T ESTING THE RIVAL HYPOTHESIS : DOES EXPORT LED PATTERN BARGAINING EXPLAIN WAGE RESTRAINT IN THE G ERMAN PUBLIC SECTOR 18 ?

En cuanto a la aptitud para resistir torsión, entendida como aparición de tensiones de valor moderado, bajo la acción de un momento torsor, puede decirse que las secciones más idó- neas son las cerradas, de pared delgada. Cuando se compara una sección de este tipo con una sección maciza del mismo área, encontramos que el perfil hueco tiene mayor rigidez a torsión, y desarrolla menores tensiones máximas (la tensión tangencial es prácticamente la misma en todos los puntos). En particular la sección circular hueca puede ser especialmente conveniente debido tanto a que no alabea, como a que es óptima en cierto sentido, como se verá más tarde.

Las secciones huecas de pared gruesa presentarán una mayor variación de la tensión en dirección radial, con lo que presentarán mayores tensiones máximas que un perfil de pared delgada. Pero a cambio alejan el peligro de fenómenos de inestabilidad, como la abolladura de la pared de la sección. Este tipo de secciones son también aptas para resistir torsión. Les siguen en idoneidad las secciones macizas, con los mismos inconvenientes respecto de las secciones de pared delgada que las de pared gruesa, agravados por el hecho de que los puntos más interiores de una sección maciza suelen soportar muy poca tensión en compara- ción con los exteriores.

Por el contrario, las secciones abiertas de pared delgada son muy poco apropiadas para soportar momento torsor, debido a que deben generar grandes tensiones. Es el caso de las secciones en “L” y en “T” (aunque tengan poca propensión a la torsión no uniforme, lo que es independiente), en “C”, en “doble T”, etc. Cuando se usan este tipo de secciones, muy comunes en estructura metálica, deben diseñarse las condiciones de apoyo y demás facto- res relevantes de forma que se evite la aparición de torsión en esas barras.

En lo que sigue presentaremos únicamente algunos resultados para torsión uniforme en barras de sección hueca, de pared delgada.

Considérese la sección cerrada de pared delgada mostrada en la figura 5.4a. Tomaremos una coordenada “s” que recorre la línea media del perfil (con un origen elegido a convenien- cia), y un eje “s” que es tangente a dicha línea media en cada punto, y que tendrá el sentido creciente de la coordenada “s”. El eje “n” es perpendicular al “s” en cada punto, y tiene el sentido saliente en el perfil, como se indica. El espesor de la pared en cada punto será e(s), pudiendo variar con s. El eje “x”, como es habitual, tiene la dirección longitudinal de la barra, y por tanto es perpendicular al dibujo, como se muestra en la figura 5.4b.

En primer lugar, notaremos que el producto xs·e(s) debe ser constante a lo largo de la coor- denada s del perfil. En efecto, considerando dos puntos A y B, que en general pueden tener tensiones diferentes xs(A) y xs(B) respectivamente, la reciprocidad de las tensiones tangen-

ciales exige que éstas coincidan en valor con las tensiones sx·en las respectivas esquinas de un elemento del perfil obtenido por dos cortes s=cte y dos cortes x=cte, ambos de dimen- sión finita, como el mostrado en la figura 5.4b. Estas tensiones sx serán constantes en x por la naturaleza del problema (en torsión uniforme las tensiones no dependen de x). El equili- brio de fuerzas en dirección x del elemento en cuestión se expresa como: xs(A)·e(A)·L= xs(B)·e(B)·L , siendo “L” la dimensión en dirección “x” de la porción de perfil. Lo anterior debe suceder para dos puntos A, B, cualesquiera, por tanto se concluye que

xs(s)·e(s) = cte s (5.10)

Se conoce como “flujo de tensiones” al producto xs(s)·e(s), que permanece constante en s. Una consecuencia de esta propiedad del flujo de tensiones es, por ejemplo, que en seccio- nes de espesor “e” constante, xs será también constante.

Calcularemos ahora el valor del momento torsor T producido por las tensiones xs. La fuerza sobre un diferencial de área de dimensiones e(s)·ds como el mostrado en la figura 5.5a, será xs(s)·e(s)·ds, y tiene la dirección del eje “s” en ese punto. En la expresión anterior sustituire- mos ds por el vector

_{ds ,}

_{que tendrá el sentido de “s”, para dar carácter vectorial a la} citada fuerza. El momento de esa fuerza diferencial respecto del centro de áreas será:



dT=r×

_xs

⋅e⋅ds=

_xs

⋅e⋅r×ds

_(5.11) Como sabemos, el doble del área de un triángulo puede calcularse como el módulo del pro- ducto vectorial de dos vectores que coincidan con dos de sus lados. Por tanto el producto

_r×ds

tiene como módulo el doble del área del triángulo rayado en la figura 5.5b. Si inte- gramos (5.11) a lo largo de toda la línea cerrada que recorre la coordenada s, tenemos el momento torsor total:

