Test Scatter and Stochastic Modelling

Demostraci´on: Es obvio que la inversa de una traslaci´on es una traslaci´on (si f no tiene puntos fijos, f−1 tampoco los tiene).

Si f y g son traslaciones, entonces f ◦ g es una traslaci´on, pues si tiene un punto fijo (f◦ g)(P ) = P , tenemos que f(P ) = g−1(P ), luego f = g−1, ya que ambas son traslaciones y coinciden en un punto. Por consiguiente f◦ g = 1, que tambi´en es una traslaci´on.

Esto prueba que T(E) es un subgrupo de HT(E). Veamos que es normal. Hemos de ver que si f∈ T(E) y g ∈ HT(E), entonces g−1f g∈ T(E). En efecto, si (g−1f g)(P ) = P , entonces fg−1(P )= g−1(P ), luego f tiene un punto fijo y es, por tanto, la identidad. As´ı g−1f g = 1∈ T(E).

Es f´acil ver que la composici´on de dos traslaciones con la misma direcci´on es la identidad o una traslaci´on con la misma direcci´on, as´ı como que la inversa de una traslaci´on no trivial tiene la misma direcci´on.

Si f = 1 se cumple que g−1f g es una traslaci´on con la misma direcci´on que f . En efecto, dado P ∈ E, la recta g−1(P ), fg−1(P )es una traza de f , luego tiene la direcci´on de f . Su imagen por g es P (g−1f g)(P ), que es paralela a la anterior y es una traza de (g−1f g, luego ambas traslaciones tienen la misma direcci´on.

Teorema 7.15 Si existen traslaciones en dos direcciones distintas entonces T(E) es abeliano.

Demostraci´on: Sean f y g dos traslaciones cualesquiera. Hemos de probar que f g = gf o, equivalentemente, que f−1g−1f g = 1. Podemos suponer que f = 1 = g. Supongamos que f y g tienen direcciones distintas. Si f−1g−1f g= 1, entonces g−1f g tiene la misma direcci´on que f , al igual que f−1 y tambi´en la composici´on f−1g−1f g (supuesta no trivial), pero del mismo modo se razona que su direcci´on es la de g, con lo que tenemos una contradicci´on.

Si f y g tienen la misma direcci´on, por hip´otesis existe otra traslaci´on h con direcci´on distinta. Por la parte ya probada f h = hf . Por otra parte, gh no puede tener la misma direcci´on que f , o de lo contrario g−1(gh) = h tendr´ıa la misma direcci´on. As´ı pues, f gh = ghf . Uniendo todo esto tenemos que f gh = ghf = gf h, luego f g = gf .

7.3

Vectores y escalares

La ins´olita hip´otesis del teorema anterior nos hace reparar en que ninguno de los teoremas anteriores nos garantiza que el grupo HT(E) sea no trivial. Garantizar la existencia de homotecias y traslaciones es un problema t´ecnico del que nos ocuparemos en la secci´on siguiente. Para sortear el obst´aculo mo- ment´aneamente introduciremos dos axiomas t´ecnicos de car´acter provisional. El primero se refiere a traslaciones:

Axioma B1 Dados dos puntos P y Q, existe una traslaci´on TP Q que trans-

Puesto que las traslaciones est´an determinadas por la imagen de un ´unico punto, la traslaci´on TP Q es ´unica. Ahora es obvio que existen traslaciones con

direcciones distintas, por lo que el grupo de traslaciones es abeliano.

Con esto podemos recuperar el conjunto de los vectores libres. Llamaremos >

E = T(E), usaremos notaci´on aditiva, de modo que >0 ser´a la identidad. La traslaci´on TP Q la representaremos por

−−→

P Q, de modo que todo vector de >E se puede expresar de forma ´unica como−−→OP para cualquier punto prefijado O.

La imagen de un punto R por la traslaci´on −−→P Q la representaremos por R+−−→P Q. Las afirmaciones siguientes son reformulaciones de hechos ya probados:

1. −−→P P = >0,

2. −−→P Q +−−→QR =−→P R,

3. (P + >v) + >w = P + (>v + >w).

