Para nalizar, trataremos de deducir la continuidad automática de las apli- caciones que preservan ceros comunes denidas entre espacios de funciones diferenciables. Por tanto, a lo largo de este apartado, vamos a suponer que
X e Y son subconjuntos abiertos de Rp y Rq, respectivamente, conp, q ∈N,
E y F serán espacios de Banach, A(X, E) = Cn(X, E) denotará el espacio
de las funciones denidas en X que toman valores enE cuyas derivadas par- ciales hasta el orden n existen y son continuas, y A(X) =Cn(X) para algún
n ∈ N, siendo Cn(X) := Cn(X,K) (respectivamente A(Y, F) = Cm(Y, F) y
A(Y) = Cm(Y)para algún m∈N).
A continuación, comprobaremos que, dado n∈N, se tiene queCn(X, E)
y Cn(X)satisfacen las propiedades dadas en la Sección 4.2.
1. Cn(X, E) contiene funciones que no se anulan en ningún punto de X.
2. Cn(X, E) es un módulo sobre Cn(X). Para probar esto, debemos ver
que, dadas f ∈Cn(X) y g ∈Cn(X, E), se tiene que f·g ∈Cn(X, E).
Sea α= (α1, α2, . . . , αp)∈(N∪ {0})p con|α|:=α1+α2+· · ·+αp ≤n.
Entonces, la derivada parcial
∂|α| (f·g)
∂xα1
1 ∂xα22· · ·∂x
αp
p (4.2)
se puede expresar en términos de sumas y productos de las propias funciones f y g, y de sus derivadas parciales hasta el orden |α|. Como estamos asumiendo que f ∈Cn(X)y g ∈Cn(X, E), se tiene que estas
últimas existen y además son continuas. Por tanto, podemos concluir que la derivada parcial dada en (4.2) también existe y es continua, y como esto es cierto para cualquier α∈(N∪ {0})p con |α| ≤n, se tiene
que f ·g ∈Cn(X, E).
3. Sean X un subconjunto abierto de Rp y x
0 un punto de X. Entonces,
si x0 = (x01, x02, . . . , xp0) ∈ X y e ∈ E \ {0}, no resulta complicado
comprobar que la función fx0 :X →E denida como
fx0(x) := ¡
|x1−x01|2+|x2−x02|2+· · ·+|xp−x0p|2
¢
·e
para cada x = (x1, x2, . . . , xp) ∈ X pertenece a Cn(X, E) y además
4. Para probar que Cn(X) es completamente regular, primero recordare-
mos el Corolario 1.2 dado en [75], en el que se arma que
Dados un subconjunto cerrado A y otro subconjunto abierto V de X
con A⊂V, existe una función ϕ∈C∞(X) tal que: (i) 0≤ϕ(x)≤1 para todo x∈X.
(ii) ϕ(x) = 1 para todo x∈A. (iii) ϕ(x) = 0 para todo x∈X\V.
Supongamos ahora quex0es un punto deXyCun subconjunto cerrado
de X tales que x0 ∈/ C. Entonces, puesto que C∞(X) ⊂ Cn(X) para
todon ∈N, si atendemos al resultado anterior, basta tomarA ={x0}
yV =B(x0, r) de manera queV ∩C =∅para deducir la existencia de
una funciónϕ∈Cn(X)tal queϕ(x0) = 1yϕ≡0enC, lo que implica
queCn(X) es completamente regular.
Por tanto, todos los resultados obtenidos a lo largo de este capítulo son válidos en este contexto. En particular, atendiendo al Corolario 4.4.8, pode- mos enunciar el siguiente resultado.
Corolario 4.5.3 Toda aplicación lineal y biyectivaT :Cn(X, E)→Cm(Y, F)
que preserva ceros comunes es biseparadora.
Para nalizar, dotaremos los espacios de funciones diferenciables de una topología que nos permita deducir que toda aplicación que preserva ceros comunes denida entre dichos espacios es continua.
Denición 4.5.4 Una topología localmente convexa en Cn(X, E) se dice
que es compatible con la convergencia puntual si se satisfacen las siguientes propiedades:
(i) Cn(X, E) con dicha topología es un espacio completo.
(ii) Si(fn)es una sucesión enCn(X, E)que converge a0, entonces(fn(x))
converge a 0 para todo x∈X.
A continuación, enunciaremos un resultado probado por J. Araujo en [5] que resultará determinante para lograr nuestro propósito.
4.5. Continuidad 145
Supongamos que Cn(X, E) y Cm(Y, F) están dotados con topologías com-
patibles con la convergencia puntual. Entonces toda aplicación biseparadora
T :Cn(X, E)→Cm(Y, F) es continua.
Como consecuencia de este resultado y del Corolario 4.5.3, es inmediato obtener el siguiente teorema.
Teorema 4.5.5 Sea T : Cn(X, E) → Cm(Y, F) una aplicación lineal y
biyectiva que preserva ceros comunes. Entonces, si Cn(X, E)y Cm(Y, F) es-
tán dotados con topologías compatibles con la convergencia puntual, se tiene que T es continua.
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