Humanoid Cyclist Model

El teorema 6.8 caracteriza las homotecias y las traslaciones de un espacio af´ın como las biyecciones que transforman cada recta en una paralela. Lo m´as destacable es que no hace falta suponer que las biyecciones sean afines, por lo que estamos en condiciones de tomar esta caracterizaci´on como definici´on. Definici´on 7.8 Dado un espacio af´ın E, llamaremos HT(E) al conjunto de to- das las aplicaciones biyectivas de E en s´ı mismo que transforman cada recta en una paralela. Es claro que HT(E) es un grupo con la composici´on de aplicacio- nes. Un elemento de HT(E) es una homotecia si tiene al menos un punto fijo y es una traslaci´on si es la identidad o bien no tiene puntos fijos.

Probamos en primer lugar un resultado general:

Teorema 7.9 Si dos elementos de HT(E) coinciden en dos puntos distintos cualesquiera, entonces son iguales.

7.2. Homotecias y traslaciones 179

Demostraci´on: Sean P y Q dos puntos de E y f ∈ HT(E). Veamos que la imagen de cualquier otro punto R est´a determinada por las de P y Q. Supongamos primeramente que R no est´a en la recta P Q. Entonces f [P R] es una recta paralela a P R, luego es exactamente la recta paralela a P R que pasa por f (P ). Similarmente f [QR] es la recta paralela a QR que pasa por f (Q). Como P R y QR no son paralelas entre s´ı, las rectas f [P R] y f [QR] tampoco lo son. En particular no son coincidentes, pero tienen en com´un el punto f (R). Por lo tanto f (R) es necesariamente la intersecci´on de la paralela a P R por f (P ) con la paralela a QR por f (Q), lo cual s´olo depende de f (P ) y f (Q). Con esto hemos probado que dos elementos cualesquiera de HT(E) que coincidan sobre P Q han de coincidir sobre E salvo quiz´a la recta P Q. Tomando una recta paralela a P Q, sobre la que ya tenemos que coinciden, el razonamiento anterior prueba que tambi´en coinciden en P Q.

En particular cada homotecia distinta de la identidad tiene un ´unico punto fijo, al que llamaremos centro de la homotecia.

Probamos ahora una caracterizaci´on de las homotecias y traslaciones me- diante una propiedad m´as d´ebil que nos ser´a ´util en la secci´on siguiente: Teorema 7.10 Sea f : E−→ E una aplicaci´on tal que para todo par de puntos P y Q, f (Q) est´a sobre la recta paralela a P Q que pasa por f (P ). Entonces f es constante o bien f ∈ HT(E).

Demostraci´on: Supongamos que existen dos puntos P y Q tales que f (P ) = f (Q) = X. Entonces, para todo punto R exterior a la recta P Q, tenemos que f (R) ha de estar en la recta paralela a P R por X y en la recta paralela a QR por X. Como estas rectas no son paralelas entre s´ı, se cortan s´olo en X, luego f (R) = X para todo punto fuera de P Q. Sustituyendo P y Q por dos puntos en una recta paralela a P Q, el razonamiento anterior nos da que f (R) = X para todo punto de P Q, luego f es constante.

Dicho de otro modo, si f no es constante, entonces es inyectiva. En tal caso consideremos dos puntos cualesquiera P y Q y sea R
un punto exterior a la recta f (P )f (Q). Por hip´otesis las rectas P Q y f (P )f (Q) son paralelas, luego est´an contenidas en un mismo plano π. Sea π
el plano paralelo a f (P )f (Q)R
por P . ´Este corta a π en una recta paralela a f (P )f (Q) por P , es decir, en la recta P Q. El plano P f (P )R
corta a π
en una r recta paralela a f (P )R
, y el plano Qf (Q)R
corta a π
en una recta s paralela a f (Q)R
por Q. Como ambas est´an contenidas en π
y no pueden ser paralelas (porque f (P )R
y f (Q)R
no lo son) necesariamente se cortan en un punto R. Por hip´otesis f (R) est´a en la paralela a P R por f (P ) y en la paralela a QR por f (Q), luego est´a en r∩ s y por lo tanto f (R) = R
. Esto prueba que todos los puntos exteriores a la recta f (P )f (Q) tienen antiimagen por f . Cambiando de puntos probamos lo mismo para los puntos de la recta exceptuada. Por lo tanto f es biyectiva.

Finalmente, dada una recta r y un punto P ∈ r, la imagen de cualquier punto Q∈ r ha de estar en la paralela a r por f(P ), llam´emosla r
. Rec´ıprocamente, todo punto de r
es de la forma f (Q), para un cierto punto Q que ha de estar

en r, o en caso contrario f (Q) estar´ıa en la paralela a P Q por f (P ), que ser´ıa una recta distinta a r
. Por lo tanto f [r] = r
y as´ı f ∈ HT(E).

Definici´on 7.11 Una traza de f ∈ HT(E) es una recta r tal que f[r] = r. Tres hechos obvios sobre trazas son los siguientes:

1. Las trazas de la identidad son todas las rectas.

2. Si f ∈ HT(E), entonces cada punto P que no sea un punto fijo para f est´a en una ´unica traza, a saber en la recta P f (P ).

3. Si dos trazas se cortan en un punto, entonces ´este es un punto fijo. Teorema 7.12 Las trazas de una homotecia distinta de la identidad son el haz de rectas que pasan por su centro. Las trazas de una traslaci´on distinta de la identidad forman un haz de rectas paralelas al que llamaremos direcci´on de la traslaci´on.

Demostraci´on: Si f es una homotecia de centro P , entonces toda recta P Q es una traza, pues f [P Q] = P f (Q) ha de ser una recta paralela a P Q, luego ha de ser P Q. Rec´ıprocamente, si QR es una traza pero no coincide con P Q, que tambi´en es una traza, entonces f (Q) = Q, luego f (Q) = Q, luego Q = P . En cualquier caso la recta QR pasa por P .

Si f es una traslaci´on, las trazas de f son claramente las rectas de la forma P f (P ). Hemos de ver que dos cualesquiera de ellas son paralelas. Sea Qf (Q) una recta distinta. Como f no tiene puntos fijos, las dos rectas son disjuntas. Hemos de probar que est´an sobre un mismo plano. Ahora bien, f [P Q] es una recta paralela a P Q, luego P , Q, f (P ) y f (Q) est´an sobre un mismo plano, luego P f (P ) y Qf (Q) tambi´en.

Teorema 7.13 Si dos traslaciones coinciden sobre un punto son iguales. Demostraci´on: Sea f una traslaci´on y P un punto arbitrario. Sea Q un punto fuera de P f (P ). Entonces las trazas P f (P ) y Qf (Q) son paralelas, luego Qf (Q) es exactamente la paralela a P f (P ) por Q. Igualmente f (P )f (Q) es la paralela a P Q por f (P ). Como P f (P ) no es paralela a P Q, las rectas Qf (Q) y f (P )f (Q) no pueden ser paralelas, luego no son coincidentes, luego f (Q) es exactamente la intersecci´on de la paralela a P f (P ) por Q y la paralela a P Q por f (P ). Esto prueba que dos traslaciones que coincidan sobre P coinciden tambi´en sobre un segundo punto Q, luego son iguales por 7.9.

Teorema 7.14 Las traslaciones forman un subgrupo normal de HT(E), al que representaremos por T(E). Las traslaciones con una misma direcci´on forman tambi´en un subgrupo normal.