Ahora buscamos un cuerpo con el que convertir a >E en un espacio vectorial. En el cap´ıtulo anterior probamos que en un espacio af´ın (en el sentido algebraico) K∗ es isomorfo al grupo de homotecias lineales H( >E). M´as a´un, si a˜nadimos la aplicaci´on nula a H( >E), el conjunto que obtenemos puede ser dotado de forma natural de estructura de cuerpo isomorfo a K. Basta definir la suma de dos homotecias f y g como la aplicaci´on dada por (f + g)(>v) = f (>v) + g(>v). Fijando una base, esta suma y la composici´on se corresponden con la suma y el producto de matrices, pero las matrices de las homotecias lineales (m´as la aplicaci´on nula) son las de la forma α I, donde α∈ K, luego efectivamente, con estas operaciones tenemos un cuerpo isomorfo a K.

Nuestro problema es esencialmente definir las homotecias lineales en nuestro contexto, pero una homotecia lineal se caracteriza porque env´ıa cada vector a un m´ultiplo suyo y, vistos como traslaciones, esto significa que ambos tienen la misma direcci´on.

Definici´on 7.16 Una homotecia lineal en un espacio af´ın E es un homomor- fismo de grupos α : >E −→ >E tal que para todo >v ∈ >E, se cumple α>v = >0 o bien α>v tiene la misma direcci´on que >v. Llamaremos K al conjunto de todas las homotecias lineales de E. A los elementos de K los llamaremos tambi´en escalares.

Observar que el hecho de que una homotecia lineal α sea un homomorfismo de grupos equivale a que α(>v + >w) = α>v + α >w.

El homomorfismo nulo, determinado por 0>v = >0 para todo >v∈ >E, es trivial- mente una homotecia lineal. Lo mismo le sucede a la identidad, determinada por 1>v = >v. Llamaremos−1 a la aplicaci´on dada por (−1)>v = −>v. Es claro que tambi´en es una homotecia lineal.

Definici´on 7.17 Sean α, β∈ K, definimos α + β como la aplicaci´on >E−→ >E dada por (α + β)>v = α>v + β>v. Definimos αβ como la aplicaci´on dada por (αβ)>v = βα(>v).

7.3. Vectores y escalares 183 Notar que, vistos como homotecias lineales, el producto de dos escalares es simplemente su composici´on.

Teorema 7.18 El conjunto de escalares K es un anillo unitario con las opera- ciones de la definici´on anterior.

Demostraci´on: Claramente,

(α+β)(>v + >w) = α(>v + >w)+β(>v + >w) = α>v +α >w +β>v +β >w = (α+β)>v +(α+β) >w, luego α + β es un homomorfismo. Si >v = >0 entonces (α + β)>v = >0. Si >v = >0 entonces α>v y β>v tienen la misma traza que >v, luego su suma tambi´en, es decir, (α + β)>v tiene la misma direcci´on que >v, luego α + β∈ K.

Del mismo modo se prueba que αβ ∈ K. La asociatividad y la conmutativi- dad de la suma de siguen de las de la suma en >E. El neutro es 0 y el sim´etrico de α es (−1)α, pues

α + (−1)α>v = α>v +−α>v = >0 = 0>v, luego α + (−1)α = 0.

Tampoco presenta ning´un problema probar la propiedad distributiva (por la izquierda y la derecha), la asociatividad del producto y el hecho de que 1 es el elemento neutro del producto (por la izquierda y la derecha).

Para justificar la existencia de inversos mostraremos primero la relaci´on entre las homotecias y las homotecias lineales:

Teorema 7.19 Sea α ∈ K no nulo y P un punto dado. Existe una ´unica homotecia fα de centro P tal que Tα$v= fα−1T$vfα, para todo >v∈ >E.

Demostraci´on: Observar que usamos la doble notaci´on >v = T_$v seg´un si vemos la traslaci´on como elemento de >E (con notaci´on aditiva) o como elemento de HT(E) (con notaci´on multiplicativa).

Veamos en primer lugar la unicidad. Sea Q un punto arbitrario y >v = TP Q.

Aplicando la f´ormula del enunciado al punto P tenemos

P + α−−→P Q = Tα$v(P ) = fα(T$v(fα−1(P ))) = fα(T$v(P )) = fα(Q).

Esto prueba que fα(Q) est´a completamente determinado por α y P . Adem´as

la f´ormula anterior nos indica c´omo hemos de construir fα.

