Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plan- tearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII, por obra de Newton y Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas, hay dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos), que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo dife- rencial.
El problema de la tangente a una curva fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, este matemático hizo el estudio de los diámetros conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de una hipérbola de centro C, Apolonio demuestra que la tangente en P corta las asíntotas en los puntos L y L ′que equidistan de P (figura 9.1a).
Figura 9.1
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Pierre de Fermat
Pierre de Fermat estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrolló, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas. Diseñó así mismo un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica, amén de trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad. Otro campo en el que realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto. Desarrolló también un ingenio-so método de demostración que denominó «del descenso infinito». Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (sólo publicó una obra científica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra.
En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (figura 9.1b), Apolonio traza la perpendicular QN desde el punto Q al eje AA',y halla el conjugado armónico T de
N con respecto a A yA'. Es decir, el punto T de la recta AA' es tal que
' '
AT AN A T = NA ,
o equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA'en la misma razón en que N divide internamente a AA'. Entonces, la recta que pasa por T y Q será tangente a la elipse.
Igualmente, en el libro Cónicas (V.8), Apolonio demuestra un teorema relativo a la normal a una parábola, que podría formar parte actualmente de un curso completo de cálculo diferencial.
En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601-1665) quien, en 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están rela- cionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el más importante de ellos, titulado «Methodus ad disquirendam maximan et miniman» (Métodos para hallar máximos y mínimos), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x) toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero en una «cumbre» o en el fondo de un «valle» de una curva lisa la diferencia es casi imperceptible. Por tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máxi- mos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son «casi iguales». Cuanto más pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, más cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver ya, en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente a calcular 0 ( ) ( ) lim E f x E f x E → + −
e igualar este límite a cero.
Esta fue la razón que asistió a Laplace a aclamar a Fermat como el verdadero descu- bridor del cálculo diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton, 1642-1727, nacido en Woolstharpe, Inglaterra) y a Leibniz (Gottgried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, nacido en Leipzig, Alemania) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales.
Newton tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era más sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) o y, él lo llamaba «cantidades fluentes», y la derivada, D f (x), era llamaba «fluxión». Además, escribía y en lugar de D f (x). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: «Los momentos –las actuales diferenciales– dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben por tanto considerarse como magnitudes finitas nacientes». Frases tan confusas, que Newton debía entenderlas muy bien, pero que para otro que no fuera el inventor del método suenan bastante incomprensibles.
En 1669, Isaac Barrow (1630-1677) recibió de su alumno Isaac Newton un folleto titulado De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. Contenía, nada menos, que el esbozo casi completo del cálculo diferencial e integral. Aquel mismo año Barrow decidió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por tanto mucho más derecho a la cátedra de matemáticas, con más merecimientos que el propio Barrow, su titular. Con una generosidad y un desinterés difíciles de igualar, Barrow cedió su cátedra a Newton.
A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió los Principia mathematica, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás publi- cado. En él aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo, incluyendo los movimientos de la Tierra, la Luna y los planetas alrededor del Sol. Se dice que un estudiante observó: «Ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los demás comprenden».
Leibniz comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes. Sin embargo, la historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665-1666), pero que Leibniz las descubrió independientemente durante los años de 1673 a 1676.
Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres del cálculo diferencial y el cálculo integral, así como los símbolos dy
dx y
∫
para la derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término «función» y el uso del símbolo «=» para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad del simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra, de donde era oriundo Newton.