Training Schedule

Observaión: R

\

QsedenominaIysellamanirraionales. Lassiguientes propiedadesquedanpropuestasomoejeriios. Propiedades8.

x, y∈

Q

⇒

x±y∈

Q.

x_∈

Q,

y∈

I

⇒

x+y∈

I

.

x_∈

Q

∗_{, y∈}

I

⇒

x·y∈

I

.

Elteorema

(∗)

,puedeextenderseaI: Proposiión 6.1.

∀x, y∈

Q

, x < y,

∃i∈

I

, x < i < y.

Demostraión. Sabemos,por

(∗)

que

∃p, q∈

Q

, x < q < p < y.

Conestodenimos:

i=q+

√

3

2

(p−q),

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FACULTAD DE CIENCIAS

FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

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Introducción al Cálculo 08-1

Guía Básia

Determinarlaveraidaddelassiguientesarmaiones: 1. Elmáximodelonjunto

{0,1}

es1.

2. Elmínimodelonjunto

{0,1}

es1.

3. Para todo par de reales

a

y

b

, on

a < b

, elmáximo del onjunto

[a, b)

es

b

.

4. Para todopar de reales

a

y

b

, on

a < b

, el supremo delonjunto

[a, b)

es

b

.

5. Para todo parde reales

a

y

b

, on

a < b

, el mínimo del onjunto

(a, b)

es

a

.

6. Paratodoreal

a

,elínmodelonjunto

[a,∞)

es

a

.

7. Todoonjuntonovaíoyaotadosuperiormente poseesupremo 8. Todoonjuntonovaíoyaotadosuperiormente poseemáximo. 9. Todoonjuntonovaíoyaotadosuperiormente poseeínmo. 10. Todoonjuntonovaíoyaotadosuperiormente poseemínimo. 11. Todoonjuntonovaíoyaotadoposeesupremo.

12. Todoonjuntonovaíoyaotadoposeemáximo. 13. Todoonjuntoposeesupremo.

14. Todoonjuntoaotadoposeeínmo. 15.

1

eselsupremode

(1,∞)

16.

−1

eselmáximode

(−2,−1)

.

17. Losnúmerosnaturalessonaotadosinferiormente. 18. Losnúmerosenterossonaotados.

19. Para ualquier parde reales

x < y

existe unentero

q

tal que

x <

q < y

.

20. Para ualquier par de reales

x < y

existe un raional

q

tal que

x < q < y

.

21. Para ualquier par de reales

x < y

existe un irraional

q

tal que

x < q < y

.

22. Paraualquierpardereales

x < y

existeunreal

q

talque

x < q < y

. 23. Si un onjunto

A

6=∅

esaotado superiormente entonessatisfae

queparatodo

M

∈

Rexisteun

x∈A

on

M < x

.

24. Si un onjunto

A

6=

∅

no tiene supremo entones no es aotado superiormente.

25. Paraada

s >0

quesatisfae

s

2_<2

existe

a >0

talque

(s+a)

2_<2

. 26. Para ada

s >

0

que satisfae

s

2

_>

₂

y ada

a >

0

se umple

(s−a)2_>2

.

27. Para ada

s >

0

que satisfae

s

2

_<

₂

y ada

a >

0

se umple

(s+a)2_>2

.

28. Paraada

s >0

quesatisfae

s

2_>2

existe

a >0

talque

(s−a)

2_>2

. 29. Paraada

s >0

existe

n∈

Ntal que

sn >1

.

30. Paraada

s >0

ypara ada

n∈

Nseumple

sn >1

. 31. Paraada

s >0

existe

n∈

N

, n >0

tal que

sn <1

. 32. Paraada

s >0

ypara ada

n∈

Nseumple

sn <1

. 33. Elonjunto

{x∈

Q

:x

2

≤2_}

noesaotadosuperiormente. 34. Elonjunto

{x∈

Q

:x

2

≤2_}

tienemáximo. 35. Elonjunto

{x∈

Q

:x

2

≤2_}

esaotadoinferiormente. 36. Elonjunto

{x∈

Q

:x

2_≤2}

tienemínimo.

37. Lasumadedosnúmerosraionalessiempreesunnúmeroraional. 38. Lasumadedosnúmerosirraionalessiempreesunnúmeroirraional. 39. La suma de un número raional y otro irraional siempre es un

númeroraional.

