Cuando Clifford Geertz (1994) dice que hay que empezar a pensar sobre la manera como pensamos, sugiere una actitud de reflexión crítica similar a la apuntada por Edgar Morin (2000) en La mente bien ordenada. En el entorno escolar y en el aula de matemáticas, es fundamental pensar sobre la manera como pensamos. Para ello, conviene ver el pensamiento crítico como el prin- cipio activo que engloba a todos los demás. Las tareas de manipulación, de juego y de atención a la diversidad han de desarrollarse de modo que activen procesos de pensamiento crítico y, a su vez, este pensamiento habrá de facili- tarse en base al desarrollo de algunas de estas tareas o de todas ellas. Sin embargo, incluso cuando estos procesos de pensamiento incluyan aspectos de manipulación, juego y atención a la diversidad, no serán completos si se des- arrollan en el ámbito exclusivo de las matemáticas sin incorporar contextos cercanos de la vida cotidiana, o bien contextos proporcionados por otras mate- rias escolares.
La mayoría de tareas matemáticas se centran en los conocimientos sobre las matemáticas y no en los conocimientos sobre el mundo. Una de las con- secuencias de este enfoque es que se piensa sin contextualizar —ya sea mani- pulando, jugando y/o atendiendo a la diversidad—, llegándose a penalizar en algunas ocasiones a quien piensa contextualizando. Sin embargo, no hay confrontación entre unos y otros conocimientos, aunque a menudo se plan- tee de este modo en el entorno escolar. Para trabajar bien las matemáticas han
de trabajarse bien los conocimientos de los mundos físico y social; muchos de ellos ayudan a anticipar el desarrollo de los procesos de pensamiento y, des- pués, contribuyen a validarlos. Cuando alguien piensa matemáticamente, debería apelar a multitud de conocimientos construidos a lo largo de su experiencia. Cualquier respuesta o resolución en matemáticas debería surgir de integrar procesos de inferencia basados en conocimientos de ámbitos dis- tintos.
Si bien es cierto que en algunos contextos y ocasiones puede resultar con- veniente presentar las matemáticas como una materia distinguible de las otras, en general esta conveniencia se debe a requerimientos de tipo institu- cional —elaboración de un currículo «de» matemáticas, identificación del colectivo de profesores «de» matemáticas, etc.— y no tanto a cuestiones sobre la enseñanza y el aprendizaje en el aula. El hecho de plantear las matemáticas como un objeto de enseñanza y aprendizaje ha de tener consecuencias desde el punto de vista del trato dado a la disciplina. No es lo mismo situar el con- cepto de fracción en una listado —subjetivo— de los cien conceptos clave en matemáticas, que pensar en cómo enseñar este concepto. Para la primera acti- vidad, basta con pensar la matemática como una disciplina razonablemente estable y delimitada. Para la segunda actividad, sin embargo, conviene pensar en qué otras disciplinas y conocimientos del mundo tiene sentido pensar el concepto fracción.
El entorno escolar requiere que la práctica matemática sea complementa- da con conocimientos del mundo para así poder mejorar la comprensión de nociones y procedimientos implicados. El hecho de que los conocimientos sobre el mundo deban ser considerados para dar sentido a la práctica mate- mática, no impide que conocimientos especializados sobre las matemáticas interactúen con los primeros para desarrollar una comprensión más madura de lo que se observa y experimenta. Del mismo modo, tampoco debe obviar- se el conocimiento del mundo en la práctica matemática, ni debería obviarse el conocimiento matemático en las acciones y decisiones del día a día.
Como decíamos, en ciertas ocasiones, incorporar el conocimiento del mun - do en la práctica matemática puede ser un elemento distorsionador. Muchos de los teoremas matemáticos han sido enunciados y demostrados sin referen- cias directas a objetos del mundo. En este libro, sin embargo, no hablamos de la matemática de los matemáticos profesionales, sino de una educación mate- mática para la ciudadanía. Para el ciudadano, la matemática debe ser primero un recurso imprescindible de comprensión e interpretación del mundo, y sólo en los casos de algunos ciudadanos adultos, un espacio de construcción de teoremas y modelos. Con ello no sugerimos que deba abandonarse el apren- dizaje matemático de estructuras básicas puesto que estas estructuras han de verse como elementos mediadores en la comprensión del mundo. Las mate- máticas son algo más que secuencias de razonamientos inferenciales elabora- das en base a un discurso especializado. Deberían interpretarse como un
recurso para comprender distintos acontecimientos y, en definitiva, como una fuente de conocimiento del mundo.
