La última fase usa la información recolectada para dar paso al análisis comparativo de las prácticas matemáticas de Wallis y Newton ya descritas en el apartado de Marco de referencia, con lo elaborado por los estudiantes.
Deconstrucción de las “prácticas matemáticas” de los estudiantes del José Max León El trabajo sobre el análisis comparativo va más allá de los resultados de los estudiantes, ya que se está mirando a partir de los componentes de las prácticas matemáticas, del tipo de elementos que han logrado establecer respecto a las tareas que pueden ser resueltas a partir de métodos no necesariamente analíticos. El análisis recae sobre las prácticas matemáticas y no sobre los errores o dificultades de los estudiantes y se intenta generalizar el tipo de prácticas matemáticas de los estudiantes; es decir, se intenta establecer grupos de prácticas similares.
Para la comparación entre las prácticas de los estudiantes con prácticas de Wallis y Newton, se analiza las evidencias fotográficas y audiovisuales así como los materiales producidos en el desarrollo de la situación por parte de los estudiantes; una vez establecidos los elementos de los componentes se genera unas tablas de para cada grupo de estudiantes. Entonces se agrupa a los estudiantes según el tipo de respuestas dadas a la situación.
Los grupos de estudiantes se componen para el análisis de este trabajo en tres grupos más grandes, por sus características comunes a resaltar con respecto a la solución dada en el planteamiento. En el Grupo 1 se encuentran los estudiantes que realizan un especial énfasis en la longitud de las líneas, esto desde la posibilidad de la ocupación de espacios, o la refinación de procesos que determinen las longitudes. El Grupo 2 se ubica los trabajos que tienen como principal método para la ocupación de espacios la utilización de figuras como rectángulos, trapecios, triángulos y semicírculos. En el Grupo 3 se clasifica a los métodos que incluyen en la solución de la situación a las funciones.
Grupo 1:
Este es el grupo mayoritario de estudiantes; usó métodos de recubrimiento de áreas a partir de pequeños trapecios, o que potencialmente irían en camino hacia esa idea de reducir el tamaño de los trapecios o rectángulos hasta asemejarlos a las líneas. En este grupo se ubican los subgrupos 1-1, 1-2 y 1-3.
Iniciando se analiza el grupo que se nombrará como Grupo 1-1, en este caso se toma como evidencia del trabajo fotografías y los vídeos mientras se realiza la sustentación oral de la solución que dan los estudiantes, dicho proceso ocurrirán con todos los grupos analizados. Los vídeos se podrán ver en el apartado de anexos, por medio de los enlaces.
Para la frecuencia de sucesos, los tiempos de los sucesos y el hallazgo de evidencias de los componentes de las prácticas los datos se procesaron con el programa ELAN 5.4. Parte de los resultados se presentan mediante imágenes provenientes directamente del software aludido. .
Fotografía 1. Parte del material escrito generado por estudiantes del Grupo 1-1 sobre la hoja de enunciación durante la fase de puesta en marcha.
Fotografía 2. Segunda parte del desarrollo del Grupo 1-1.
Lo que se ve en las Fotografías 1 y 2, y en las grabaciones de video, es la búsqueda del Grupo 1-1 de hacer lo que llaman ellos, “fragmentos más pequeños” para buscar la altura de cada uno de los trapecios, mientras que el ancho fue determinado por “promedios de los rangos” de las líneas horizontales, comparando el lado mayor con el lado menor para sacar un promedio, en su práctica no afirman tácitamente poder hacer trapecios más pequeños, pero potencialmente se dirigen a ese tipo de interpretación, pues en sus representaciones muestran trapecios cada vez más pequeños en la búsqueda de rangos cada vez más pequeños en las longitudes de las líneas.
El análisis se centra en los ítems c. y d, pues en estas preguntas el problema de las cuadraturas se hace explícito; sobre todo en la pregunta ¿cómo hallar el área de la parábola de la Figura 2?
