Data analysis

Para resolver este problema primero calculamos la probabilidad de que halla exactamente r em- parejamientos y que estos ocurran exactamente en los primeros r lugares. Esto pasa solo si en los (n − r) lugares restantes no hay ning´un emparejamiento. La probabilidad de que no halla ning´un emparejamiento entre j objetos aleatoriamente permutados es pj, por lo tanto, j!pj es el n´umero

de formas en que j objetos pueden ser permutados entre ellos sin que halla emparejamiento alguno. (¿Porqu´e?) ya que solo hay una manera de tener r emparejamientos en las primeras r posiciones, el n´umero de maneras en las cuales podemos tener exactamente r emparejamientos en las primeras r posiciones y ninguna coincidencia en las (n − r) posiciones restantes es (n − r)!pn−r. Por lo tanto

la probabilidad requerida es

αr=

(n − r)! n! pn−r.

La probabilidad de que halla exactamente r emparejamientos y que ellos ocurran en cualesquiera r posiciones espec´ıficas es la misma para todas las especificaciones, a saber, αr.

Para resolver el problema de que halla exactamente r emparejamientos, todo lo que se nece- sita hacer ahora es el observar que los eventos “exactamente r emparejamientos en las posiciones i1, . . . , ir” son disjuntos para las variadas elecciones de i1, . . . , ir. Tal n´umero de elecciones es n_r
.

Por lo tanto, la probabilidad requerida es n_r
αr. Por lo tanto, si βn(r) es la probabilidad de que

existan exactamente r emparejamientos entre n objetos permutados aleatoriamente, encontramos que (2.10) βn(r) = n!αr r!(n − r)! = n! r!(n − r)! (n − r)!pn−r n! = pn−r r! = r r!  1 − 1 + 1 2!+ · · · + (−1)n−r (n − r)!  .

Utilizando la aproximaci´on de que pn−r es aproximadamente e−1 (la cual es demasiado buena para

n − r moderadamente grande) encontramos que (2.11) βn(r) ≈

e−1 r! .

Como una ilustraci´on final de estas ideas, calcularemos la probabilidad de que halla un empare- jamiento en el j-´esimo lugar, dado que hubo exactamente r emparejamientos.

Para resolver este problema, sea Aj el evento en el cual ocurra un emparejamiento en el lugar j, y

sea Br el evento en el que exactamente r emparejamientos hallan ocurrido. La probabilidad deseada

es P (Aj|Br). De (2.10), P (Br) = pn−r/r!, por lo tanto necesitamos calcular P (Aj∩ Br). Ahora, el

evento Aj∩ Br ocurre si y solo si hay un emparejamiento en el j-´esimo lugar y exactamente (r − 1)

emparejamientos entre los restantes (n − 1) lugares. El n´umero de maneras en las cuales podemos tener exactamente (r − 1) emparejamientos en los restantes (n − 1) lugares es (n − 1)!βn−1(r − 1).

Por lo tanto P (Aj∩ Br) = (n − 1)!βn−1(r − 1) n! = pn−r (r − 1)!n Por lo tanto P (Aj|Br) = pn−r n(r − 1)! r! pn−r = r n.

2.7.

Problemas de ocupaci´on*

Una gran variedad de problemas probabil´ısticos combinatorios son equivalentes al problema de distribuir n bolas distintas en r cajas diferentes. Ya que cada una de las n bolas puede estar en

2.7. Problemas de ocupaci´on* 2. An´alisis Combinatorio

cualquiera de las r cajas, en total hay rn maneras distintas de distribuir las bolas en las cajas. Asumiendo que las bolas son distribuidas al azar en las cajas, cada una de estas rn maneras tiene probabilidad r−n. Por lo tanto, el espacio de probabilidad subyacente Ω tiene rn_{puntos igualmente}

probables. En los problemas que envuelven la distribuci´on de las bolas, impondremos varias condi- ciones en la ocupaci´on de las cajas y pediremos la probabilidad de que ocurra nuestra situaci´on estipulada. Considere el siguiente problema como primer ejemplo.

