6.7. SISTEMA HEXAGONAL
Ahora, se analizará el único sistema cristalino que posee 4 ejes cristalográficos. Encontramos que los índices de Miller realmente deben ser los índices de Bravais, pero comúnmente quizá por falta de costumbre, todavía se les llama índices de Miller. Como hay 4 ejes, hay 4 letras o números en la notación.
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Las formas delSistema HexagonalSistema Hexagonal están definidas por las relaciones de la cruz axial. Los ejes hexagonales (Fig.6.29) consisten en 4 ejes, 3 de la misma longitud y en el mismo plano, los cuales fueron propuestos por Bravais. Estos 3 ejes, denominados a1, a2, a3tienen una relación angular de 120º (entre los extremos positivos). En ángulo recto (ángulo normal según las matemáticas) se encuentran el eje“c” cuya longitud puede variar.
Todos los cristales en el sistema Hexagonal se orientan por el extremoextremo negativo
negativo del eje aeje a33 que se considera que es 0º para propósitos de ploteo. Esto es importante cuando se mira la distribución de las formas del romboedro y determinan si ellos son positivos o negativos.
Figura 6.29. Cruz Axial del Sistema Hexagonal
Es importante a su vez, notar la orientación de los 4 ejes y sus extremos positivo y negativo. Si se observa verticalmente (desde la parte superior del eje c), los ejes dividen un círculo en 6 partes de igual proporción y la notación axial se lee (iniciando con un +) como +,-; +,-;+,-; +,-; +,-.
+,-. Los extremos se alternan positivos y negativos. Nombrando los índices de cualquier cara, con cuatro números hkil (símbolos de Bravais) que deben darse necesariamente. En la notación de simetría de Hermann - Mauguin, el primer número se refiere al eje principal de simetría que es coincidente con“c” en este caso. El segundo y tercero símbolo, si se presentan, se refieren a los elementos de simetría paralelos a los ejes cristalográficos a1, a2, a3
cristalográfico“c”. y normales al eje
Basado en cuanto a su simetría, se dice que el Sistema Hexagonal presenta dos divisiones fundamentales. Existen 5 posibles clases, todos los que contienen ejes de simetría senaria, en la divisióndivisión Hexagonal
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en ladivisión división TriTrigonalgonal. El símbolo general usado para cualquier forma en el Sistema Hexagonal es {hkil}.
Miller (1852) refirió todas las formas del sistema hexagonal a tres ejes iguales paralelos a las caras del romboedro fundamental, y por lo tanto cortándose en ángulos iguales, no de 90º, sino de 120º. Más natural es emplear los tres ejes romboédricos sólo para las formas trigonales, como lo hizo Groth (1905), que incluyó estos grupos en el Sistema Trigonal. Los índices comúnmente usados para describir las formas hexagonales se conocen como los índices de Miller-Bravais, ya que fueron adoptados por Bravais para usarlos como cuatro ejes del esquema empleado por Miller en los otros sistemas cristalinos.
Cuando está orientado correctamente, uno de los ejes horizontales (a2) es paralelo al observador y los otros dos forman ángulos de 30º a cada lado de las líneas perpendiculares a él. El eje de la izquierda se toma como a1, el de la derecha como a3. Los extremos positivos y negativos de los ejes se ven en la figura 6.29.
Relaciones axiales en el sistema hexagonal.-
Relaciones axiales en el sistema hexagonal.- Los cristales del sistema hexagonal, de modo excepcional, se orientan de manera tal que (0110) esté a la derecha conφ= 0º 00'. En el sistema hexagonal, el extremo negativo del ejea3se toma comoφ= 0º. De acuerdo con esta conveniencia, elφde las formas de segundo orden es 0º, mientras que
para las formas de primer orden es 30º.
Para determinar una relación axial de un cristal, deben darse primero los índices de las formas, y sus ángulos φ y ρ determinados. En
muchos cristalesφ yρpueden medirse directamente como ángulos
interfaciales.
Una relación axial en el sistema hexagonal expresa la longitud decc en términos deaa como unidad, o bin a : c = 1 : ?. Para facilitar los cálculos el eje – –aa33se toma como unidad, puesto que está en la posición deφ= 0. El recíproco de la intersección en este eje es i = - (h + k).
La fórmula para determinarca partir de los ángulos de la forma general es:
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Si se usa una forma de segundo orden,φ = 0º, y cos = 1; luego cosφ desaparece de la ecuación, y queda:
Figura 6.30. Formas hexagonales de primero y segundo orden.