Los resultados encontrados mediante el ELAN para el Grupo 1-1 se muestran de la siguiente forma:
Imagen 11. Estadísticas generales del Grupo 1-1.
En las estadísticas generales que muestra ELAN se determina una existencia mayoritaria de comentarios pertenecientes a los componentes de conjunto de razonamientos aceptados (CRA) y a lenguaje, cada uno presenta 4; el componente con mayor duración es el CRA con 5.6% de la duración del vídeo. Los comentarios específicos para cada componente son:
Imagen 12. Comentarios pertenecientes al Conjunto de razonamientos aceptados. Grupo1- 1.
Los comentarios de Conjunto de razonamientos aceptados, en el mismo orden de la Imagen 12 son:
1. Se pueden hacer partes de partes ya hechas.
2. El promedio de las alturas se buscan para igualar lo ancho de los rectángulos y sólo buscar lo ancho de cada uno.
3. Se realizan promedios de las líneas horizontales que se muestran en la figura o en los anchos, para buscar los promedios de los rectángulos más pequeños que los contienen en un rango. (2 veces)
Imagen 13. Comentarios pertenecientes a Puntos de vista meta-matemáticos. Grupo1-1.
El comentario de Conjunto de puntos de vista meta-matemáticos, Imagen 13 es: Los dibujos sirven como base para mostrar la veracidad de un proceso aritmético.
Imagen 14. Comentarios pertenecientes a Lenguaje. Grupo1-1.
Los comentarios de Lenguaje, en el mismo orden de la Imagen 14 son: 1. Cada fragmento lo dividimos en 4 espacios.
3. Se hallan promedios de distancias.
Imagen 15. Comentarios pertenecientes al Conjunto de cuestiones aceptadas como importantes.
Los comentarios de Conjunto de cuestiones aceptadas, en el mismo orden de la Imagen 15 son:
1. ¿Cómo hallar las medidas de las diferentes “líneas” dentro de la curva? 2. ¿Cómo hallar la medida posible de los pequeños rectángulos?
Grupo 1-1.
Los comentarios de Conjunto de declaraciones aceptadas, en el mismo orden de la Imagen 16 son:
1. Cualquier espacio se pude dividir y volver a hacerlo.
2. La suma de los rangos de área logran ser igual a la parábola.
En el Grupo 1-2 se encuentran métodos o ideas parecidas a las del Grupo 1-1 en su aproximación a la situación propuesta, es por ello que se ubican asociados en una misma práctica; sin embargo, este grupo tiene una explicación oral más fluida sobre las ideas empleadas en cada ítem, aunque confunden algunos términos. El enlace del video correspondiente está en el Anexo como Grupo 1-2.
Fotografía 3. Parte del material escrito generado por estudiantes del Grupo 1-2 sobre la hoja de enunciación durante la fase de puesta en marcha.
Sobre las respuestas dadas por este grupo es bueno resaltar lo hecho en los ítems a. y b.; ven en las líneas de la impresora la posibilidad de hallar áreas, ya que tienen un grosor así este sea mínimo, por otra parte en él ítem c. ponen como punto de partida hallar promedios entre una línea mayor y una menor dadas en las figuras de la tarea; toman como ejemplo la
línea de 6cm y la de 5,65cm, dicen que todas las líneas tienen una anchura diferente, sin embargo solo dicen hallar unas cuantas, bajo el método de promedios.
En el ítem d. se alejan un poco la idea expuesta en el ítem c., deciden hallar el área de la figura por medio de trapecios y un semicírculo “en la punta”, este proceder lo haría perteneciente al Grupo 2, pero por sus aportes en los ítems anteriores se les ha ubicado en el Grupo 1.
En el estudio realizado desde el ELAN se encuentran las siguientes estadísticas generales:
Imagen 17. Estadísticas generales del Grupo 1-2.