Si n bolas son distribuidas al azar en r cajas, ¿Cu´al es la probabilidad de que ninguna caja tenga mas de una bola?

Para resolver este problema debemos notar primero que la probabilidad requerida es 0 si n > r, por lo tanto asumamos que n ≤ r. Entonces (pensando en distribuir las bolas de una en una) la primer bola puede ir en cualquiera de las r cajas, la segunda en cualquiera de las restantes (r − 1), etc., luego, en total hay (r)n maneras distintas. La probabilidad requerida es entonces (r)n/rn.

Esta probabilidad es exactamente la misma que la de extraer una muestra de tama˜no n con reemplazo de una poblaci´on de r objetos y siendo todos los objetos de la muestra distintos. Tambi´en note que rn es el n´umero de muestras de tama˜no n de una poblaci´on de r objetos distintos. Esto no es un accidente. El efectuar muestreo aleatorio n veces con reemplazo es formalmente lo mismo que la distribuci´on aleatoria de n bolas en r cajas. Para ver esto solo piense en distribuir las bolas en las cajas como sigue. Primero tomamos una muestra aleatoria de tama˜no n de un conjunto de r objetos, y si el i-´esimo elemento de la muestra fue el j-´esimo objeto colocamos la bola i en la caja j.Algunas veces es conveniente el pensar de esta manera el muestreo aleatorio con reemplazo,i.e., como la distribuci´on aleatoria de bolas en cajas (vea el problema del cup´on al final del cap´ıtulo).

Considere la distribuci´on aleatoria de n bolas en r cajas. ¿Cu´al es la probabilidad de que una bola en espec´ıfico, digamos la bola j, se encuentre en una caja en espec´ıfico, digamos, la caja i?. Si la bola j est´a en la caja i entonces tenemos (n − 1) bolas m´as a distribuir en las r cajas sin restricci´on alguna sobre el lugar a donde vallan. La bola j puede ser puesta en las r cajas de rn−1 maneras. Por lo tanto la probabilidad requerida es rn−1/rn= r−1.

Traducido al lenguaje del muestreo aleatorio vemos que en una muestra aleatoria de tama˜no n extra´ıda con reemplazo de una poblaci´on de r objetos es igualmente probable que el j-´esimo elemento en la muestra sea cualquiera de los r objetos.

Las consideraciones anteriores se extienden f´acilmente de una caja en espec´ıfico a k cajas, 1 ≤ k ≤ r. Dejamos como ejercicio el probar que la probabilidad de que k bolas espec´ıficas se encuentren en k lugares espec´ıficos es justamente r−k.En el lenguaje del muestreo aleatorio esto dice que si una muestra de tama˜no n es extra´ıda con reemplazo de una poblaci´on de r objetos, entonces la probabilidad de que los elementos j1-´esimo, . . ., jk- ´esimo en la muestra sean k objetos prescritos

es r−k.

Sea Aj(i) el evento en le cual el j-´esimo elemento en la muestra sea el i-´esimo elemento. Luego,

hemos dicho que para cualquier elecci´on j1 < j2 < . . . < jk, 1 ≤ k ≤ n,de los elementos en la

muestra (i.e, bolas) y cualquier elecci´on i1, i2, . . . , ik de objetos (i.e., cajas),

P (Aj1(i1) ∩ Aj2(i2) ∩ · · · ∩ Ajk(ik)) = r

−k_.

Ya que P (Aj(i)) = r−1 para cualquier j e i, vemos que

(2.12) P (Aj1(i1) ∩ Aj2(i2) ∩ · · · ∩ Ajk(ik)) = P (Aj1(i1)) · · · P (Ajk(ik)).

ya que esto es cierto para toda k y para todas las elecciones de j1, . . . , jk, vemos que para cualesquiera

i1, i2, . . . , in los eventos A1(i1), . . . , An(in) son mutuamente independientes.

Si pensamos en extraer una muestra aleatoria de tama˜no n de un conjunto de r objetos distintos como una repetici´on de n veces del experimento de elegir un objeto al azar de un conjunto de r