Definimos fα mediante

fα(Q) = P + α−−→P Q. (7.1)

Dados dos puntos distintos Q y R, tenemos que −−→P Q +−−→QR = −→P R, luego P + α−−→P Q + α−−→QR = P + α−→P R. Por (7.1) esto implica

Si α−−→QR= >0 entonces esta ecuaci´on significa que la recta fα(Q)fα(R) es una

traza de α−−→QR, luego tambi´en de−−→QR, luego es paralela a la recta QR, que es otra traza de la misma traslaci´on. Si α−−→QR = >0 tenemos que fα(Q) = fα(R).

En ambos casos fα(R) est´a sobre la recta paralela a QR por fα(Q). Podemos

aplicar el teorema 7.10 para concluir que fα es constante o bien una homotecia

(no puede ser una traslaci´on no trivial porque tiene a P como punto fijo). Ahora bien, si fuera constante, la f´ormula (7.2) implicar´ıa que α−−→QR = >0 para todo vector −−→QR, luego ser´ıa α = 0, en contra de la hip´otesis. As´ı pues, fα es una

homotecia de centro P .

Veamos que fαcumple lo pedido. Puesto que fα(P ) = P , podemos escribir

(7.1) como fα(Q) = fα(P ) + α −−→ P Q = Tα$v fα(P )  , donde >v =−−→P Q es un vector arbitrario, luego

Q = f_α−1  Tα$v fα(P )  .

Esto significa que la traslaci´on fαTα$vfα−1 env´ıa P a Q, luego

fαTα$vfα−1= TP Q= T$v.

Despejando obtenemos la f´ormula del enunciado: Tα$v= fα−1T$vfα.

Teorema 7.20 Cada homotecia se expresa de forma ´unica como fα, para un

cierto escalar α no nulo.

Demostraci´on: Sea f una homotecia de centro P . Sea α la homotecia lineal dada por Tα _{= f}−1_{T f (usamos notaci´on exponencial para los escalares}

cuando usamos notaci´on multiplicativa para las traslaciones). Es f´acil ver que α es un homomorfismo: (T T
)α _{= f}−1_{T T
f = f}−1_{T f f}−1_{T
f = T}α_T
α_{. Adem´as}

α conserva las direcciones por el teorema 7.14. Por lo tanto α es un escalar, claramente no nulo. Cambiando la notaci´on en la definici´on de α tenemos que Tα$v= f−1T$vf para todo vector >v, luego por la unicidad ha de ser f = fα.

La unicidad se sigue de (7.1), pues si fα= fβ, entonces α

−−→

P Q = β−−→P Q para todo vector−−→P Q, luego α = β.

Con esto ya estamos en condiciones de probar:

Teorema 7.21 El conjunto de escalares K es un anillo de divisi´on.

Demostraci´on: Recordemos que un anillo de divisi´on es un cuerpo no necesariamente conmutativo. S´olo falta probar que todo escalar no nulo tiene un inverso. M´as en general, observamos que la biyecci´on α → fα entre K∗ y

el grupo de las homotecias de centro un punto fijo P conserva el producto, es decir, fαβ= fαfβ. En efecto, se cumple

7.3. Vectores y escalares 185 Por la unicidad fαfβ = fαβ. Esto implica que K∗ es un grupo isomorfo al

grupo de homotecias de centro P . En particular todo escalar no nulo tiene un inverso.

Con esto tenemos probado que >E es un K espacio vectorial por la derecha, es decir, con la asociatividad mixta en la forma (αβ)>v = β(α>v). Enseguida veremos que la dimensi´on de >E es 3 (o 2 si E es un plano af´ın). Con ello tendremos probado que E tiene estructura de espacio af´ın en el sentido algebraico del cap´ıtulo IV, salvo por el hecho de que K no es necesariamente conmutativo. No podemos aspirar a demostrar la conmutatividad de K a partir de nuestros axiomas, pues es f´acil ver que si K es cualquier anillo de divisi´on entonces K3

satisface los axiomas de espacio af´ın tomando como rectas y planos las clases de congruencia m´odulo los subespacios vectoriales de dimensi´on 1 y 2, y el anillo de divisi´on que se obtiene seg´un la construcci´on anterior es isomorfo a K, luego no es necesariamente conmutativo. La geometr´ıa af´ın b´asica es v´alida en el caso no conmutativo, pero hay algunas diferencias, como por ejemplo que las homotecias no son necesariamente afinidades.