Las estadísticas muestran que CRA y Conjunto de declaraciones aceptadas (CDA) son los componentes que más se repiten con 3 comentarios cada uno; el de mayor duración es CRA, con un 23% del tiempo de los comentarios.
Imagen 18. Comentarios pertenecientes al Conjunto de razonamientos aceptados. Grupo1-2
Los comentarios de Conjunto de razonamientos aceptados, en el mismo orden de la Imagen 18 son:
1. Hallar el área de las líneas para dividir el área del rectángulo y así hallar la cantidad de líneas en el rectángulo.
2. La suma de áreas de otras figuras son equivalentes al área de la parábola, entonces basta con hallar cada parte y juntarlas.
3. Se hallan promedios de las líneas mostradas que se pueden repetir [los promedios de las longitudes obtenidas].
El comentario de Puntos de vista meta-matemáticos, en la Imagen 19 es: Se asume desde la institución la verdad de los procesos matemáticos, se usa la gráfica como herramienta demostrativa.
Imagen 20. Comentarios pertenecientes a Lenguaje. Grupo1-2.
Los comentarios de Lenguaje, en el mismo orden de la Imagen 20 son: 1. Líneas con áreas.
2. Usan lenguaje para hallar promedio pero no lo nombran como tal.
Imagen 21. Comentarios pertenecientes al Conjunto de cuestiones aceptadas como importantes. Grupo 1-2.
El comentario de Conjunto de declaraciones aceptadas, en la Imagen 21 es: ¿Cuántas líneas se necesitan para ocupar el espacio?
Imagen 22. Comentarios pertenecientes al Conjunto de declaraciones aceptadas. Grupo 1-2.
Los comentarios de Conjunto de declaraciones aceptadas, en el mismo orden de la Imagen 22 son:
1. Con el área de las líneas se puede completar el área de los rectángulos. 2. Las parábolas se pueden completar con otras figuras como semicírculos y trapecios.
3. Se acepta la existencia del área en las líneas.
En el caso del caso del Grupo 1-2 hubo un especial enfoque en la cantidad de líneas que se precisan para completar los espacios que se les pedían, las estudiantes hicieron un gran esfuerzo en especificar el proceso de la cantidad de líneas en el rectángulo o la parábola.
En el siguiente grupo, se evidenciará el uso de algunos principios trigonométricos, para hallar algunas medidas, que en son ineficientes hacia el problema, dado a que no lo conectan con el resto de las ideas que quieren llevar a cabo, sin embargo hay algunos apartes por rescatar, este fue denominado como Grupo 1-3.
Como primera medida para hallar la cantidad de líneas que se necesitaban no usaron la línea como área, en este caso tomó el rumbo de ser solo un espacio unidimensional, sin embardo en el ítem c. hacen un aporte muy valioso, al igual que los anteriores grupos dicen encontrar la longitud de la línea por promedios, que para hallar el largo van “a ir
dividiendo, ir dividiendo…y así para encontrar todas las líneas”, esta afirmación le da a este grupo una aproximación más cercana a los límites con respecto a los grupos anteriores, el hecho relevante acá es visión de la repetición de una acción dicho tácitamente para encontrar todos los valores de las longitudes.
Fotografía 4. Desarrollos del Grupo 1-3, para conseguir resolver las situaciones.
En el estudio realizado desde el ELAN se encuentran las siguientes estadísticas generales:
Los datos que arroja ELAN muestran que hay 6 comentarios a destacar en el componente la categoría de lenguaje, los porcentajes de tiempo en los que se puede evidenciar alguna de los componentes resalta a puntos de vista meta-matemáticos y al CRA, en el que los porcentajes del tiempo de la grabación dedicados a estos fueron de 70,6% y 60,3% respectivamente. Este fue un grupo que alcanzó a desarrollar con cierta profundidad la tarea.
Las estadísticas por componente fueron:
Imagen 24. Comentarios pertenecientes a Conjunto de razonamientos aceptados. Grupo1-3.
