El siguiente ejemplo muestra que en general para cada estructura de argumento puede existir m´as de un derrotador. La presencia de m´ultiples derrotadores para una estructura
de argumento produce una ramificaci´on de l´ıneas de argumentaci´on, dando origen a un
´
arbol de derrotadores que se denomina ´arbol de dial´ectica. En este ´arbol, cada camino
desde la ra´ız hasta una hoja corresponde a un l´ınea de argumentaci´on. Ejemplo 2.17 Consid´erese el siguiente programa l´ogico rebatible:
a —<b ∼d—<k ∼b —<c, f ∼f —<i
b —<c e f —<g i
c ∼b —<e g ∼h—<k
∼b —<c, d h—<j k
d—<g j ∼f —<g, h
A partir de este programa, es posible construir una estructura de argumento hA, ai, con
A={(a—<b), (b —<c)}. Si se utiliza el criterio de especificidad para comparar estructuras de argumentos, es posible construir tres derrotadores para hA, ai que atacan indirecta- mente en el literal b:
hB1,∼bi, con B1= { (∼b —<c, d)}
hB2,∼bi, con B2= { (∼b —<c, f), (f —<g) }
hB3,∼bi, con B3= {(∼b—<e) }
La estructura hB1,∼bi, a su vez, tiene un derrotador hC1,∼di con C1= {∼d—<k}. La estructura hB2,∼bi tiene dos derrotadores: hC2,∼fi con C2= {(∼f —<i)}, y hC3,∼fi con C3= {(∼f —<g, h), (h—<j)}. Finalmente, la estructura hC3,∼fi tiene el derrotador
hD1,∼hi, dondeD1={(∼h—<k)}.
En el ejemplo anterior existen cuatro l´ıneas de argumentaci´on aceptables a partir de
hA, ai:
Λ1 = [hA, ai,hB1,∼bi, hC1,∼di ] Λ2 = [hA, ai,hB2,∼bi, hC2,∼fi]
Λ3 = [hA, ai,hB2,∼bi, hC3,∼fi,hC3,∼hi ] Λ4 = [hA, ai,hB3,∼bi ]
Estas cuatro l´ıneas pueden representarse como un ´arbol, donde la ra´ız est´a etiquetada con hA, ai y los nodos internos representan derrotadores de su nodo padre. Las hojas
del ´arbol corresponden a estructuras de argumento sin derrotadores. Este tipo de ´arboles se llama ´arbol de dial´ectica, y se define a continuaci´on. La Figura 2.11 muestra el ´arbol correspondiente a este ejemplo.
hA, ai hB1,∼bi hB2,∼bi H H H hB3,∼bi hC1,∼di hC2,∼fi @ @ @ hC3,∼fi hD1,∼hi
Figura 2.11: ´Arbol de dial´ectica del ejemplo 2.17
Definici´on 2.34 (Arbol de dial´ectica)
SeahA0, L0iuna estructura de argumento obtenida a partir de un programa P. Un ´arbol de dial´ectica parahA0, L0i, a partir deP, se denotaThA0, L0i, y se construye de la siguiente forma:
1. La ra´ız del ´arbol es etiquetada conhA0, L0i.
2. Sea N un nodo del ´arbol etiquetado hAn, Lni, y la secuencia de etiquetas
[hA0, L0i,hA1, L1i,hA2, L2i, . . . ,hAn, Lni] del camino que va desde la ra´ız hasta el
nodoN.
Sean hB1, Q1i, hB2, Q2i, . . ., hBk, Qki todos los derrotadores de hAn, Lni.
Para cada derrotador hBi, Qii (1 ≤ i ≤ k), tal que, la l´ınea de argumentaci´on
Λ = [hA0, L0i,hA1, L1i,hA2, L2i, . . . ,hAn, Lni,hBi, Qii] sea aceptable, existe un no-
do hijo Ni deN etiquetado conhBi, Qii.
Si no existe ning´un derrotador para hAn, Lni o no existe un derrotadorhBi, Qii tal
que Λ sea aceptable, entonces el nodoN es una hoja.