40. La suma de un número raional y otro irraional siempre es un númeroirraional.

41. Elprodutodedosnúmerosraionalessiempreesunnúmeroraio- nal.

42. Elprodutodedosnúmerosirraionalessiempreesunnúmeroirra- ional.

43. El produtodeunnúmero raionalyotroirraional siempreesun númeroraional.

44. Elprodutodeunnúmeroraionalnonuloyotroirraionalsiempre esunnúmeroirraional.

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Introducción al Cálculo 08-1

Guía de Ejeriios 1. Demuestreque

m´ın{x, y}=

1

2(x+y− |x−y|)

. 2. Demuestreque

m´ax{x, y}=

1

2(x+y+|x−y|)

.

3. Paraadaunodelossiguientesonjuntosdeterminesuaotamiento,la existeniadeínmosysupremosylaexisteniademínimosymáximos. (a)

{x∈

R

:|x| ≥a}

. (b)

{x∈

R

:|x

2_{+ 3x}

|<4}

. ()

{x∈

R

:x+

1

x

<2}

.

(d)

{x∈

R

: [x]<2}

,donde

[x]

eslaparteenterade

x

. (e)

{x∈

Z

:x

2_<7

}

. (f)

{x∈

Z

: 2

x_>2

}

. (g)

A=

Q

∩[−

√

2,√2)

. (h)

{x∈

Q

:x

2

≤x+ 1_}

. (i)

{

1

n, n∈

N

∗_}

. (j)

{(−1)

n₊1

n

:n∈

N

∗_}

. (k)

{x∈

R

:∃n∈

N

, x∈[1−

1

n,1 +

1

n]}

. (l)

{x∈

R

:∃n∈

N

, x·n >1}

.

4. Demuestreque

[0,1)

notienemáximo.

5. Sea

A

subonjuntonovaíodeR.Sea

a

unaotasuperiorde

A

y

c≥0

. Pruebe que

ca

es una otasuperiordel onjunto

{cx:

x∈

A}

(quese denota

cA

).Calule

sup(cA)

entérminosde

sup(A)

yde

c

.

6. Sean

A

y

B

subonjuntosnovaíosdeR

+

.Sea

a

unaotainferiorde

A

y

b

unaotainferiorde

B

.Demuestreque

a+b

esunaotainferiordel onjunto

{x+y:x∈A, y∈B}

,denotadopor

A+B

.Calule

´ınf(A+B)

entérminosde

´ınf(A)

yde

´ınf(B)

.

7. Sean

A

y

B

subonjuntos novaíos de R. Demuestre que si

a

es una otasuperior del onjunto

A

y

b

es una otasuperior del onjunto

B

entones

m´ax{a, b}

es una ota superior de

A

S

B

y

m´ın{a, b}

es una otasuperiorde

A

T

B

.Calule

sup(A

S

B)

y

sup(A∩B)

,entérminos de

sup(A)

y

sup(B)

. 8. Demuestreque

√

5

esirraional.

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Introducción al Cálculo 08-1

Guía de Problemas

La presente guía le permitirá tener una idea bastante preisa del tipo de problemas que debe serapaz de resolver en una evaluaión y el tiempo promedioquedeberíademorarenresolverlos.Entotaldeberíapoderresol- verlaen 3horas.Le reomendamosque trabajeenella unahora antes de lalase detrabajo dirigido,que resuelvasusdudas en lalase detrabajo dirigidoyqueluegodediqueunahoraaesribirondetalleslassoluiones. P1. (10min.)Probarque

´ınf{

1

2n+1

:

n∈

N

}= 0

.

P2. (30min.)Sea

f

unafuniónreienteuyodominioeselintervalo

[0,1]

. Demuestrequeelonjunto

f([0,1])

esaotadosuperiormente.Calule elsupremodelonjunto

f([0,1])

ydeterminesiposeemáximo. P3. (30min.) Dados

a

y

b

reales, demuestre que sipara ualquier

ǫ >0

seumpleque

a≤b+ǫ

entones

a≤b

.Paraargumentar,estudieel onjunto

{ǫ >0 :ǫ≥a−b}

.

P4. (30min.)Sean

S

y

T

subonjuntosnovaíosdeRtalesqueparatodo

x_∈S

y paratodo

y

∈T x≤y

. Probarque

S

tiene supremo, que

T

tieneínmoyque

sup(S)≤´ınf(T)

.

P5. (30min.)Sean

A

y

B

subonjuntosnovaíosdeR,losualesverian lassiguientespropiedades:

(a)

A∪B=

R.

