On-device Interaction and Head Movement

4.4. LEY DE LA RACIONALIDAD DE LOS PARÁMETROS Formulada por Haüy, dice: “Dichas caras cortan siempre a los ejes cristalográficos a distancias tales del srcen, que las relaciones entre los segmentos determinados por ellos sobre cada eje están representados por números (parámetros) racionales y generalmente simples”.

Esta ley limita el número de caras posibles en los cristales de cada sustancia, y la limitación es mayor todavía porque se ha encontrado en la práctica que los números que expresan esas relaciones no solamente son racionales, sino casi siempre, menores que seis.

4.4.1. Ejes cristalográficos 4.4.1. Ejes cristalográficos

En la descripción de los cristales resulta conveniente referir las formas externas o la simetría interna a una serie de tres (o cuatro) ejes de referencia. Estas líneas de referencia imaginarias, denominadasejesejes cristalográficos

cristalográficos, se toman paralelas a las aristas de intersección de las caras cristalinas principales. Además, las posiciones de los ejes cristalográficos vienen más o menos fijadas por la simetría de los cristales, pues en la mayor parte de los cristales nos encontramos que coinciden con los ejes de simetría o con las normales a los planos de simetría. Para algunos cristales puede haber más de una posibilidad de ejes cristalográficos cuando la selección se hace sólo por la morfología. En el caso ideal deben ser paralelos y sus longitudes proporcionales a las aristas de la celda unidad.

En resumen (ver Fig. 4.6) los seis sistemas cristalinos están referidos a las siguientes direcciones axiales y ángulos axiales:

Triclínico:

Triclínico: Tres ejes desiguales que se cortan todos según ángulos oblicuos.

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Monoclínico:

Monoclínico: Tres ejes desiguales, dos de los cuales forman entre sí un ángulo oblicuo, siendo el tercero perpendicular al plano de los otros dos.

Ortorrómbico:

Ortorrómbico: Tres ejes mutuamente perpendiculares, todos ellos de diferente longitud.

Tetragonal:

Tetragonal: Tres ejes mutuamente perpendiculares, dos de los cuales (los ejes horizontales) son de igual longitud (a1y a2), pero el eje vertical es más corto o más largo que los otros.

Hexagonal:

Hexagonal: Cuatro ejes cristalográficos; tres ejes horizontales iguales (a1,a2y a3) se cortan bajo ángulos de 120º; el cuarto (vertical) es de longitud diferente y perpendicular al plano de los otros tres.

Isométrico:

Isométrico: Tres ejes mutuamente perpendiculares de longitudes iguales (a1, a2y a3).

a)

a) Relaciones Relaciones axiales.-axiales.- En todos los sistemas cristalinos, con la excepción del isométrico, existen ejes cristalográficos de longitud diferente entre sí. Se fuese posible aislar una celda unidad y medir cuidadosamente las dimensiones de las aristas, paralelas a los ejes cristalográficos, estaríamos en situación de hallar inmediatamente las relaciones existentes entre la longitud de cada arista. En cristalografía, empleando los rayos X, no puede aislar la celda elemental, pero sí puede medir con exactitud las dimensiones de la misma en unidades angstrom (1 Å = 10-8

cm). Así, para el mineral ortorrómbico azufre, las dimensiones de la celda son: a = 10,47 Å, b = 12,87 Å y c = 24,49 Å (Fig.4.4). Haciendo el valor de b igual a la unidad se puede determinar el tamaño de a y b relativo. Así, a/b : b/b : c/b = X : 1 : Y. En el caso del azufre resulta la relación a : b : c = 0,813 : 1 : 1,903. Estas relaciones expresan así las longitudes relativas, no las absolutas, de las aristas de la celda unidad que corresponden a los ejes cristalográficos.

Figura 4.4. Celda unitaria ortorrómbica del azufre.

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b)

b) Intersección Intersección de de las las caras.-caras.- Las caras del cristal se definen mediante su intersección en los ejes cristalográficos. Así, al describir una cara de un cristal es necesario determinar si es paralela a dos ejes y corte al tercero, o si es paralelo a un eje y corta a los otros dos, o bien, si corta a los tres. Además, debe determinarse a qué distanciarelativarelativa corta la cara a los diferentes ejes. Al definir la posición de una cara de un cristal debe recordarse que estas caras son paralelas a una familia de posibles planos reticulares. En la Fig. 4.5 tenemos un plano a-b en una red ortorrómbica basada en las dimensiones de la celda unitaria del mineral azufre.

El plano reticular AA es paralelo a los ejesbycy corta al eje“a”a” a una longitud (tomada como longitud unidad) a lo largo del eje aa. Las intersecciones para este plano serían: 1a, ∞b,∞c. De igual modo, el plano A'A' que es paralelo a AA pero que corta al eje aa una distancia igual a dos unidades de longitud, tiene las intersecciones: 2a,∞b,∞c. El plano BB, que es paralelo a los ejes aa y cc y corta al eje bb a la distancia unidad, tiene las intersecciones: ∞a, 1b, ∞c. El plano AB, que corta a ambos ejes horizontales (a y b) a la distancia unidad, pero es paralelo a c, posee los parámetros: 1a, 1b, ∞c. Un plano que corta a los tres ejes a la distancia unidad tendría los parámetros 1a, 1b, 1c. La Fig. 4.5b muestra el desarrollo de las caras cristalinas que son paralelas a los planos reticulares indicados en la Fig. 4.5a. Debe recordarse que las intersecciones indicadas en las caras son valores estrictamente relativos y no indican longitudes reales de corte. Cuando las intersecciones se asignan a las caras de un cristal sin conocimiento de las dimensiones de la celda unitaria tendría los parámetros 1a, 1b, 1c. Esta cara, llamada cara unidadcara unidad, es generalmente la mayor en el caso en que haya diversas caras que cortan los tres ejes.

