CHAPTER 2 LITERATURE REVIEW
2.7 Pedestrian and Cyclist Computer Modelling
2.7.4 Finite Element Human Modelling
Teorema 6.51 Sea E un espacio af´ın eucl´ıdeo de dimensi´on n≥ 2. Entonces el grupo Is(E) est´a generado por las reflexiones y el grupo Is+(E) est´a generado por los giros.
Demostraci´on: La segunda parte es evidente. Para probar la primera afirmaci´on es suficiente ver que todo giro se expresa como composici´on de dos reflexiones. Sea f un giro y (O; >v1, . . ., >vn) un sistema de referencia ortonormal tal que O sea un punto fijo y >f tenga forma can´onica [Mθ, 1, . . ., 1] respecto a la base dada. Sea V >v1, >v2. Claramente V es un subespacio invariante para >f,
su restricci´on a V tiene matriz Mθ y restringida a V⊥ es la identidad.
Sea g la reflexi´on que fija a O y tal que en la base dada >g tiene matriz [−1, 1, . . ., 1]. Entonces >g es tambi´en la identidad en V⊥ y su restricci´on a V tiene matriz [−1, 1]. Es claro entonces que V y V⊥ son invariantes para >f ◦ >g,
as´ı como que ´esta es la identidad en el segundo y tiene matriz Mθ[−1, 1] en V . Como esta matriz es ortogonal y tiene determinante−1, su forma can´onica es [−1, 1], de donde se sigue que la forma can´onica de >f ◦ >g es [−1, 1, . . ., 1], luego
h = f◦g es tambi´en una reflexi´on, y f = h◦g es composici´on de dos reflexiones.
Ejercicio: Probar que si dim E≥ 3 el grupo Is+(E) est´a generado por las simetr´ıas
respecto a variedades de dimensi´on n− 2.
6.7
Aplicaciones
Concluimos el cap´ıtulo con algunas aplicaciones de los resultados que hemos visto. En primer lugar probaremos una interesante propiedad de los tri´angulos descubierta por Euler: El circuncentro, el ortocentro y el baricentro son siempre colineales. Llegaremos a ello estudiando el llamado tri´angulo medial, que es el
tri´angulo que une los pies de las medianas.
A B C A B C D E O G H P
En primer lugar observamos que el teorema de Tales implica que los lados del tri´angulo medial ABC son paralelos a los de ABC, as´ı como que los del
primero miden la mitad que los del segundo. El teorema de Desargues implica que ambos son homot´eticos, y la raz´on de la homotecia es−2. El teorema de Tales prueba tambi´en que la mediana AA pasa por el punto medio P de BC, luego P A es una mediana del tri´angulo medial. En general, las medianas del tri´angulo medial est´an contenidas en las del tri´angulo de partida, luego ambos tri´angulos tienen el mismo baricentro G.
Es f´acil ver que una homotecia conserva el punto medio de un segmento, luego el punto medio P del lado BC es el hom´ologo del punto medio A del lado BC. Por lo tanto, la mediana P A del tri´angulo medial se transforma en la mediana AA del tri´angulo dado, es decir, la homotecia deja fijas las medianas (comunes) de ambos tri´angulos. En particular fija al baricentro G, luego ´este ha de ser el centro de la homotecia.
Por otra parte, es obvio que las alturas del tri´angulo medial son las bisectrices de ABC, luego el circuncentro O de ABC es el ortocentro de su tri´angulo medial. La recta homot´etica de la altura P A del tri´angulo medial es su paralela por el punto A, es decir, la altura AD del tri´angulo dado. En general, cada altura se corresponde con una altura y por lo tanto el circuncentro O (ortocentro de
ABC) es el hom´ologo del ortocentro H de ABC.
Esto prueba que O, H y G se encuentran sobre la misma recta. M´as a´un, G est´a entre O y H y HG = 2 GO.
Hay un caso especial, en el que G = O (y necesariamente entonces G = H). Esto equivale a que las mediatrices coincidan con las alturas, lo que a su vez equivale a que el tri´angulo sea equil´atero.
Definici´on 6.52 Se llama recta de Euler de un tri´angulo no equil´atero a la recta que contiene al su circuncentro, su baricentro y su ortocentro.