En otras partes del libro, hemos dado ejemplos de problemas situados en contextos desconocidos para quien debía resolverlos. La anécdota que conta- ba Paulus Gerdes y de la que ya hemos hablado, sobre las escaleras mecánicas en libros de texto de matemáticas de Mozambique, pone de relieve las difi- cultades en el uso del contexto. No siempre se dispone de conocimientos sobre el mundo y sobre otras materias que permitan disponer de la información necesaria para interpretar el contexto dado por el enunciado de un problema. La ausencia de conocimientos no matemáticos puede llegar a ser un auténtico obstáculo en la resolución de problemas matemáticos. Los jóvenes de Mozam- bique, por ejemplo, no habían visto nunca una escalera mecánica —conoci- mientos del mundo—. En el caso del problema de los productos light, también comentado en este libro, la confusión entre los conceptos de grasas, azúcares y calorías —conocimientos de ciencias— deviene una gran dificultad que impide pensar correctamente la definición de light. En realidad, muchas difi- cultades en el rendimiento matemático pueden explicarse en términos de défi- cit o de falta de actualización respecto a conocimientos no matemáticos.
Al problema de pensar sin contextualizar hay que añadir el problema de pensar sin globalizar. La creciente especialización del conocimiento ha gene- rado las condiciones para la emergencia de nuevas formas de relación entre las matemáticas y los mundos físico y social. Esta relación es importante no sólo desde el punto de vista del aprendiz, sino también desde la dinámica de construcción dentro de la propia disciplina matemática. El conocimiento sobre las matemáticas no puede desvincularse del conocimiento sobre otras materias, del mismo modo que no debería separarse del conocimiento sobre el mundo. A pesar de ello, en el entorno escolar cada vez es más habitual tra- tar temas específicos dentro de los límites de una disciplina, sin relacionar- los con conocimientos de otras disciplinas. Una actividad matemática basa- da en el pensamiento crítico, la manipulación, el juego o la atención a la diversidad debería incorporar en cierta medida referencias a otras áreas dis- ciplinares.
En general, el pensamiento crítico, la manipulación, el juego y la atención a la diversidad han de gestionarse de manera que integren conocimientos matemáticos, cotidianos, junto con otros de tipo académico no matemáticos. Esta demanda es muy compleja, por lo que bastará con introducir unos pocos conocimientos no matemáticos de forma explícita y justificar su conexión con la tarea matemática. Llegar a ser conscientes del carácter globalizador del conocimiento pasa por poner en práctica enfoques multidisciplinares, inter- disciplinares y transdisciplinares en el trabajo de cualquier propuesta de aula. Las actividades del capítulo 1, por ejemplo, pueden mirarse como pequeños proyectos de aula que deben facilitar aproximaciones a este triple enfoque que, según Morin (2002), es el que lleva al conocimiento auténtico.
Cuando usamos los términos multi/inter/transdisciplinar estamos recu - rriendo a una forma de organización de los contenidos del conocimiento basa- da en lo disciplinario. Naturalmente, esta forma de organización es bastante discutible e incluso confusa. Ya hemos comentado que no está claro hasta dónde llega cada disciplina. Por otra parte, el énfasis en lo disciplinario sugie- re que el acceso a los contenidos debe hacerse desde las disciplinas, de modo que debe ser guiado por los expertos correspondientes. En un libro de «mate- mática inclusiva», este supuesto resultaría sorprendente por su carácter exclu- yente. Para nosotros, lo relevante no son las disciplinas sino las posibilidades de relacionarlas y de ir más allá de ellas tomando las matemáticas como punto de partida. El aislamiento del conocimiento matemático respecto a otros tipos de conocimiento, lo unidisciplinar, no permite responder los interrogantes del mundo por lo que la especialización matemática aparece como necesaria pero no suficiente.
