Individual Components’ Description

6.1.

Cota Superior e Inferior

Antesdepresentarleselaxiomadelsupremo,axiomadelosnúmerosreales, debemosestudiarunaseriededeniionesquesirvenparaaotaronjuntos: otassuperioreseinferiores,máximosymínimos,supremoseínmos. Deniión6.1 (Aotado Superiormente). Un onjunto

A

es aotado superiormentesiexisteunreal

M

queesmayorquetodosloselementosdel onjunto

A

,es deir

(_∃M

_∈R) (_∀x_∈A)

tal que:

x≤M.

Aeste número

M

,selellamaráotasuperiorde

A.

Observaión: Cualquier otrorealmayorque

M

, también será una ota superiorde

A.

Deniión6.2 (Aotado Inferiormente). Un onjunto

A

es aotado inferiormente si existe un real

m

que es menor que todos los elementos del onjunto

A

,esdeir

(_∃m_∈R) (_∀x_∈A)

talque:

m≤x.

Aeste número

m

se lellamaráota inferiorde

A.

Observaión: Cualquierotro real menorque

m

, también será una ota inferiorde

A.

Deniión6.3. Un onjunto aotado superior e inferiormente, se die aotado.

Ejemplos:

1.

A

= (−∞,5)

. Este intervalo esaotado superiormente, una ota superiores

5

,yelonjuntodelasotassuperioreses

[5,∞)

. No hay otas superiores

m <5

, ya que siempre existe

ε >0

tal que

m+ǫ∈A

y

m < m+ε

.

Elintervalonoesaotadoinferiormentepuesdadounreal

m <5

, unaotainferiorpara

m

sería

m−1

,pero

m−1∈A.

2.

A= [−1,3].

Esteintervaloesaotadosuperioreinferiormente.El onjunto delasotassuperioreseselintervalo

[3,∞)

.Y elde las otasinferioreseselintervalo

(−∞,−1].

Observaión: Unaformadedemostrarqueunreal

c

esunaotasuperior paraunonjunto

A

,esprobarqueningúnreal

x > c

pertenee a

A.

Ejemplo 6.1.

A=

x_∈R:x2

≤2

Veamossi

c=

3

2

esotasuperiorde

A

.Si

x >

3

2,

entones

x

2_>

3

2

2

=

9

4

>2.

Porlotanto

x /∈A.

Esto quieredeirqueningúnrealmayorque

3

2

puedeestaren

A.

6.1.1.

Máximo y Mínimo

Deniión6.4 (Máximo). Diremosqueunonjunto

A

poseemáximo,si poseeunaotasuperiorqueperteneeal onjunto.

Deniión6.5 (Mínimo). Diremosqueunonjunto

A

poseemínimo,si poseeunaotainferior queperteneeal onjunto.

Observaión:

Estas dosdeniionesnosdien queelmáximodeunonjuntoesel mayorelemento del onjunto y que el mínimo de un onjunto es el menorelemento delonjunto.

Si elmáximoexiste, esteesúnio.Lomismoourreonelmínimo. Ejemplo 6.2.

1.

A= (−∞,5).

Noposeemáximo,yaqueelonjuntode todas las otassuperioreses

[5,∞)

y

(−∞,5]∩[5,∞) =∅

.

2.

A= [−1,3].

Poseeomomínimoa

−1

yomomáximoa

3.

6.1.2.

Supremo e Infimo

Deniión6.6 (Supremo). Diremos queunonjunto

A

poseesupremo, siexiste unreal

s

quesatisfaelas dos siguientes ondiiones:

1.

s

esunaota superiorde

A.

2. Cualquierotraotasuperiorde

A

esmayorque

s.

Notaión: Elsupremode

A,

sedenotapor

supA.

Deniión6.7 (Ínmo). Diremos que un onjunto

A

posee ínmo, si existe unreal

u

quesatisfae las dossiguientes ondiiones:

1.

u

es unaota inferiorde

A.