Todav´ıa podemos llevar m´as lejos nuestro an´alisis. Sea N el punto medio del segmento−−→OH. Es claro que su hom´ologo a trav´es de la homotecia anterior es el circuncentro O de ABC, luego N ha de ser el circuncentro del tri´angulo medial. A B C A B C D E F O G H N P Q R
6.7. Aplicaciones 173 Consideramos ahora la homotecia de centro H y raz´on 1/2. ´Esta transforma el circuncentro O de ABC en el punto N , luego transforma la circunferencia
circunscrita de ABC en una circunferencia ω de centro N que contiene a los
puntos medios de los segmentos HA, HB y HC, llam´emoslos P , Q, R. El tri´angulo ABC se transforma en P QR mediante la homotecia de centro G y
raz´on−2 seguida de la homotecia de centro H y raz´on 1/2 (pasando por ABC),
pero estas transforman a N en O y O en N de nuevo, luego la composici´on fija a N , pero ha de ser una homotecia o una traslaci´on y, como fija a N , ha de ser una homotecia de centro N y raz´on±1. Es f´acil ver que P no puede coincidir con A, luego la homotecia no puede ser la identidad, luego en definitiva se trata de la homotecia de centro N y raz´on −1 o, si se prefiere, la simetr´ıa puntual respecto de N .
Esto implica que el c´ırculo ω contiene tambi´en a los pies de las medianas A,
B y C. M´as a´un, los segmentos P A, QB, RC son di´ametros de ω.
Finalmente, si el pie de la altura D es distinto de A el tri´angulo P DA es rect´angulo, luego su circuncentro es N , luego D est´a tambi´en en ω, y lo mismo es v´alido para E y F . Con esto hemos probado:
Teorema 6.53 En todo tri´angulo T = ABC con ortocentro H, los puntos me- dios de los segmentos HA, HB y HC, los pies de las alturas y los pies de las medianas est´an sobre una misma circunferencia ω cuyo centro es el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro de T .
Poncelet llam´o a la circunferencia del teorema anterior el c´ırculo de los nueve
puntos6del tri´angulo T .
El c´ırculo de los nueve puntos de un tri´angulo T es la circunferencia cir- cunscrita tanto a su tri´angulo medial como a su tri´angulo ´ortico. Veamos otra propiedad interesante. Para enunciarla necesitamos definir el ´angulo entre una circunferencia y una recta secante:
P Q r α α 2α
Definici´on 6.54 Dada una circunferencia ω y una
recta r que la corte en dos puntos P y Q, llamaremos
´
angulo entre r y ω en P al ´angulo (menor) determi- nado por r y la tangente a ω por P . Si r es tangente a ω en P convendremos en que el ´angulo entre r y ω es nulo.
Es f´acil ver que r determina el mismo ´angulo α tanto en P como en Q, as´ı como que ´este es la mitad del arco menor determinado por P y Q en ω, y por lo tanto igual a cualquier ´angulo inscrito en ω que abarque el arcoP Q.9
Teorema 6.55 Los ´angulos con que un lado BC de un tri´angulo corta a su c´ırculo de los nueve puntos tiene amplitud| ˆB− ˆC|.
6Existe una cierta tradici´on de llamar c´ırculos tanto a los c´ırculos propiamente dichos como a las circunferencias. Conservamos el nombre usual, si bien hemos de tener presente que el c´ırculo de los nueve puntos es en realidad una circunferencia.
Demostraci´on: Con la notaci´on anterior, el lado corta a la circunferencia en los punto Ay D. Es f´acil ver que D = A si y s´olo si B = C (en cuyo caso el lado es tangente a la circunferencia), por lo que podemos suponer que D= A. Hemos de calcular cualquier ´angulo inscrito en la circunferencia que abarque a
9
DA, por ejemplo
DP A= DP N = DAO,
pues las rectas P N y AO son paralelas (son homot´eticas desde H). Claramente DAC = π/2− ˆC, mientras que
OAC = OCA =π 2 − AOC 2 = π 2 − ˆB, pues ˆB est´a inscrito en la circunferencia circunscrita a ABC.
Cap´ıtulo VII
La geometr´ıa af´ın
Nuestra forma de percibir y concebir la realidad contiene las leyes de la geometr´ıa eucl´ıdea, de modo que somos capaces de reconocer inmediatamente como verdaderos muchos de sus principios, pero sucede que la l´ogica de nuestra intuici´on no coincide con la l´ogica interna (algebraica) de la geometr´ıa que perci- bimos. Por ejemplo, el hecho de que las rectas est´en ordenadas aparece como un principio b´asico porque nos es dado como algo evidente e inmediato, mientras que desde un punto de vista l´ogico es algo completamente accesorio (la geo- metr´ıa af´ın contiene el n´ucleo principal de la geometr´ıa y en ella es irrelevante que el cuerpo est´e o no ordenado); rec´ıprocamente, el teorema de Desargues dista mucho de ser evidente, y sin embargo veremos que es un aut´entico pilar de la geometr´ıa af´ın.