Como puede observarse en la Figura 2.11, los nodos hoja del ´arbol de dial´ectica corres- ponden a argumentos no derrotados. En cambio, un nodo interno que tiene como hijo un nodo hoja, corresponder´a a un argumento derrotado. Siguiendo con este an´alisis, desde las hojas, hacia la ra´ız, los nodos en un ´arbol de dial´ectica se pueden marcar como “D”
derrotado, o “U”no derrotado5. A continuaci´on se especifica el procedimiento de marcado:
Procedimiento 2.1 (Marcado de un ´arbol de dial´ectica)
Sea ThA, Li un ´arbol de dial´ectica parahA, Li. Un ´arbol de dial´ectica marcado, denotado
T∗
hA, Li puede obtenerse marcando cada nodo en ThA, Li de la siguiente forma:
1. Todas las hojas deThA, Li se marcan con “U” en T∗
hA, Li.
2. Sea N un nodo interno de ThA, Li. El nodoN se marca con “U” si todo nodo hijo deN est´a marcado con “D”, y N se marca con “D” si existe al menos un nodo hijo de N marcado con “U”.
Este procedimiento sugiere un proceso desde las hojas a la ra´ız (bottom-up) para marcar los nodos, y determinar el estado de la ra´ız. La Figura 2.12 muestra el ´arbol de la figura 2.11 despu´es de aplicarle el procedimiento de marcado.
hA, aiD hB1,∼biD hB2,∼biD H H H hB3,∼biU hC1,∼diU hC2,∼fiU @ @ @ hC3,∼fiD hD1,∼hiU
Figura 2.12: ´Arbol de dial´ectica marcado del ejemplo 2.17 Un ´arbol de dial´ectica marcadoT∗
hA, Lirepresenta el an´alisis dial´ectico en el cu´al todos
los argumentos construibles a partir de un programa P son considerados a fin de decidir el status de un argumento hA, Li. En un ´arbol de dial´ectica marcado T∗
hA, Li, los nodos
marcados con “U” corresponden a argumentos no derrotados y los nodos marcados con “D” a estructuras de argumento derrotadas. Por lo tanto, el status de un argumento
hA, Li ser´a “derrotado” si la ra´ız deT∗
hA, Li queda marcada con “D”, o “garantizado”6 si
la ra´ız tiene como marca “U”.
La siguiente definici´on introduce el concepto que resume todo el an´alisis dial´ectico en la programaci´on en l´ogica rebatible. Decir que un literal “L” est´a garantizado a partir de un programaP, significa que un razonador que utilice el programaP, podr´a creer en “L”.
Definici´on 2.35 (Literales garantizados)
SeaP=(Π,∆), un programa l´ogico rebatible, yLun literal. Sea hA, Liuna estructura de argumento para L, y T∗
hA, Li el ´arbol de dial´ectica marcado asociado a hA, Li. El literal
L est´a garantizadosi la ra´ız de T∗
hA, Li est´a marcada con “U”.
Ejemplo 2.18 Considere el programa P2,9 del ejemplo 2.9. Como se m´ostro en el ejemplo 2.15, hA3,∼peligroso(i1)i es un derrotador propio para hA4, peligroso(i1)i, y
hA1,∼encendida(l1)i es un derrotador de bloqueo para hD, encendida(l1)i y viceversa. El literal “∼peligroso(i1)” est´a garantizado a partir deP2,9 porque existe un argumen- tohA3,∼peligroso(i1)ique no tiene derrotadores. El literal “peligroso(i1)” no est´a garan- tizado porque existe un ´unico argumento hA4, peligroso(i1)i, el cual est´a derrotado por
hA3,∼peligroso(i1)i que no tiene derrotadores.
Por otra parte, los literales “∼encendida(l1)” y “encendida(l1)” no est´an garantizados a partir deP2,9. Para ambos literales existe un ´unico argumento, hA1,∼encendida(l1)i y para hD, encendida(l1)i, los cuales se derrotan mutuamente.
La siguiente proposici´on muestra que en particular los literales que son hechos de un programaP, o tienen una derivaci´on estricta a partir deP, siempre est´an garantizados a partir de P.
Proposici´on 2.5 Sea P= (Π,∆) un programa l´ogico rebatible. Si el literal L tiene una derivaci´on estricta, entoncesL est´a garantizado.
Demostraci´on: Si un literal L posee una derivaci´on estricta, entonces por la Proposi-
ci´on 2.1 existe una estructura de argumento hA, Li, conA=∅. Por la Proposici´on 2.2 no
existe contra-argumento para A, con lo cual, el ´arbol de dial´ectica T∗
hA, Li tiene un ´unico
nodo ra´ız y hoja, que es marcado como nodo “U”. Por lo tanto, L est´a garantizado.