Para muchos educadores matemáticos, la práctica unidisciplinar ha sido bastante frecuente, no solo en el aula sino también en sus entornos cotidianos y en sus formas de interpretar el mundo. Recientemente, asistimos a una reunión con otros profesores de matemáticas convocada en casa de uno de ellos. El anfitrión nos condujo al despacho de su casa, donde había un póster de Albert Einstein colgado en la pared. Uno de los profesores del grupo excla- mó: «¡Claro! Tú no eres matemático, ¿verdad? ¿Estudiaste Físicas?». El anfi- trión sonrió mientras explicaba en qué universidad había estudiado lo que él denominó Ciencias Exactas. Es sólo una anécdota, pero revela hasta qué punto la percepción por separado de las disciplinas puede llevar a pensar que el pós- ter de un físico lo escoge un físico y no un matemático.
En el caso del aula, las formas de trabajo asociadas a un enfoque unidisci- plinario se caracterizan por la precisión de objetivos de aprendizaje muy con- cretos establecidos de antemano. Se puede ser unidisciplinar, por ejemplo, al resolver una ecuación de primer grado. Sin embargo, es difícil mantener este enfoque con otras clases de tareas. En el Capítulo 1, el problema en torno a los productos light es un buen ejemplo de la insuficiencia del conocimiento sobre las matemáticas. La comprensión de lo que significa light en la sociedad actual, junto con la relevancia de este término en la explicación de muchos compor- tamientos, forma parte de la complejidad del conocimiento matemático situa- do en el enunciado de este problema. Por otra parte, al tratarse de un proble- ma con un enunciado suficientemente abierto («¿cuándo decimos que un producto es light?»), pueden necesitarse distintos conocimientos en función de las preguntas que se formulen para interpretar la cuestión planteada.
Ser capaz de globalizar es ser capaz de interpretar y resolver un problema por medio de la integración de experiencias y conocimientos. En el caso de los productos light, el desconocimiento de cuestiones de biología para interpretar correctamente la información nutricional de los envases puede originar importantes dificultades en el proceso de resolución matemática del proble-
ma. Aquí, todos los conocimientos tienen el mismo valor en cuanto a su importancia en el proceso de resolución del problema —saber aplicar una regla de tres entre porcentajes es tan necesario como saber distinguir kilocalo- rías de kilojulios—. Lo mismo ocurre con el uso de las regletas en el Capítulo 2 o con el juego «¿Quién tiene?... Yo tengo» del Capítulo 3: ser capaz de asociar una multiplicación a un rectángulo o a un cuadrado, y no exclusivamente a una operación escrita, o relacionar el contenido de unos recipientes determi- nados con la compra semanal en el supermercado deberían ser prácticas habi- tuales que permitirían evidenciar esta capacidad de globalizar en la que que- remos incidir. En lo que respecta a los objetivos de enseñanza, aprendizaje y evaluación, puede decidirse no considerar todos los conocimientos por igual pero, aún así, todos son necesarios para avanzar en la tarea.
Los problemas matemáticos basados en enunciados con contextos de la vida real, facilitan que el aprendiz proyecte experiencias propias acerca de la situación o problemática que se quiere interpretar y resolver. Desde esta pers- pectiva, la resolución completa de un problema es el resultado de un proceso participativo de varias personas con experiencias relacionadas con el proble- ma. Dejar a alguien fuera del proceso de resolución significa perder oportuni- dades de profundizar en la interpretación del problema. De acuerdo con esto, los comportamientos inclusivos son adecuados para las relaciones dentro de un grupo, pero también para los avances dentro de la propia actividad mate- mática. La socialización de la práctica matemática permite ver su complejidad y relacionarla con otras prácticas cotidianas y/o disciplinarias. Uno de los objetivos de este libro es precisamente facilitar la mirada a lo matemático en tanto que proceso social, que se construye desde la interacción entre conoci- mientos y personas.
Para fomentar esta interacción, a lo largo del libro hemos propuesto for- mas de reconstruir la relación de las personas con las matemáticas a través de diversos principios fundamentales de la educación matemática: el pensa- miento crítico, la manipulación de materiales, el juego y la atención de la diversidad. Una educación matemática basada en estos principios tiene que destacar, a su vez, los principios más generales de contextualización en los lugares donde se llevan a cabo las prácticas; globalización de los grupos de conocimiento implicados; y personalización de los contenidos matemáticos en función de la especificidad de cada persona. A continuación consideramos unos y otros principios por medio del trabajo por proyectos y por competen- cias matemáticas.