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Intersecciones

Figura 4.5. Intersecciones de planos (a) y caras en una red ortorrómbica (b).

4.4.2. Valores cristalográficos 4.4.2. Valores cristalográficos

Al efectuar el estudio de un cristal hay que establecer las relaciones entre los diversos elementos que lo constituyen, es decir, aquellas que existen entre sus caras, aristas, vértices, etc.

Se ha convenido así, usar sistemas de ejes coordenados, tal como los usados en Geometría Analítica, y a los cuales se denomina “ejesejes cristalográficos

cristalográficos” con notaciones XX', YY', ZZ'; se llama a un sistema de ejes coordenados, cuyo srcen coincide con el centro del cristal y que sirve para fijar la posición de las caras en el espacio, por las magnitudes que ellas determinan sobre los ejes, medidas a partir del centro. Se simbolizan como:

a1, a2, a3→Sistema cúbico, los 3 ejes son de igual longitud.

a1, a2, c;→Sistema tetragonal, ejes X, Y son de igual longitud

a, b, c.→ _{Sistemas ortorrómbico, monoclínico y triclínico, ejes de} longitudes desiguales

a1, a2, a3, c→Sistemas hexagonal y romboédrico, ejes horizontales de igual longitud.

En la figura 4.6 se ilustra el sistema convencional de ejes cristalográficos para cada uno de los seis sistemas cristalinos. Las tres

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direcciones se denominan a, b, y c, a menos que la simetría las haga equivalentes y en este caso sería a, a, a. La dirección vertical se denomina c, excepto en el sistema isométrico, donde todos los ejes son iguales, es decir a1, a2, a3.

Triclínico Monoclínico

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Tetragonal

Hexagonal

a1= a2= a3; c perpendicular al plano que contiene a1, a2, a3 ángulos horizontales 120º

Figura 4.6. Sistemas convencionales de ejes cristalográficos.

En los sistemas cúbico, tetragonal, ortorrómbico, monoclínico y triclínico, se usa un sistema de tres ejes coordenados, en el cual el eje XX´ va de delante hacia atrás y se llama“antero-posterior”; el eje YY´, recibe el nombre“transverso” y se orienta de derecha a izquierda; el eje ZZ´ se denomina“vertical” y se orienta de arriba-abajo.

Todos los cristales, con excepción de los que pertenecen al sistema hexagonal se refieren a tres ejes cristalográficos designados como a, b y c; véase la Fig. 4.7. En el caso general (sistema triclínico) todos los

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ejes tienen diferentes longitudes y son oblicuos entre sí. Los extremos o tramos de cada eje se designan con más o menos (+ o -); el extremo frontal de a, el extremo derecho de b y el extremo superior de c son positivos; los extremos opuestos son negativos. Los ángulos que forman los extremos positivos de los ejes se designan

se designan convencionalmente con las letras griegas , y El ángulo es el comprendido entre las direcciones axiales b y c, el está entre a y c y el ángulo entre a y b (véase Fig. 4.7 y 4.8). Estos ángulos inherentes a los ejes cristalográficos de los sistemas cristalinos, pueden ser iguales o diferentes de 90º.

En los sistemas hexagonal y romboédrico (trigonal) se usa un sistema de cuatro ejes: tres ejes iguales horizontales, situados en un plano (plano horizontal) y el cuarto, el vertical, pero perpendicular a los anteriores. En ambos casos, el sistema de ejes cristalográficos se conoce con el nombre de“CRUZ AXIAL”.

Figura 4.7. Tres ejes

cristalográficos. Figura 4.8. Cuatro ejescristalográficos.

El concepto de ejes cristalográficos no debe confundirse con el de ejes de simetría, a pesar de que en varios de los sistemas ambos tipos de ejes coinciden y la posición de los ejes cristalográficos está fijada, en gran parte, por los elementos de simetría del sistema.

Los planos cristalográficosplanos cristalográficos, son los planos formados por los ejes cristalográficos, dividen al espacio en 8 ó 12 partes, según sea el tipo del sistema de ejes; cada parte se llama un octanteoctante ó un dodecantedodecante, respectivamente. En forma general se llaman sectantessectantes.

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Los planos cristalográficos pueden ó no coincidir con los planos de simetría. Si estos últimos coinciden con aquellos se llaman planos diametrales (P

diametrales (PDD)); si no, son planos diagonales (Pdiagonales (Pdd)). Finalmente, son constantes cristalográficos los ángulos formados por cada par de ejes cristalográficos, tal como se indican en las figuras 4.7 y 4.8.

En el sistema de cuatro ejes cristalográficos, el ángulo horizontal es de 120º ó 60º para los sistemas romboédrico y hexagonal, respectivamente; mientras que el eje vertical forma un ángulo recto, “δ”, con cualquiera de los ejes horizontales. Según la forma del

paralelepípedo elemental, los cristales se dividen en sistemas. Se denomina sistema cristalino, al conjunto de clases de simetría cuyos cristales tienen análogas constantes de la malla (celda cristalina).

CUADRO DE LAS CONSTANTES CRISTALOGRÁFICAS CUADRO DE LAS CONSTANTES CRISTALOGRÁFICAS

Nota:

Nota: M = Una sola medida paramétrica. D = Dos medidas paramétricas. T = Tres medidas paramétricas.