6.7.1. División Hexagonal 6.7.1. División Hexagonal
La primera clase de la división Hexagonal, la Normal o la clase Bipiramidal Dihexagonal tiene un eje de simetría senario que coincide con el eje cristalográfico“c” o eje vertical. También tiene 6 ejes binarios horizontales, 3 que corresponden a los 3 ejes cristalográficos horizontales y 3 que bisecan a los ángulos entre los ejes. La notación de Hermann - Mauguin es 6/m2/m2/m.
En las figuras 6.31a y 6.31b se muestran los elementos de simetría de esta clase (ejes y planos).
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Figura 6.31. a) Ejes de simetría. b) Planos de simetría
Formas simples de la División Hexagonal Formas simples de la División Hexagonal
Figura 6.32. Prismas hexagonales. A- Prisma hexagonal de primer orden y Pinacoide Basal B- Prisma hexagonal de segundo orden y Pinacoide Basal
Las dos caras de la base, o el pinacoide basal, son normal al eje“c” y al observador. Sus índices del Miller son (0001) y (0001).
Los prismas del primer y segundo orden no pueden distinguirse entre sí, cuando cada uno aparece como un prisma hexagonal regular con un ángulo interfacial de 60º, pero cuando se observa hacia abajo el eje “c”, como en la figura 6.34, las relaciones de las dos formas y los ejes “a” son rápidamente visualizadas.
El prisma de primer orden (Fig.6.32A) incluye seis caras, cada una de las cuales es paralela al eje vertical el cual encuentra a dos ejes horizontales adyacentes a iguales distancias, mientras que es paralelo al tercer eje horizontal. El símbolo general es (101 0).
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El prisma de segundo orden (Fig.6.32B) tiene seis caras, cada una de las cuales es paralela al eje vertical, el cual encuentra a los tres ejes horizontales, dos ejes alternados a la distancia unidad y los ejes intermedio a la mitad de la distancia. El símbolo general es (1120) y se designa invariablemente con la letraaa.
A B
Figura 6.33. Bipirámides hexagonales de
primer y segundo orden. Figura 6.34. Bipirámides hexagonalesvistas desde la base superior.
El hexágono inscrito corresponde a la bipirámide hexagonal primer orden.
El hexágono circunscrito corresponde a la bipirámide hexagonal de segundo orden.
En la figura 6.35, que es la claseHemimórficaHemimórfica (pirámide dihexagonal), difiere de las clases ya vistas anteriormente en que no tiene ningún plano horizontal de simetría (plano normal al eje c) y ningún eje horizontal de simetría. No presenta centro de simetría. Por consiguiente, la notación de Hermann-Mauguin es 6mm (equivalente a E6P, P', P''). El plano basal es un pedión (una sola cara).
Figura 6.35. Pirámide dihexagonal + pedión.
En la clase Trapezoedro Hexagonal, los ejes de simetría está igual que la clase normal (bipirámide dihexagonal), pero los planos de simetría y
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el centro de simetría no están presentes. La notación de Hermann- Mauguin es 622. Dos formas enantiomórficas (la imagen espejo) están presentes, cada uno presenta 12 caras trapezoidales (Fig. 6.36)
Figura 6.36.Trapezoedros hexagonales.
La claseBipirámide Hexagonal (Fig. 6.37) tiene sólo un eje vertical deBipirámide Hexagonal rotación y un plano de simetría perpendicular a él. La notación de Hermann-Mauguin es 6/m. Cuando esta forma se presenta sola, parece poseer la simetría más alta. Sin embargo, en la combinación con otras formas revela su baja simetría.
Las formas generales de esta clase son las bipirámides hexagonales positivas y negativas. Estas formas poseen 12 caras, 6 superiores y 6 inferiores, y corresponden en posición a la mitad de las caras de una bipirámide dihexagonal.
Figura 6.37. Bipirámide hexagonal.
En la clase Pirámide HexagonalPirámide Hexagonal, el eje vertical es un eje senario polar (E6p). Ninguna otra simetría está presente en este sistema. La figura 6.38 es la pirámide hexagonal. Las formas de esta clase son similares a aquellas de la Bipirámide Hexagonal, pero que en ésta no se presenta ningún plano de simetría horizontal.
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Figura 6.38.Pirámide hexagonal + pedión.