(b) Todoelementode

A

esmenorquetodoelementode

B

Demuestrequeexisteunreal

α

queessimultáneamenteotasuperior de

A

yotainferiorde

B

. Pruebe, además,que dihonúmeroreal

α

esúnio.

P6. (30 min.) Sean

A, B

y

C

subonjuntos de R no vaíos y aotados. Pruebe que si para todo

x

∈

A

y todo

y

∈

B

existe

z

∈

C

tal que

x+y_≤z

entones

sup(A) + sup(B)≤sup(C)

.

P7. (30min.)Sea

A⊆

Runonjuntoaotadosuperiormenteytalquesu omplementoesaotadoinferiormente.Muestreque

´ınf(A

c_{) = sup(A)}

Ingeniería Matemátia

Universidad de Chile

Usaestasnotasal margenpara on- sultar de manera másrápidaelma- terial. Haz tam- bién tus propias anotaiones.

H

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Introducción al Cálculo 08- 1

Ahí enontrarás las guías de ejeriios y problemas, además de informaión aeradeuálseráladinámiadelurso.

SEMANA 9: SUCESIONES

7.

Sucesiones

Deniión7.1 (Suesión). Unasuesiónreal esuna funión:

f

:N

_→

R

n

_→

f(n)

Observaión:

Para distinguir a una suesión de las demás funiones, se oupará paradenotarlassuesioneslasletras

s

,

u

,

v

,

w

,

a

,

b

,

c

,et.enlugarde

f

, ademáslaimagende

n

,esdeir,

s(n)

seanota

sn

enformasubindial. En lugardeesribir

s:N

→

R

n

_→

sn

anotaremosalgunadelassiguientesformas:

(sn)

,

{sn}

,

(sn)n∈N

,

{sn}n∈N

,

{sn}∞n=0

,

(sn)

∞

n=0

.

Informalmenteseanotalosiguiente

(sn) = (s0, s1, s2,· · ·, sj, sj+1,· · ·)

Donde

j

∈N

.

Laimagende

n∈N

, esdeir

sn

,sellamatérmino

n

delasuesión. Aeptaremos muhas vees que un número nito de términos de la suesiónnoesténdenidos,osea,funionesuyodominionoseaexa- tamente

N

. Ejemplos:

sn=

n

2₊₈

n2₊₅+ 2

√_n

(sn)

eslasuesióndenida enformareursivapor:

s0= 1

,

s1= 1

,

sn+2=sn+1+sn.

(sn)

eslasuesión tal quesu término

n

es elenésimodeimalde

π

(

π= 3,141592654. . .

)

s06 ∃

,

s1= 1

,

s2= 4

,

s3= 1

,

s4= 5

,

. . .

sn=

√

n2₋₉

s0

6 ∃s1

6 ∃

,

s2=6 ∃

,

s3= 0

,

s4=

√

7

,

. . .

sn=

p

(₋1)n

(sn) = (1,6 ∃,1,6 ∃,1,6 ∃,1, . . .)

Estafuniónnoestádenidaparalosvaloresde

n

imparyestono esunaantidadnitadetérminos.Esdeir,noesunasuesión.

Observaión: Lassuesionesomoualquierfuniónpuedengraarseen unsistemaoordenado

{OXY}

.Sinembargoestemétodoespooutilizado yaquesusdominiossonsiempre

N

queesunonjuntodepuntosaislados. Ademásestetipodegráonopresentainterésprátioomoseverámás adelanteenlasapliaiones.

Eltipodegráomásutilizadoonsisteengráarsóloelonjuntoimagen enunareta,indiandosobreadapuntoelordenorrespondiente.

7.1.

Convergencia de sucesiones

Deniión7.2 (Convergenia (deniióninformal)). Sea

(sn)

unasu- esión real y sea

ℓ∈R

.Diremosque

(sn)

onvergea

ℓ

,obienque los tér- minos

sn

tiendena

ℓ

(lo quese anota

sn→ℓ

),sidado ualquierintervalo erradodeltipo

[ℓ−ε, ℓ+ε]

on

ε >0

,sólounaantidadnitadetérminos dela suesión quedanfueradeél. Esdeir, todoelrestodelostérminosde estasuesión estándentrodelintervalo.

Ejemplo 7.1.

Consideremos la suesión

(sn)

denida por

sn

=

1

n

, esdeir:

(sn) = (6

∃,1,1₂,1₃,1₄,1₅,1₆, . . .)

