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Ya que el periodo efectivo, Teff, y el amortiguamiento efectivo, βeff, son funciones de la demanda de ductilidad, el cálculo de un máximo desplazamiento usando la linearización equivalente no es directo y requiere un procedimiento de solución gráfico o iterativo. Este es el mismo como la situación previa con el Método del Espectro de Capacidad del ATC-40. Sólo se presentarán tres procedimientos alternativos, del resto que son posibles.

Los procedimientos que se presentarán requieren los pasos iniciales listados a continuación: 1. Seleccionar una representación espectral de interés del movimiento del suelo con un amortiguamiento inicial, βi (normalmente al 5%). Este puede ser un espectro del ATC-40, FEMA 456, cualquier norma sísmica, un espectro determinístico de un sitio en específico, o un espectro probabilístico de igual peligro.

2. Modificar el espectro seleccionado, para considerar la interacción suelo-estructura (soil- structure interaction, SSI). Esto considerará la reducción potencial en las ordenadas espectrales

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para la interacción cinemática y una modificación en el amortiguamiento del sistema, desde un valor inicial βi hasta β0, para tomar en cuenta el amortiguamiento en la cimentación. Si el amortiguamiento en la cimentación es ignorado, entonces β0 es igual a βi.

Figura 4-22: Demanda inicial ADRS y espectro de capacidad.

Figura 4-23: Representación bilineal del espectro de capacidad.

3. Convertir el espectro seleccionado, modificado por la interacción suelo-estructura, a un formato de respuesta espectral aceleración-desplazamiento, en conformidad con las guías del ATC-40. Este espectro será la demanda inicial ADRS (Figura 4-22).

4. Generar una curva de capacidad para la estructura a ser analizada. Esta es una relación fundamental para un modelo SDOF de la estructura entre la aceleración espectral y el desplazamiento espectral (Figura 4-22). Se debe notar que el procedimiento del FEMA 356 resulta en una relación entre la cortante en la base y el desplazamiento en el techo. Este requiere una conversión al formato ADRS para usar el procedimiento de linearización equivalente.

5. Seleccionar un punto de desempeño inicial (aceleración máxima, api, y desplazamiento, dpi). Esto puede estar basado en una aproximación de igual desplazamiento como se muestra en la Figura 4-22 o algún otro punto basado en el juicio ingenieril.

6. Desarrollar una representación bilineal del espectro de capacidad, en concordancia con los procedimientos del ATC-40. Esto definirá el periodo inicial, T0, desplazamiento de fluencia, dy, y la aceleración de fluencia, ay (ver Figura 4-23). Notar que estos parámetros pueden varias para diferentes hipótesis de api y dpi.

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7. Para la representación bilineal desarrollada en el paso 6, calcular los valores de la rigidez post-elástica, α, y de la ductilidad, µ, como sigue:

8. Usando los valores calculados para la rigidez post-elástica, α, y la ductilidad, µ, del paso 7, calcular el correspondiente amortiguamiento efectivo, βeff (sección 4.4.1.1). Similarmente calcular el correspondiente periodo efectivo, Teff (sección 4.4.1.2).

Luego de estos en el procedimiento, un número de opciones están disponibles para identificar una sola solución. Tres posibles procedimientos serán desarrollados a continuación.

4.4.3.1. Procedimiento A (Iteración Directa)

En este procedimiento, la iteración es realizada para que converja directamente sobre un punto de desempeño. La demanda espectral ADRS generada por varios valores del amortiguamiento efectivo, no son modificados para intersectar la curva de capacidad.

A9. Usando el amortiguamiento efectivo del paso 8, se ajusta el ADRS inicial al βeff (sección 4.4.2).

A10. Determinar el desplazamiento máximo estimado, di, usando la intersección del periodo efectivo radial, Teff, con el ADRS para el βeff. La aceleración máxima estimada, ai, es aquel que corresponde a di en la curva de capacidad (Figura 4-24).

A11. Comparar el desplazamiento máximo esperado con la hipótesis inicial (o la previa). Si está dentro de una tolerancia aceptable, el punto de desempeño corresponde a ai y di. Si no está dentro de una tolerancia aceptable, entonces se repite el proceso desde el paso 5 usando ai y di, o alguna otra hipótesis seleccionada como punto de inicio (ver la sección 4.4.5).

4.4.3.2. Procedimiento B (Intersección con la MADRS)

En este procedimiento, el punto de desempeño es definido como la intersección del espectro de capacidad con el ADRS modificado (MADRS). La demanda espectral MADRS es generada modificando el ADRS por los varios valores del amortiguamiento efectivo, como se esquematiza en la sección 4.4.1.3.

B9. Usando el amortiguamiento efectivo determinado en el paso 8, se ajusta el ADRS inicial al βeff (sección 4.4.2).

B10. Multiplicar sólo las ordenadas de aceleraciones (no los desplazamientos) del ADRS para βeff, por el facto de modificación, M, determinado usando el periodo efectivo calculado, Teff, de acuerdo con la sección 4.4.1.3, para generar el espectro de respuesta aceleración- desplazamiento modificado (MADRS).

B11. Determinar la estimación de la aceleración máxima, ai, y el desplazamiento, di, como la intersección de la MADRS con la curva de capacidad (Figura 4-25).

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Figura 4-24: Determinación del desplazamiento máximo estimado usando iteración directa (Procedimiento (a).

Figura 4-25: Determinación del desplazamiento máximo estimado usando la intersección de la curva de capacidad con la MADRS (Procedimiento (b).

B12. Comparar el máximo desplazamiento estimado, di, con la hipótesis inicial (o la previa), dpi. Si está dentro de una tolerancia aceptable, el punto de desempeño corresponde a ai y di. Si no está dentro de una tolerancia aceptable, entonces se repite el proceso desde el paso 5, usando ai y di, o alguna otra hipótesis seleccionada (ver sección 4.4.5), como un punto inicial.

4.4.3.3. Procedimiento C (MADRS lugar de posibles Puntos de Desempeño)

Este enfoque usa el espectro de respuesta de la aceleración modificada para múltiples soluciones asumidas (api y dpi) y las correspondientes ductilidades para generar un lugar de posibles puntos de desempeño. El actual punto de desempeño es localizado en la intersección de este lugar y el espectro de capacidad.

C9. Usando el amortiguamiento efectivo determinado en el paso 8, ajustar el ADRS inicial al βeff (sección 4.4.2).

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Figura 4-26: Lugar de posibles puntos de desempeño usando MADRS (Procedimiento (c).

C10. Multiplicar las ordenadas de aceleración del ADRS para βeff por el factor de modificación M, determinado usando el periodo efectivo calculado, Teff, de acuerdo con la sección 4.4.1.3, para generar el espectro de respuesta aceleración-desplazamiento modificado (MADRS).

C11. Un posible punto de desempeño es generado por la intersección del periodo secante radial, Tsec, con la MADRS (Figura 4-26).

C12. Incrementar o disminuir el punto de desempeño asumido y repetir el proceso para generar una serie de posibles puntos de desempeño.

C13. El actual punto de desempeño es definido por la intersección del lugar de puntos del paso 12 y el espectro de capacidad.

Se debe notar que el procedimiento C es propicio para un proceso automático donde la solución inicial se asume que corresponde a una ductilidad de 1.0 y los subsecuentes procesos se establecen como ductilidades gradualmente mayores (ejemplo 2, 3, 4, …).