el equilibrio de fuerzas horizontales hace evidente que ésta tampoco tendrá componente horizontal).

Para estos casos de fuerzas paralelas, el plantear el equilibrio de momentos buscando pun- tos de corte entre las rectas de acción es, evidentemente, imposible. Aunque existen cons- trucciones gráficas que permiten calcular las incógnitas en estos casos, recomendamos sim- plemente un cálculo analítico como el mostrado junto a la propia figura C4, ya que suele resultar muy sencillo. En el ejemplo de la figura se han tomado en primer lugar momentos respecto del apoyo móvil (usando unidades de longitud de cuadrícula), para que la reacción correspondiente no aparezca en la ecuación, resultando inmediato despejar la reacción en el otro apoyo. Para calcular la reacción en el apoyo móvil podemos tomar momentos respecto

Figura C4: Cálculo de reacciones cuando todas las fuerzas que intervienen son paralelas.

F F P Q

∑M

=0 ⇒

F⋅4F⋅8=Q⋅16⇒Q=3F

4

∑M

=0 ⇒

F⋅12F⋅8=P⋅16⇒P=5F

4

del apoyo fijo como se indica en la figura, o bien podríamos haber usado la ecuación de equilibrio de fuerzas de dirección vertical.