Los comentarios de Conjunto de razonamientos aceptados, en el mismo orden de la Imagen 12 son:
1. Como la figura no es un rectángulo entonces la porción que se quita también se le quita a lo ancho.
2. Las líneas hacen la figura con anchuras iguales, entonces basta con dividir para saber cuántas líneas se necesitan.
3. Se debe restar el triángulo que no pertenece a la figura, entonces se debe hallar el lado faltante del triángulo.
4. Si la figura fuese un rectángulo todas las líneas de ancho medirían igual.
Imagen 25. Comentarios pertenecientes a Puntos de vista meta-matemáticos. Grupo1-3.
Los comentarios de Puntos de vista meta-matemáticos, en el mismo orden de la Imagen 25 son:
1. El teorema es una verdad matemática (2 veces).
2. Si existe relación entre la operación y una correspondiente representación geométrica entonces es matemáticamente correcto (2 veces).
Imagen 26. Comentarios pertenecientes a Lenguaje. Grupo1-3.
Los comentarios de Lenguaje, en el mismo orden de la Imagen 26 son: 1. Ancho=altura.
2. Ancho de la línea.
3. Hipotenusa total, refiriéndose a la suma de hipotenusas formadas en la figura.
4. Largo=base.
5. Pedacito=segmento (2 veces).
Imagen 27. Comentarios pertenecientes al Conjunto de cuestiones aceptadas como importantes. Grupo 1-3.
Los comentarios de Conjunto de cuestiones aceptadas, en el mismo orden de la Imagen 27 son:
1. ¿Cuántas líneas hay en el rectángulo? 2. ¿Cuánto mide lo largo de la línea? 3. ¿Cómo se calcula el área de una figura?
Imagen 28. Comentarios pertenecientes al Conjunto de declaraciones aceptadas. Grupo 1-3.
Los comentarios de Conjunto de aceptados, en el mismo orden de la Imagen 28 son: 1. Es necesario tener el lado de un triángulo para hallar el área.
2. Es posible hallar el área de una figura menor, a partir de sacarle a una mayor una menor dentro de ella.
3. La división me indica cuantas líneas caben en un espacio determinado. 4. Todas las “hipotenusas” son iguales.
Una de las formas interesantes que usó el Grupo 1-3 fue la aproximación a medidas por medio de teoremas trigonométricos, en ello se puede decir que de alguna manera existe una visión de tangente a la parábola, mostrando un método distinto para alcanzar la medida de la curva.
La tabla condensa los resultados del análisis realizado para los tres subgrupos anteriormente presentados, permitiendo una visión de los componentes de las prácticas matemáticas de manera análoga a como se hizo con las prácticas de Wallis y Newton.
Tabla 3.
Relación entre los componentes de la práctica matemática y el trabajo analizado por el determinado Grupo 1
Cinco componentes de la práctica matemática según
Kitcher
Aportes en las cuadraturas del “Grupo 1”
Lenguaje
● El nombrar los segmentos fue diversificado, se usaron términos cómo “pedacito” para este fin.
● “Rango” fue una palabra usada para decir un intervalo posible de medida tanto de área como de longitud del ancho.
● El término promedio como la suma de dos términos al dividirlo entre 2.
● Al momento de la sustentación oral, el lenguaje matemático se hace mucho más lejano, sin embargo la mayoría tienen especial cuidado con diferenciar el ancho y el alto, utilizan con regularidad una expresión de partes.
● De diferentes maneras los estudiantes dicen tener la posibilidad de repetir un mismos proceso “muchas veces”
● Las representaciones gráficas sirven como apoyo para determinar un proceso.
Conjunto de puntos de vista meta-
matemáticos
● Para argumentar la idea de sus desarrollos, los estudiantes se sustentan primero en la acción que van a realizar, para posteriormente realizar operaciones, por ejemplo, en primera instancia ven la figura como un elemento proporcional en su decrecimiento de la figura de abajo hacia arriba, así que utilizan promedios para hallar la longitud de una línea que se encuentra en la mitad de otros dos.
