Leonhard Euler
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y falleció el 18 de septiembre 1783 en San Petersburgo, Rusia.
7.1 Teoremas sobre funciones continuas
7.1.1 Teorema 1: Álgebra de funciones continuas
Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:
i. (f + g) es continua en x = a. (La suma de funciones continuas es una función continua.)
ii. (f − g) es continua en x = a. (La diferencia de funciones continuas es una función continua.)
iii. (f ⋅ g) es continua en x = a. (El producto de funciones continuas es una función continua.)
iv. gf
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ es continua en x = a, si g (a) ≠0. (El cociente de dos funciones conti-
nuas es una función continua.)
Consecuencias
CC1: La función polinómica es continua en todo punto del eje real
En efecto, sea 1
1 1 0
( ) n n ....
n n n
P x =a x +a −x − + +a x+a una función polinómica
de grado n y sea a un punto cualquiera del eje real. Al aplicar sucesivamente el teorema 1 en sus partes i e iii se obtiene que:
1 1 1 0 lim ( ) n n .... ( ), n n n n x aP x a a a a a a a P a − −
→ = + + + + = y de aquí, P xn( )es una fun- ción continua en todo punto del eje real.
CC2: Toda función racional es continua en los puntos que no anulen el deno- minador de la función
Demostración: aplicar el teorema 1.
7.1.2 Teorema 2: Límite de la función compuesta
Sean f y g dos funciones tales que f es continua en b y lim ( )x→ag x =b. Entonces,
(
)
lim( )( ) lim ( ( )) lim ( ) ( ).
x→a f Dg x =x→a f g x = f x→ag x = f b
Consecuencias CC3
Si lim ( ) , entonces limn ( ) nlim ( ) n .
x→a f x =b x→a f x = x→a f x = b
Cuando n sea par, se debe cumplir además que b>0.
Vea el módulo 7 del programa de televisión Elementos Básicos de Cálculo
CC4
Si lim ( ) , entonces lim ( ) lim ( ) .
x→a f x =b x→a f x = x→a f x = b
Las consecuencias CC3 y CC4 se expresan respectivamente en palabras de la si- guiente manera: «El límite de la raíz n-sima es la raíz n-sima del límite» y «El límite del valor absoluto es el valor absoluto del límite».
CC5: Continuidad de la función compuesta
Si g es continua en a, y f es continua en g(a), entonces (f Dg x)( )= f g x( ( ))es continua en a.
Ejemplo 1
En este ejemplo se quiere dar respuesta a la primera pregunta básica. Es decir, ¿si (f + g) (x) es continua en x = a, entonces f (x) y g(x) son continuas en x = a? Solución
La implicación formulada es falsa. En efecto, sean
1 si 0 ( ) 0 si 0 1 si 0 x x f x x x x + < ⎧ ⎪ =⎨ = ⎪ − > ⎩ 1 si 0 ( ) 0 si 0 1 si 0 x g x x x − < ⎧ ⎪ =⎨ = ⎪ > ⎩
cuyas gráficas aparecen en la figura 7.1.
Leonhard Euler
A una edad temprana, Leonhard Euler fue enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atención de Jean Bernoulli. A los 17 años de edad obtuvo un doctorado y a los 19 envió dos disertaciones a la Academia de París, una sobre arboladura de barcos y la otra sobre la filosofía del sonido. Euler partió en 1727, año de la muerte de Newton, a San Petersburgo, para reunirse con su amigo Bernoulli, que le había precedido allí algunos años antes. Hacia los 30 años de edad fue honrado por la Academia de París por su trabajo para resolver problemas relevantes sobre los movimientos de los cuerpos celestes. En Berlín, Euler intimó con Moreau de Maupertuis, presidente de la Academia, un francés de Bretaña, que favorecía especialmente la filosofía newtoniana, de preferencia a la cartesiana. Su influencia fue importante, puesto que la ejerció en una época en que la opinión continental aún dudaba en aceptar las opiniones de Newton. Maupertuis impresionó mucho a Euler con su principio favorito del mínimo esfuerzo, que Euler empleaba con buenos resultados en sus problemas mecánicos. En 1766 Euler volvió a San Petersburgo, para pasar allí el resto de sus días. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió al hombre ciego y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos. Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.
Figura 7.1
Puede demostrarse fácilmente que f (x) y g (x) son discontinuas en x = 0 (verifíque- lo). Sin embargo,
( 1) 1 si 0 ( )( ) 0 si 0 ( 1) 1 si 0 x x f g x x x x + − < ⎧ ⎪ + =⎨ = ⎪ − + > ⎩ Esto es, si 0 ( )( ) 0 si 0 si 0 x x f g x x x x < ⎧ ⎪ + =⎨ = ⎪ > ⎩
o simplemente (f + g) (x) = x es la función identidad, cuya gráfica aparece en la figura 7.2 y es continua en x = 0.
Figura 7.2
Igualmente, la implicación formulada en la pregunta 2 también es falsa. Se pide al lector la verificación de la misma, construyendo dos funciones f y g tales que f · g
Diderot y Euler
Denis Diderot fue un filósofo francés muy popular en el siglo XVIII. Una de sus acciones más destacadas fue hacer una enciclopedia junto con un importante equipo de colaboradores, llamada Encyclopédie, ou dictionnaire
raisonné des sciences, des arts, et des métiers. A pesar
de no ser experto en esta materia, Diderot escribía en ella bastante bien sobre temas de matemática.
Leonard Euler, otro matemático importante de la época, fue invitado a colaborar como científico en la corte de la reina Catalina II de Rusia, y así estuvo durante mucho tiempo en San Petersburgo. Diderot también fue invitado por la reina, pero la relación entre ellos se tornó tensa, por lo que tuvo que intervenir Euler. Éste, en una muestra de agradecimiento a la reina, y sabiendo que los conocimientos matemáticos de Diderot no eran bien fundamentados, se ofreció a deshacerse de aquél de una manera diplomática. Euler se encargó de que llegara a los oídos de Diderot que él poseía una demostración matemática de la existencia de Dios. Dada la rígida postura de su ateísmo y su fama como intelectual, Diderot se encargó de que Euler supiera que él estaba dispuesto a enfrentar la demostración delante de la corte, y en su caso, refutarla. El plan resultó tal y como Euler lo deseaba. En una ceremonia, Euler se dirigió a Diderot y le replicó con una gran parsimonia: «Señor: a + b a la n entre n es igual a x (a su vez escribía una fórmula que decía: a + bn/n = x). Por tanto, Dios existe.
La falta de conocimientos matemáticos de Diderot no le permitieron hacer alguna objeción. A los pocos días, humillado, el filósofo francés pidió permiso a Su Majestad para regresar a Francia.
Introducción
En el módulo 7 se estableció la continuidad de una función en un punto particular de su dominio. El concepto puede extenderse de manera natural para todos los puntos de un intervalo de la recta real.
Objetivos del módulo
1. Extender el concepto de continuidad puntual al caso de un intervalo de la recta real.
Preguntas básicas
Supóngase que g es continua en [a, b], h es continua en [b, c] y g(b) = h(b). Sea f (x) = g(x) para todo x ∈[a, b] y f(x) = h(x) para todo x ∈[b, c]. ¿Es f continua en [a, c]? Es decir, ¿pueden «soldarse» las funciones continuas? Analice su respuesta gráficamente.
Contenidos del módulo
8.1 Continuidad en un intervalo abierto 8.2 Continuidad en un intervalo cerrado