6.7.2. División Trigonal 6.7.2. División Trigonal
En la División TrigonalDivisión Trigonal del Sistema Hexagonal, se observa que la simetría ternaría gobierna en esta división. Hay que recordar que los prismas son formas abiertas. En la división trigonal hay dos juegos distintos de prismas que están involucrados. El primero se llama el prisma trigonal y consiste en caras de igual tamaño, las cuales son paralelas al eje cristalográfico“c”c” y forma un prisma de 3 lados iguales. Se puede pensar en la División Trigonal como la mitad de las caras del de prisma hexagonal de primer orden.
Existe un prisma de segundo orden y que da la apariencia general del de primer orden, pero cuando otras formas trigonales están presentes en la
terminación de otra manera que el pinacoide“c”, los dos prismas pueden
distinguirse rápidamente, uno de otro. El prisma de segundo orden se gira 60º sobre el eje“c” cuando se compara con el prisma de primer orden. El segundo prisma es el ditrigonal, y es una forma abierta. Esta forma consiste en 6 caras verticales (paralelas al eje c) arregladas en conjuntos de 2 caras.
Los diferentes ángulos entre los 3 conjuntos de caras, distinguen esta cara del prisma hexagonal de primer orden.
Las estriaciones en las caras verticales, tal como en la figura 6.39, son típicas para los cristales trigonales naturales, como en la turmalina.
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En la claseEscalenoédrica ditrigonal,Escalenoédrica ditrigonal, lo primero en considerar es la simetría 3 2/m en la notación de Hermann-Mauguin. Hay dos formas principales en esta clase: elromboedroromboedro (Fig.6.40) y el escalenoedroescalenoedro hexagonal
hexagonal (Fig.6.41), forma cristalina que realmente corresponde al escalenoedro ditrigonal (holoédrica).
En esta clase, el eje ternario de rotación es coincidente con el eje vertical y los tres ejes binarios corresponden a los tres ejes horizontales (a1, a2, a3)
Figura 6.40. Romboedros con ejes y planos de simetría. Figura 6.41:
Escalenoedro hexagonal.
En un escalenoedro, cada una de las caras del romboedro se convierte en 2 triángulos escalenos dividiendo el romboedro de las esquinas por una línea. Sin embargo, se encuentran 6 caras en la parte superior y 6 caras en la parte inferior. El escalenoedro que es una forma de 12 caras, se ilustra en la figura 6.41.
En la figura 6.42, se pueden observar las formas positivo {1 0 1 1} y negativo {0 1 1 1} para el romboedro.
La calcita es la más común, bien cristalizada, y mineral coleccionable en estas formas.
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Figura 6.43. Escalenoedro positivo y negativo.
La clase de cristal a considerar, a continuación, es la PirámidePirámide Ditrigonal.
Ditrigonal. El eje vertical es un eje ternario de rotación y tres planos de simetría que cortan este eje. La notación Hermann-Mauguin es 3m, 3 que se refieren al eje vertical y m que se refiere a los tres planos normales a los tres ejes horizontales (a1, a2, a3). Estos 3 planos de simetría cruzan por el eje vertical.
Figura 6.44. Pirámide ditrigonal + pedión.
La clase Trapezoedro Trigonal,Trapezoedro Trigonal, tiene las 4 direcciones axiales ocupadas por los ejes de rotación. El eje vertical es un eje ternario y los 3 planos horizontales tienen la simetría de un eje binario polar.
Esto es similar a la clase 3 2/m (escalenoedro hexagonal), pero los planos de simetría están ausentes. Las formas corresponden a 2 pares enantiomórficos, cada uno con una forma derecha (2 1 3 0) y una forma izquierda (3 1 2 0)
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Derecha. Izquierda.
Figura 6.45. Trapezoedro trigonal.
La claseromboédricaromboédrica tiene un eje ternario de rotoinversión (3) que es equivalente a un eje ternario y un centro de simetría. La forma general es {hkil} y la notación de Hermann-Mauguin es 3. El pinacoide {0001} y los prismas hexagonales pueden estar presentes. Dolomita e ilmenita son la mayoría de los minerales comunes que cristalizan en esta clase. Figura 6.46.
Figura 6.46. Romboedro trigonal.
LaPirámide Trigonal, la última clase del sistema trigonal, tiene un ejePirámide Trigonal ternario de rotación (E3P). Hay, sin embargo, 8 pirámides trigonales cuya forma general es {hkil}, cuatro arriba y cuatro abajo. Cada uno de éstos corresponde a 3 caras de la Bipirámide Ditrigonal. Además de esto, es posible que pueda haber pirámides trigonales en la parte superior, independientes, de las pirámides de abajo. Figura 6.47.