2. Cualquierotraotainferior de

A

es menorque

u.

Notaión: Elínmode

A,

sedenota por

´ınfA.

Ejemplo 6.3.

1.

A

= (−∞,5).

Tiene omo supremo el valor

5

, ya que

5

es ota superior del onjunto y ualquier otra ota superior de

A

será mayorque

5.

Notieneínmopuesnoestáaotadoinferiormente. 2.

A

= [−1,3].

Está aotado superior e inferiormente y tiene a

−1

omoínmoya

3

omosupremo(

−1

esmínimoy

3

esmáximo).

6.2.

Características de intervalos

Resumimos ahora las araterístias anteriores en el aso de intervalos, dados

a, b∈

Ron

a < b

:

min max inf sup

[a, b]

a

b

a

b

(a, b)

∄

∄

a

b

[a, b)

a

∄

a

b

(a, b]

∄

b

a

b

(_−∞, b]

∄

b

∄

b

(−∞, b)

∄

∄

∄

b

(a,_∞)

∄

∄

a

∄

[a,∞)

a

∄

a

∄

Quedapropuestoomoejeriio,argumentarlatablaanterior.

6.3.

Propiedades del supremo

Observaión: Siempre se tendrá que si el mínimo

m

de un onjunto

A

existeentoneselínmo

u

de

A

también existeysoniguales.Estoespor- que, el mínimo

m

esuna ota inferior de

A

ypor ladeniión de ínmo tendremosque

m < u.

Porotro lado,omo

m

pertenee alonjunto, toda ota inferiordebe ser menorqueél,enpartiularelínmo

u,

esdeir

u < m.

Porlotanto

m=u.

Lomismosetendráparamáximoysupremo.

Propiedades7. Sean

A

y

B

dosonjuntos,denimos

A+B={x+y:x∈A, y∈B}

y

A·B={x·y:x∈A, y∈B}

,entones

sup(A+B) = sup(A) + sup(B).

sup(A_·B) = sup(A)_·sup(B).

Para

A, B⊆[0,∞)

.

Demostraión. Sólo demostraremos la primera propiedad, la segunda quedaráomoejeriio.

Demostraremos la prmera propiedad demostrando las dos desigualdades quenosdaránlaigualdad.

Primero

sup(A+B)≤sup(A) + sup(B) :

Unelementode

A+B

seesribe omo

x+y,

yestenúmeroesmenorque

sup(A)+sup(B),

pues

x≤sup(A)

e

y_≤sup(B).

Conloualtenemosque

sup(A) + sup(B)

esunaotasuperior del onjunto

A+B

. Entones el supremo de

A+B

debe sermenor que

sup(A) + sup(B).

Luego se tienela desigualdad

sup(A+B)

≤

sup(A) +

sup(B).

Segundo

sup(A+B)≥sup(A) + sup(B) :

Sabemosque para todo

x∈A

e

y

∈

B, x+y

≤

sup(A+B),

es deir para todo

x

∈

A

se tiene

x

≤

sup(A+B)₋y,

loqueequivaleadeirquepara todo

y

∈B,

setiene que el real

sup(A+B)−y

, esota superior de

A.

Entones para todo

y

∈

B

setieneque

sup(A)≤sup(A+B)−y.

Comoespara todo

y∈B,

entones tenemos

y≤sup(A+B)−sup(A).

Luego

sup(B)≤sup(A+B)−sup(A).

Conloualsetienelaotradesigualdad.

6.4.

Axioma del Supremo

En laparteanteriorvimosque hayonjuntos aotadossuperiormenteque noposeenmáximo.Enestosasosomoenelejemplodelintervalo

(−∞,5),

elandidatoasermáximoera

5,

peroestenoperteneíaalonjunto. Sinembargonuestraintuiiónnosdiequetodoonjuntoaotadosuperior- menteposeesupremo.Deheho,laúniaformaqueunonjuntonoposea supremopareeser,quenoseaaotado.