Para calcular la dimensi´on de >E necesitamos un axioma adicional B2 que introducimos tambi´en con car´acter provisional. En la secci´on siguiente demos- traremos los axiomas B1 y B2 a partir del grupo A.

Axioma B2 Si >v y >w son dos vectores distintos y no nulos con la misma direcci´on, entonces existe un α∈ K tal que >w = α>v.

Los casos exceptuados se cumplen trivialmente: si >v = >w sirve α = 1 y si >

w = >0 sirve α = 0. Por lo tanto s´olo hay que exigir que >v sea no nulo. La estructura vectorial de >E implica que α es ´unico.

En primer lugar daremos una forma equivalente del axioma B2. Si el axioma B1 garantizaba la existencia de traslaciones, el axioma B2 postula el hecho an´alogo sobre homotecias.

Axioma B2P (para un punto P ) Para todo par de puntos Q, R tales que P , Q, R est´en alineados y sean distintos, existe una homotecia de centro P que env´ıa Q a R.

Teorema 7.22 El axioma B2 para un punto P equivale al axioma B2 para todo punto P y tambi´en al axioma B2.

Demostraci´on: Supongamos el axioma B2 para un punto P y sean >v, >w en las condiciones del axioma B2 (global). Sean Q = P + >v, R = P + >w. Como los dos vectores tienen la misma direcci´on, los tres puntos son colineales. Como son distintos y no nulos, los tres puntos P , Q, R son distintos. Por B2P existe una homotecia de centro P , que ser´a de la forma fα, tal que fα(Q) = R, es

decir, P + α−−→P Q = R, luego α−−→P Q =−→P R, o tambi´en, α>v = >w.

Supongamos ahora B2 y probemos B2P para un punto arbitrario. Sean P , Q, R tres puntos colineales distintos. Entonces −−→P Q y −→P R son vectores no

nulos distintos con la misma direcci´on. por B2 existe un escalar no nulo tal que −→

P R = α−−→P Q. Equivalentemente, P + α−−→P Q = R, luego fα(Q) = R.

Teorema 7.23 Si P , Q, R, S son cuatro puntos no coplanares, entonces los vectores−−→P Q, −→P R,−→P S son una base de >E.

Demostraci´on: Sea −−→P X un vector arbitrario. Los planos P QX y P RS son distintos, luego se cortan en una recta r que contiene a P . La paralela a P Q por X est´a contenida en el primero y ha de cortar a r en un punto X
∈ P RS. El vector −−→X
X es nulo o tiene la misma direcci´on que−−→P Q, luego por B2 existe un escalar α tal que−−→X
X = α−−→P Q. Por lo tanto

−−→

P X =−−→P X
+−−→X
X = α−−→P Q +−−→P X
.

La paralela a P R por X
est´a contenida en P RS y no es paralela a P S, luego se cortan en un punto X

. El vector −−−→X

X
es nulo o tiene la misma direcci´on que−→P R, luego−−−→X

X
= β−→P R, para cierto β ∈ K. As´ı

−−→

P X
=−−−→P X

+−−−→X

X
= β−→P R +−−−→P X

.

As´ı mismo, el vector −−−→P X

es nulo o tiene la direcci´on de −→P S, luego existe un γ∈ K tal que−−−→P X

= γ−→P S. En total obtenemos

−−→

P X = α−−→P Q +−−→P X
= α−−→P Q + βP R +−→ −−−→P X

= α−−→P Q + β−→P R + γ−→P S. Si α−−→P Q + β−→P R + γ−→P S = >0, entonces

P− γ−→P S = P + α−−→P Q + β−→P R.

El punto X = P + α−−→P Q est´a en la recta P Q, contenida en P QR, el punto P + α−−→P Q + β−→P R est´a en la paralela a P R por X, luego est´a tambi´en en P QR, mientras que el punto P−γ−→P S est´a en la recta P S, cuyo ´unico punto en com´un con P QR es P . Por lo tanto, P − γ−→P S = P , lo que implica que γ = 0. Del mismo modo se concluye que α = β = 0.