● No se utiliza elementos de validación en cuanto la confirmación de esta primera intuición.
● Los teoremas son verdades matemáticas que pueden servir de método intermedio para una finalidad distinta al original.
Conjunto de razonamientos
aceptados
● Sí las líneas marcan un espacio sobre la figura dada, entonces es posible completar la figura con líneas adentro.
● El proceso de división o promedios de las longitudes se puede repetir, entonces entre más repeticiones se hagan más próximo es al resultado real
Conjunto de preguntas seleccionadas como
importantes
● ¿Cómo puedo ocupar el espacio de una parábola?
● ¿Cómo se puede determinar áreas rectangulares más pequeñas? ● ¿Cómo calcular cualquier punto en una curva?
Conjunto declaraciones
aceptadas
● Reconocen que la anchura de la parábola decrece de forma proporcional.
● Las áreas más pequeñas pueden ocupar áreas más grandes, es la generalidad de las declaraciones aceptadas.
● A una colección de líneas aunque sean diferentes todas, se es posible asignar un valor dentro de un “rango”.
● Aceptan que la parábola decrece de forma proporcional.
● Las líneas tangentes a la parábola se aproximas cuanto se quiera en su longitud
Comprende el trabajo desarrollado por el Grupo 1. Evidencia de la relevancia, del análisis del trabajo matemático para este grupo de estudiantes mediante los componentes de la práctica matemática de Kitcher.
Grupo 2:
En este grupo los estudiantes decidieron tomar la vía de rellenar áreas a partir de otras que ya conocen como lo son trapecios, semicircunferencias, rectángulos y triángulos, algunos con métodos más refinados que otros.
Fotografía 6. Segunda parte del trabajo elaborado por el Grupo 2-1.
En el Grupo 2-1, se evidencia su trabajo en las Fotografías 5 y 6, en la primera se muestra el desarrollo del ítem c. principalmente, en este se muestran desarrollos muy parecidos a los establecidos por el Grupo 1, en general se realizan particiones buscando la longitud
intermedia tomando “rangos” de líneas, entre los lugares no delimitados de la guía.
Por otra parte la razón principal por la que este trabajo aparece en el Grupo 2 es por el detalle que se establece en el ítem d. Pues además de ocupar espacios por medio de
trapecios con notación de sumatoria, sin embargo hay una contrariedad en la parte superior de la parábola, entonces decidieron tomar un último trapecio y una semicircunferencia, la primera fue tomada como interna y la segunda como externa, al terminar tomaron el promedio de las dos y lo sumaron al resto de trapecios, esa información esta consignada en la Fotografía 6; además utiliza términos como área bajo la curva y completar el área de la parábola.
En el estudio realizado desde el ELAN se para el Grupo 2-1 se encuentran las siguientes estadísticas generales:
Imagen 29. Estadísticas generales del Grupo 2-1.
Los datos que arroja ELAN muestran que hay 5 comentarios a destacar en la categoría de CRA, asimismo 4 en conjunto de declaraciones aceptadas y lenguaje, los porcentajes de tiempo en los que se puede evidenciar algunas de los componentes sobresale el CRA, en el que los porcentajes en el tiempo de la grabación fue de 20%, este fue un grupo que alcanzó a desarrollar con cierta profundidad la tarea, alcanzando a explicar algunos procesos con precisión.
Imagen 30. Comentarios pertenecientes al Conjunto de razonamientos aceptados. Grupo 2- 1.
Los comentarios de la Imagen 30 son:
1. La parábola se pueden componer por áreas más pequeñas en figuras como trapecios, semicírculos y rectángulos.
2. Las líneas intermedias se pueden estimar en un intervalo con el promedio de la ya existente, encontrando la mitad.
3. Las líneas tienen anchura, entonces basta con dividir la anchura de las líneas