the study of public sector wage setting
5.3 T HE FISCAL CONSTITUTION OF THE STATE
Un sistema de vectores deslizantes es cualquier conjunto de vectores deslizantes, que lla- maremos vi, con i=1...n, actuando en sus respectivas rectas de acción. Llamaremos Ai a un punto de la recta de acción del vector vi.
Figura A6: Distintas representaciones usuales de un vector momento.
v MO O v MO O v MO O a) b) c)
Resistencia de Materiales
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La resultante de un sistema de vectores deslizantes es el vector libre que se obtiene sumando los vectores libres asociados a los vectores del sistema:
R= v
1 v
2... v
n=∑
i
v
iEl momento del sistema de vectores deslizantes respecto de un punto O, es la suma de los momentos de todos los vectores del sistema respecto de ese punto. Es un vector libre, pero puede considerarse ligado al punto O si ello conviene para un propósito particular.
M
O=∑
iOA
i×v
i Campo de momentosUn sistema de vectores deslizantes produce un momento distinto en cada punto del espacio, por lo que se engendra un campo de vectores momento. Conocido el momento respecto de un punto O, es inmediato calcular el momento respecto de otro punto O', ya que:
M
O'=∑O' A
i× v
i=∑O'OOA
i×v
i=O'O×∑v
i∑OA
i×v
i⇒
M
O'=M
OO 'O×R
(A.4)La ecuación anterior es la expresión del campo de momentos. Para calcular dicho campo no es preciso conocer todos los vectores del sistema, sólo hace falta saber el momento en un punto O y la resultante del sistema.
El campo de momentos presenta algunas propiedades interesantes que enumeramos a con- tinuación. Su demostración es prácticamente inmediata, y puede realizarse como ejercicio.
– El momento en dos puntos O y O' es el mismo si ambos están en una recta paralela a R
– La proyección del momento en dos puntos O y O' sobre la recta que une dichos puntos, es la misma (esto da sentido al concepto de momento del sistema respecto a una recta).
– Un sistema de resultante nula, genera un campo uniforme de momentos
– El producto escalar de la resultante por el momento en un punto, es indepen- diente del punto elegido:
M
O⋅R=M
O'⋅R
(A.5)Otra manera de enunciar esta última propiedad es que “la proyección del momento sobre la resultante es constante para cualquier punto”. La figura A7a muestra los vectores momento respecto de algunos puntos O1, O2, O3, dibujados en esos puntos, y la figura A7b dibujados como vectores libres con un origen común. En esta última representación se aprecia clara- mente cómo la proyección del momento sobre la resultante es constante.
Momento Mínimo y Eje Central
Llamamos “Momento Mínimo” al vector momento de menor módulo, de entre todos los posi- bles vectores momento respecto de los puntos del espacio. Si el momento mínimo no es nulo, la figura A7b permite apreciar que será paralelo a la resultante. Es decir, existirá un punto O* cuyo momento MO* = Mmin es paralelo a la resultante. Éste es el momento mínimo, que tendrá la expresión
M
min
=M
O⋅R⋅
R
∣R∣
2 (A.6)Siendo O cualquier punto del espacio. Para determinar un punto O* de momento mínimo en el espacio, podemos por ejemplo usar la ecuación del campo de momentos, e imponer que el momento sea paralelo a R, igualando (A.4) a R, siendo un escalar. El sistema de ecua- ciones obtenido no tendrá solución única porque como veremos a continuación hay muchos puntos de momento nulo, lo que no obsta para que podamos elegir uno de los (infinitos) puntos. Por ejemplo si es Rz0, puede buscarse el punto de momento mínimo que tenga z=0.
El “Eje Central” es el lugar geométrico de puntos de momento mínimo. Una vez encontrado un punto de momento mínimo, aplicando la primera de las propiedades enumeradas más arriba (el momento en dos puntos O y O' es el mismo si ambos están en una recta paralela a R), habremos encontrado en realidad toda una recta de puntos de momento mínimo. Por lo tanto el eje central es una recta paralela a la resultante.