Hasta aqu´ı hemos presentado la geometr´ıa partiendo de unos axiomas que pretend´ıan reflejar nuestra forma de percibirla, partiendo de lo intuitivamente m´as simple hacia lo intuitivamente m´as complejo. La ´unica excepci´on ha sido que hemos pospuesto hasta el ´ultimo lugar al axioma de las paralelas (Axioma E) para mostrar que una gran parte de la teor´ıa es independiente de ´el, cuando en realidad es tan intuitivamente evidente como los axiomas de incidencia que han constituido nuestro punto de partida. En este cap´ıtulo mostraremos una exposici´on alternativa de la geometr´ıa, debida a Artin, y que no est´a guiada por la intuici´on, sino por la simplicidad l´ogica, de modo que nos permitir´a comprender el papel real que juega cada elemento en la teor´ıa general.
7.1
Incidencia y paralelismo
Los axiomas b´asicos de la geometr´ıa af´ın son los axiomas de incidencia junta- mente con el axioma de las paralelas. Al incluir este ´ultimo axioma, los primeros pueden simplificarse ligeramente. Partimos, pues, de un conjunto de puntos en el que hemos destacado dos familias de subconjuntos a los que llamaremos rec- tas y planos. Los conceptos de colinealidad, etc. se definen como es usual, pero conviene que modifiquemos la noci´on de paralelismo para aceptar que dos rectas o planos coincidentes se consideren paralelos. De este modo, dos rectas ser´an
paralelas si est´an contenidas en un mismo plano y son coincidentes o disjuntas, dos planos ser´an paralelos si son coincidentes o disjuntos y una recta y un plano ser´an paralelos si son disjuntos o bien la recta est´a contenida en el plano. Definici´on 7.1 Un espacio af´ın (tridimensional) es un conjunto E, a cuyos elementos llamaremos puntos, junto con dos familias de subconjuntos no vac´ıos de E a cuyos elementos llamaremos rectas y planos, de modo que se satisfagan los axiomas siguientes:
Axioma A1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una ´unica recta, que representaremos por P Q.
Axioma A2 Por un punto exterior a una recta pasa una ´unica paralela. Axioma A3 Por cada tres puntos no colineales P , Q, R pasa un ´unico plano, que representaremos por P QR.
Axioma A4 Si una recta r tiene dos puntos en com´un con un plano π, en- tonces r est´a contenida en π.
Axioma A5 Existen cuatro puntos distintos no coplanares.
Axioma A6 Si dos planos tienen un punto en com´un, entonces tienen dos puntos en com´un.
Tenemos, pues, dos axiomas que describen las rectas, dos axiomas que des- criben los planos, un axioma de existencia de puntos y un axioma de clausura, que impone la tridimensionalidad del espacio.
Del axioma A1 se sigue inmediatamente que si dos rectas se cortan, lo hacen en un ´unico punto. En el cap´ıtulo I exig´ıamos que cada plano contuviera tres puntos no colineales. En realidad esto puede probarse con un argumento t´ecnico que all´ı preferimos evitar.
Teorema 7.2 Todo plano contiene tres puntos no colineales
Demostraci´on: Dado un plano π, por definici´on es un conjunto de puntos no vac´ıo. Sea, pues, P ∈ π. Por el axioma A5 existen puntos Q y R no colineales con P . Si ambos est´an en π ya hemos terminado, en caso contrario el plano P QR corta a π en P y por A6 en otro punto m´as. No perdemos generalidad si suponemos que es Q, con lo que R /∈ π. De nuevo por A6 existe un punto S no coplanar con P , Q, R. El plano P RS corta a π en P y en otro punto P que no puede estar en P Q, pues P Q est´a contenida en P QR (por A4) y en tal caso los planos P RS y P QR tendr´ıan en com´un los puntos P , R y P, luego ser´ıan iguales (por A3) y P , Q, R, S ser´ıan coplanares. Por lo tanto, los puntos P , Q, P son tres puntos no colineales en π.