Sin embargo estaintuiión no sepuede deduir de laspropiedades de los reales,porlotantolotenemos queagregaromoaxioma.

Ax.8.Supremo Axioma 8. (Axioma delSupremo)

Todoonjuntonovaíoyaotadosuperiormenteposeeunsupremo. Observaión:

Sepuededemostrarquetodoonjuntonovaíoaotadoinferiormente poseínmo.Enefeto,bastaveriarque

´ınf(A) =−sup(−A)

. Noesiertalapropiedadsiseambiasupremopormáximo.Enefeto

(−∞,5)

notienemáximoperosísupremo.

6.5.

Aplicaciones del Axioma de Supremo

Apliaión1

Parailustrarunadelasapliaionesdelaxiomadelsupremo,vamosadenir laparteenteradeunreal

x >0.

Deniión6.8 (Parte Entera). La parte entera de un real

x >

0

, se deniráomo elsupremodelonjunto

A={n∈N:n≤x}.

Estoestábien denidopueselonjunto

A

esaotadosuperiormentepor

x

yademás

0∈A

. Porlotantoporelaxioma delsupremo, elonjunto

A

poseesupremo.Este supremo será denotado por

[x]

y se llamará ajón inferior de

x

o parte enterade

x.

Ejemplo 6.4.

Laparteenteradel real

3,5

es:

[3,5] = 3.

Ahoraveamosque

[x]

esunnúmeronatural. Como

[x] = sup(A),

elreal

[x]−

1

2,

nopuede seruna otasuperior de

A.

Luegodebeexistirunelemento

n0

en

A

talque

[x]−

1

2

< n0

.Porotraparte, omo

[x]

esunaotasuperiorde

A

setieneque

n0≤[x].

Veamosque

n0

esunaotasuperiorde

A

.Estolotendremossitodonatural

n

queseamayorestritoque

n0

,noperteneea

A.

Si

n > n0,

sededueque

n≥n0+ 1.

Pero sabemosque

n0+ 1>[x] +

1

2

. Conesto tenemos que

n >

[x] +

1

2

>[x]

. Porlotanto,

n

es mayorqueel supremode

A

yentones

n /∈A.

Conesto onluimosque

n0

esuna ota superiorde

A.

Como

n0∈A

,onluimosqueesunmáximoyporendees iguala

[x].

Observaión: Una onseueniaimportante de estoúltimo esque

[x]≤

x <[x] + 1.

Apliaión2

Otraformadeutilizarelaxiomadelsupremoesdeduirpropiedadesaera de

R.

Teorema 6.1. Losnúmerosnaturales nosson aotados superiormente.

Demostraión. Loharemosporontradiión,esdeir,supongamosque

N

es aotado superiormente, esto impliaría por el axioma del supremo que

N

poseesupremo, elualllamaremos

s

.Paraeste supremose tendría que

[s]

≤s <

[s] + 1,

donde

[s] + 1∈

N.

Lo ualontradie que

s

es ota superiorde

N.

Teorema 6.2 (PropiedadArquimediana). Elonjunto

R

es arquime- diano, es deir, para todo real

x >

0

, existe un natural

n

∈

N

, tal que

n·x >1.

Demostraión. Loharemosporontradiión,esdeir,sinosetuviesela propiedad,existiríaunrealpositivo

x

talqueelonjunto

{n·x:n∈N},

sería aotadopor

1,

siendonovaío,tendríaunsupremo

L.

Peroentones

L

x

sería una otasuperior para losnaturales, lo ualontradie el teoremareién visto.

Observaión: El último teorema puede interpretarse omo: sumar una antidad suientemente grandede vees

x

onsigomismo daorigenaun realqueesmayorque

1,

sinimportarquetanpequeñosea

x.

Yademásel valorde

1

puedeambiarseporualquierrealpositivo.

Ejemplo 6.5.

´ınf

1

n, n∈

N

= 0

. Si suponemos que esto no es ierto, es deir existe

m >0

talque

∀n∈

N

, m≤

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