Concurre el hecho, también cierto (ver (A.6)) pero no directamente relacionado con lo anterior, de que el momento en esos puntos del eje central es paralelo a R, y por tanto al propio eje central. Así que la resultante, el momento mínimo y el eje central, son paralelos.
Si el momento mínimo es nulo, caso particular que hasta ahora no hemos mencionado, se mantiene el hecho de que el eje central es paralelo a la resultante (el razonamiento que con- dujo a esa conclusión no se vé afectado). La particularidad de estos sistemas es que su momento respecto de cualquier punto siempre es perpendicular a la resultante. Hay dos
Figura A7: a) Vectores momento respecto de algunos puntos del espacio. b) La proyección sobre la resultante es constante.
R
M
O3M
O2M
O1M
O*O1
M
O3M
O2M
O1O2
O3
a)
b)
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casos destacados, que son del mayor interés en este curso, en los que se puede garantizar que el momento mínimo es nulo. Son los siguientes:
– Sistemas de vectores paralelos . Llamando n a un vector unitario en la dirección de los vectores, el momento de cada vector respecto de un punto será perpendicular a n, y por lo tanto a la resultante (que evidentemente tendrá la dirección n). El momento M del sistema es la suma de los momentos de cada vector, que seguirá siendo per- pendicular a n (y por tanto a R). Por tanto M·R será nulo, luego el momento mínimo es nulo.
– Sistemas de vectores coplanarios . Llamemos ahora n a un vector perpendicular al plano de los vectores, y sea O un punto de ese plano. El momento de cada vector respecto de O será perpendicular al plano, luego tendrá la dirección de n. El momento MO del sistema, que es la suma de ellos, también tendrá la dirección n. La resultante R estará evidentemente contenida en el plano, luego será perpendicular a n. Por tanto MO ·R será nulo, luego el momento mínimo es nulo.
Equivalencia y Reducción de sistemas de vectores deslizantes
Decimos que dos sistemas de vectores deslizantes son iguales si contienen los mismos vec- tores deslizantes. Esta definición no va a ser de mucha utilidad práctica.
Decimos que dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si generan el mismo campo de momentos. Llamamos reducción de un sistema de vectores deslizantes, a otro sistema de vectores que sea equivalente, y nos resulte más sencillo de manejar para un pro- pósito determinado. A la vista de la ecuación del campo de momentos, la condición (necesa- ria y suficiente) para que dos sistemas sean equivalentes es que tengan la misma resul- tante, y el mismo momento respecto de un punto. La clasificación siguiente identifica las reducciones más habituales en cada situación:
R 0 (resultante no nula)
R·MO 0 (momento mínimo no nulo)
Sistema más general. La reducción más sencilla es la resultante R aplicada en un punto O (del eje central o no), y un par de momento MO (el par puede estar situado en cualquier lugar, pero debe producir el momento MO).
R·MO= 0 (momento mínimo nulo)
La reducción más sencilla es la resultante R aplicada en un punto del eje central.
R=0 (resultante nula) El campo de momentos será uniforme. M 0 (momento mínimo no nulo)
La reducción más sencilla es un par cualquiera que proporcione un momento de valor M.
M = 0 (momento mínimo nulo)
Nota.- Con cierto abuso de lenguaje, es frecuente referirse a un par, o a cualquier subsis- tema de vectores que tenga resultante nula y momento no nulo, como “un momento”. Y para abreviar, en ocasiones damos directamente el vector momento sin especificar qué vectores lo producen. Entendiendo el momento en este sentido, como un subsistema de vectores de resultante nula, éste genera un campo uniforme de momentos (con el valor del propio momento), y por tanto es indiferente el punto del espacio donde lo posicionemos. Por tanto, si estamos interesados solamente en el campo de momentos, como puede ser el caso en problemas de equilibrio de sólidos, es conveniente considerar al vector momento como un vector libre.