Grid Connectivity for Droplet Tracking

El algoritmo utilizado para la optimización del modelo propuesto es el que se plantea a continuación.

i) FIJACIÓN DE LAS FRECUENCIAS

Se determinan y fijan las frecuencias a ser utilizadas en la próxima iteración del algoritmo. Dichas frecuencias pueden ser las frecuencias vigentes en el sistema de manera previa a su optimización u otras que se quieran proponer.

Fijación de las frecuencias

Construcción de un itinerario factible inicial

Fijación de las demandas Optimización

¿Es posible mejorar la asignación? ¿Es posible proponer nuevas frecuencias? INICIO TÉRMINO SÍ SÍ NO NO

ii) CONSTRUCCIÓN DE UN ITINERARIO FACTIBLE INICIAL

El modelo, para una mejor y más rápida optimización, requiere de un itinerario factible inicial. Dicho itinerario se puede encontrar en todos los casos fijando las variables según se indica a continuación.

Esto es, todas las líneas tienen un bus iniciando su recorrido en el instante de referencia y los tiempos de retención en todas las paradas son nulos. En consecuencia, los instantes de salida de los buses de todas las líneas desde las paradas en que inician sus recorridos quedan dados por con y los instantes de llegada y salida desde el resto de las paradas de sus recorridos quedan dados por ∑ también con . Así también, a partir de lo anterior y de manera inequívoca quedan determinados los tiempos de ciclo de cada una de las líneas y el costo operacional.

iii) FIJACIÓN DE LAS DEMANDAS

A partir de un itinerario factible previo, esto es, los instantes de llegada y salida de los buses desde cada una de las paradas es posible encontrar la mejor ruta posible entre todos los pares origen-destino y para todos los instantes posibles de llegada de los pasajeros. Lo anterior minimizando el costo total percibido por ellos. De esta manera, en esta etapa del algoritmo, ya sea a partir del itinerario factible inicial o de los itinerarios obtenidos tras la última iteración, se asigna la demanda que se origina en cada instante por cada par origen-destino a la ruta con menor costo que lo une.

Es importante mencionar que a la hora de asignar las demandas a las rutas con menores costos deben considerarse todos sus componentes, es decir,

también los costos asociados a los tiempos de caminata, los tiempos de viaje y las penalizaciones por transbordo aun cuando estos hayan podido ser eliminados de la función objetivo.

iv) OPTIMIZACIÓN

Habiéndose fijado las frecuencias y las demandas así como dado un itinerario factible anterior, es posible intentar optimizar el modelo con alguno de los algoritmos de resolución exacta disponibles en el mercado. De esta manera se sincronizan los itinerarios de la mejor manera posible desfasando los instantes de salida de los buses de cada línea y modificando los tiempos de retención en cada una de las paradas. Para efectos de este trabajo se utilizó CPLEX sobre la base de ILOG AMPL 11.0. Todo esto corriendo en un servidor Linux con 16GB RAM.

Notar que el óptimo que se encuentra es necesariamente un óptimo global para esta instancia debido a que se está optimizando un problema completamente lineal y por ende convexo. Por otra parte el costo total social se reduce dado que la solución previa es factible para este problema y el propósito del modelo es justamente minimizar los costos.

v) MEJORA EN LA ASIGNACIÓN

Dado que el modelo fue optimizado manteniendo fija la asignación de la demanda, es posible que tras la optimización llevada a cabo en el paso anterior, las rutas sobre las cuales fueron asignadas las demandas ya no sean las con menor costo para llegar del origen al destino que sirven. De serlo estamos en una solución óptima al menos para las frecuencias en estudio por lo que solo es factible pasar al paso vi) y analizar la posibilidad de estudiar nuevas frecuencias. De no serlo, es posible reasignar las demandas a las rutas con menor costo debiéndose volver al paso iii).

Notar que con esto se obtiene una solución global igualmente factible pero con un costo total del sistema menor respecto de la solución anterior. Esto dado que los costos operacionales se mantienen mientras que los costos para los usuarios caen.

vi) PROPUESTA DE NUEVAS FRECUENCIAS

Habiéndose alcanzado un óptimo para las frecuencias en estudio durante las últimas iteraciones del algoritmo solo cabe preguntarse si acaso es razonable optimizar el sistema para un conjunto distinto de frecuencias de los servicios y probar así si acaso puede conseguirse una solución mejor. De bastar con las soluciones previamente obtenidas se está en condiciones de finalizar el algoritmo mientras que, de querer hacer nuevas iteraciones con otras frecuencias, se debe volver al paso i).

Con respecto a la búsqueda de nuevos conjuntos de frecuencias, si bien no podemos asegurar que ellos necesariamente conlleven una mejor solución, sí se pueden proponer inteligentemente algunas alternativas. Si suponemos un caso base en que los servicios funcionan de manera perfectamente regular pero sin ningún tipo de sincronización entre las distintas líneas, sin ningún tipo de retención en las paradas y sin hacer públicos los itinerarios de los buses, podemos suponer que los tiempos de espera de los pasajeros se regirán, en promedio, en todas las etapas de viaje según la fórmula propuesta por Larson y Odoni (1981), esto es.

̅̅̅̅̅ (‎4.1)

Luego, considerando la expresión (‎3.2) para calcular el costo operacional asociado a cada línea y reescribiendo la flota necesaria para operar la línea como , podemos escribir el aporte al costo total del sistema hecho por cada línea y los pasajeros que la abordan en función del headway de dicha línea como

̅ (‎4.2) Donde corresponde a la demanda total de pasajeros que abordan dicha línea, corresponde a la suma de los costos en que incurren dichos pasajeros por caminar para abordar la línea , corresponde a la suma de los costos asociados al viaje a bordo de los buses de dicha línea de cada uno de los pasajeros y corresponde a la suma de las penalizaciones por transbordo que pagan los pasajeros que utilizan la línea .

Dado que la demanda se encuentra previamente asignada , y no dependen de las frecuencias de los servicios. Luego, derivando la expresión (‎4.2) con respecto a se obtiene.

̅

(‎4.3) Luego, el headway óptimo para cada línea dadas las demandas y demás condiciones del caso base antes descrito, queda dado por.

√ ̅ (‎4.4)

Con lo que se tiene un primer conjunto de frecuencias distintas de las previamente vigentes que podrían ser probadas durante el desarrollo del algoritmo. En todo caso, la pertinencia de estas frecuencias dependerá de la demanda que se tenga por cuanto en un sistema o período con baja demanda, las frecuencias que se le exigirán al operador probablemente distarán muchísimo de las que se podrían considerar óptimas. En dicho caso, los resultados que se obtengan igualmente sirven de pauta para establecer, aunque en otro orden de magnitud, las frecuencias de uno y otro servicio.

Además de lo anterior, se aconseja revisar a Ting y Schonfeld (2005) quienes sugieren para obtener mejores resultados normalizar las frecuencias de los distintos servicios de manera que pasen por las distintas paradas con intervalos iguales de tiempo. De esta

forma y a partir de las frecuencias obtenidas previamente, se propone igualar todas aquellas frecuencias que sean relativamente similares y fijarlas todas de tal forma que sean múltiplos enteros de la frecuencia más pequeña.