∫_dT=∮

s



xs

⋅e⋅r×ds=

xs

⋅e∮

s

r×ds

Figura 5.4: a) Coordenadas y parámetros en una sección cerrada de pared delgada. b) Trozo del perfil de cuyo equilibrio obtenemos que xs(s)·e(s)=cte

s

n

e(s)

r



xs

s=0

s

r

x

A

B



_xs

(A)



_xs

(B)

sx=xs(B)=ct e sx=xs (A)=cte

a)

b)

Resistencia de Materiales

Pág. 89

En donde el producto xs(s)·e(s) ha salido de la integral por ser constante. La integral a lo largo de la línea media del perfil de

r×ds

representa el doble del área de todos los trián- gulos diferenciales similares al rayado en la figura 5.5b, y por tanto representa el doble del área interior encerrada por la línea media del perfil. Llamando  a éste área, la integral ten- drá el valor 2.

En general se denomina “área sectorial” al área barrida por cualquier radio vector trazado desde un origen fijo, y cuyo extremo recorre una cierta porción de curva. Se trata de un tipo de magnitud que aparece con frecuencia en el estudio de la torsión. En nuestro caso, la figura 5.5b muestra que el área recién calculada se corresponde con el área sectorial barrida por “r” al recorrer la línea media del perfil. Nos referi- remos por tanto a  como el “área sectorial” del perfil cerrado.

En definitiva, prescindiendo del carácter vectorial de ambos miembros de la ecuación, pode- mos escribir el momento torsor total como:

T=2

_xs

e

(5.12)

Es destacable la coincidencia entre (5.12) y (5.1). Esta última expresa que para una sección circular de pared delgada es T=2R2_{ex , pero el área sectorial en este perfil es R}2_{, por lo}

que dicha expresión revierte a la forma 2ex expresada en (5.12). Esto era de esperar

dado que la sección tubular es un caso particular de sección de pared delgada cerrada. Como hemos visto, el giro por unidad de longitud comparte la misma expresión (5.4), es decir =T/GJ, para todas las secciones circulares, ya sean de pared delgada, gruesa, o sec- ción circular maciza. En esa expresión J es el momento polar de inercia. Puede demostrarse que para secciones cerradas de pared delgada el giro por unidad de longitud de barra  admite una expresión similar:

=

T

G⋅I

_T (5.13)

Figura 5.5: a) Elemento diferencial de área en el perfil. b) Elemento diferencial triangular de área sectorial.

r



_xs

e(s)

ds

r

ds

Area:

1

2r×ds

a)

b)

Donde IT es el “módulo de torsión”, que juega el mismo papel que el momento polar de iner- cia en la sección circular de pared delgada (tiene igualmente dimensiones de longitud ele- vada a la 4ª potencia), pero que no coincide numéricamente con el momento polar de inercia para formas de la sección distintas de la tubular. Los detalles de su cálculo exceden el con- tenido previsto de este curso, y pueden consultarse en la bibliografía [13,14]_{. Su valor, válido}

específicamente para perfiles cerrados de pared delgada, es:

I

_T

=4

2

_e

L

_S (5.14)

Siendo LS la longitud de la línea media del perfil cerrado, que recorre la coordenada s. Este resultado es denominado frecuentemente “Fórmula de Bredt” en la literatura.

La expresión (5.14) ciertamente no coincidirá con el momento polar de inercia de una sec- ción cerrada de geometría general. Pero como se ha indicado, al particularizar (5.14) para una sección tubular de pared delgada, se obtiene su momento polar de inercia. Véase: 42_{e/LS= 4·(R}2₎2_{·e/(2R)= 2R}3_{·e= J.}

Las fórmulas para sección circular, (5.4) y análogas, podían hacer pen- sar que es el momento polar de inercia “per se” la magnitud que condi- ciona la rigidez a torsión de un perfil cerrado en general. Pero (5.14) muestra que las magnitudes que realmente influyen en el giro relativo de las secciones en estas barras de perfil hueco de pared delgada son el área sectorial  (cuanto más, mayor rigidez), y el perímetro Ls

(cuanto menos, mayor rigidez). El espesor es el otro parámetro que influye (a más, mayor rigidez). La circunferencia es la figura plana que presenta una mayor relación de área a perímetro, por lo que un perfil circular de pared delgada puede considerarse el óptimo en cuanto a rigidez a torsión.

Los valores del módulo de torsión IT correspondientes a perfiles comerciales normalizados (tanto abiertos como cerrados), pueden encontrarse en las tablas al uso, junto a los de otras magnitudes estáticas de la sección, como el momento de inercia, el módulo resistente, etc.

– Los contenidos acerca de la torsión presentados en este tema son muy sucin- tos, ya que ello es lo pretendido para el curso. Para futura ampliación pueden consul- tarse cualquiera de las referencias [5][9][13][14][15][16]_{, así como las normas} [6] _y [8]_.

6.- Inestabilidad y Pandeo

In document Together we rule, divided we stand: public employers as semisovereign state actors and the political economy of public sector wage restraint in Germany (Page 70-76)