Por equilibrar la simplicidad con la generalidad hemos dado los axiomas para la geometr´ıa tridimensional, aunque ser´ıa posible trabajar axiom´aticamente con espacios de cualquier dimensi´on. Es importante destacar el caso bidimensional. Los axiomas para la geometr´ıa plana se obtienen de sustituir el axioma A5 por
7.1. Incidencia y paralelismo 177 la existencia de tres puntos no colineales y postular que todos los puntos est´an contenidos en un mismo plano. Alternativamente podemos suprimir todos los axiomas que nombren planos, con lo que el sistema se reduce a tan s´olo tres axiomas:
Axioma A1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una ´unica recta, que representaremos por P Q.
Axioma A2 Por un punto exterior a una recta pasa una ´unica paralela. Axioma A3 Existen tres puntos distintos no colineales.
El teorema anterior prueba que todo plano de un espacio af´ın tridimensional (con las rectas que contiene) es un espacio af´ın bidimensional (o simplemente un plano af´ın). Todos los resultados que vamos a probar sobre objetos contenidos en un mismo plano se pueden probar directamente a partir de estos axiomas y son v´alidos en cualquier plano af´ın.
Teorema 7.3 Toda recta contiene al menos dos puntos.
Demostraci´on: Dada una recta r, por definici´on es un conjunto no vac´ıo, luego contiene un punto P . Sean Q y R dos puntos no colineales con P . Sea s la paralela a P Q por R. Si r no contuviera m´as punto que P , entonces estar´ıa contenida en el plano P QR, al igual que s, y de hecho ser´ıan paralelas, pues P no est´a en s. Pero entonces r y P Q ser´ıan dos paralelas a s por el punto P , lo cual es imposible.
Con esto tenemos demostrados todos los axiomas de incidencia de que par- timos en el cap´ıtulo I, luego tenemos a nuestra disposici´on todos los teoremas que a partir de ellos probamos all´ı. Tambi´en es v´alida la prueba del teorema 3.5, que enunciamos aqu´ı en una forma equivalente:
Teorema 7.4 El paralelismo es una relaci´on de equivalencia en el conjunto de todas las rectas del espacio
La existencia de planos paralelos la demostramos usando el concepto de perpendicularidad. Veamos que es innecesario:
Teorema 7.5 Por un punto exterior a un plano pasa un ´unico plano paralelo. Demostraci´on: Sea un plano π = P QR y sea P un punto exterior. Sea PQ la paralela a P Q por P y sea PR la paralela a P R por P. Las rectas PQy PR son paralelas a π, pues, por ejemplo, el plano que contiene a P Q y PQcorta a π en P Q, y PQno tiene puntos en com´un con P Q, luego tampoco con π.
Los puntos P, Q y R no son colineales, pues en tal caso PQ = PR, con lo que P Q y P R deber´ıan ser paralelas entre s´ı, lo cual es absurdo. Sea π = PQR. Veamos que es paralelo a π. En caso contrario la intersecci´on es una recta t que no puede ser paralela a PQ y a PRsimult´aneamente, pero es
imposible que PQ corte a t, o de lo contrario PQcortar´ıa a π, cuando hemos visto que son paralelos. Lo mismo le ocurre a PR.
Supongamos ahora que π es otro plano paralelo a π que pasa por P. El plano PP Q corta a π y a π en dos rectas paralelas a P Q que pasan por P , luego ambas son PQ y as´ı Q ∈ π. Del mismo modo tenemos que R ∈ π, luego π= PQR= π.
Ahora es inmediato que el paralelismo de planos es una relaci´on de equiva- lencia. En la prueba del teorema anterior est´a impl´ıcito que si una recta r est´a contenida en un plano π, entonces la paralela a r por un punto P est´a contenida en el plano paralelo a π por P .
Definici´on 7.6 Un haz de rectas paralelas es una clase de equivalencia de rectas paralelas, bien de todo el espacio bien en un plano prefijado. Un haz de rectas concurrentes es el conjunto de todas las rectas (del espacio o de un plano) que pasan por un mismo punto.
Teorema 7.7 Todas las rectas tienen el mismo n´umero de puntos.
Demostraci´on: Sean r y s dos rectas. Podemos suponer que tienen un punto en com´un P , pues dadas dos rectas arbitrarias, podemos tomar una ter- cera que pase un punto de cada una.
Digamos que r = P Q y s = P R. Si X ∈ r, la recta paralela a QR que pasa por X est´a contenida en el plano de r y s y no puede ser paralela a s, luego la corta en un ´unico punto f (X). Esto define claramente una biyecci´on entre los puntos de r y los de s.
Ejercicio: Probar que si las rectas de un espacio af´ın tienen un n´umero finito p de puntos, entonces todos los planos tienen p2 puntos y el espacio tiene p3 puntos.