.

A simple vista pareiera que al reer

n

, losvalores de

sn

se pareen adavezmása

0

.

Esto nostraeseriassospehasdequeestasuesióntiendea

ℓ= 0

. Para veriar esto, onsideremos

ε >

0

arbitrario y analiemos uales términosdelasuesiónquedandentrodelintervalo

[0−ε,0 +ε]

yuales quedanfuera. Vemosque

sn∈[−ε, ε]

⇐⇒

−ε≤sn≤ε

⇐⇒

−ε_≤

1

n

≤ε

⇐⇒

1

n

≤ε

⇐⇒

n_≥1

ε.

La últimadesigualdadseveria

∀n

, salvopara unnúmeronito.Con esto, es laro que sólo una antidad nita de términos de la suesión quedanfueradelintervalo

[−ε, ε]

,quedandotodoelrestodentrodeél. Esimportanteobservarqueenlamedidaque

ε

seamásymáspequeño, el número de términos de la suesión que quedan fuera del intervalo

[₋ε, ε]

esadavezmásgrande,sinembargosiempreseránunaantidad nita.

Para formalizar la deniión informal dada anteriormente, se debe ex- pliitar qué signia, matemátiamente, que sólo una antidad nita de términosde lasuesión quedan fuerade

[ℓ−ε, ℓ+ε]

. Esto sehae esri- biendoqueapartirdeuniertotérmino,todoslosquesiguenestándentro delintervalo.Esdeir,

(∃n0∈N)(∀n≥n0)sn

∈[ℓ−ε, ℓ+ε].

Conestaonsideraión,ladeniiónformaldeonvergeniaeslaquesigue: Deniión7.3 (Convergenia). Diremos quela suesión

(sn)

onverge a

ℓ

obien quelos términos

sn

tienden a

ℓ

(lo ual anotaremos

sn

→ℓ

)si seumple que:

(_∀ε >0)(_∃n0∈N)(∀n≥n0)sn∈[ℓ−ε, ℓ+ε].

Observaión: Lassiguientesexpresionessonequivalentesalaanterior:

(∀ε >0)(∃n0∈N)(∀n≥n0)ℓ−ε≤sn≤ℓ+ε

(∀ε >0)(∃n0∈N)(∀n≥n0)|sn−ℓ| ≤ε

(∀ε >0)(∃n0∈N)(∀n≥n0)|sn−ℓ|< ε

(_∀ε >0)(_∃n0∈R)(∀n≥n0)|sn−ℓ| ≤ε

Observaión: Elintervalo

[ℓ−ε, ℓ+ε]

suelellamarseenelontextodela Topologia,veindad entorno de

ℓ

. Luego,deirque

sn

→ℓ

esequivalente adeirque apartirdeiertonatural

n0

(es deir, paratodo

n≥n0

), los términos

sn

estántodosdentrodeestaveindadentornode

ℓ

.

El fator

|sn−ℓ|

es ladistania entre

sn

y

ℓ

, luego deir que

sn

→

ℓ

es equivalente a deir que a partirde ierto

n0

ladistania entre

sn

y

ℓ

es menor o igualque

ε

. Como esto último debe ourrir

∀ε

, seonluyeque uando

sn→ℓ

, ladistania entre

sn

y

ℓ

puedehaersetanpequeña omo sedesee.

Cuandounasuesiónnoonvergearealalguno,sediequeesunasuesión divergente.

Ejemplos: Probar que

1

n

→0

Pordemostrarque:

(∀ε >0) (∃n0∈N) (∀n≥

Como

1

n−0

≤

ε

_⇐⇒

1

n

≤ε

⇐⇒

n_≥1

ε,

bastatomar

n0=

1

ε

+ 1

,ysetendráque:

n_≥n0⇒n≥

1

ε.

Observemosqueenlademostraióntambiénpudohaberseelegido

n0

=1_ε+ 1000

(o algosimilar). Notamos entones queel valor de

n0

noes únio, yaque tomar ualquier otro valor mayorque él, también es útil para la prueba. Es deir, en la demostraión delaonvergeniasólodebemosprobarlaexisteniadealgún

n0

, sabiendoquehabránotrosquetambién puedenserusados. Es posible dar una demostraión alternativa reordando que la propiedadarquimedianadie:

(_∀ε >0)(_∃n0∈N)n0ε >1.

Notando que

(∀n≥

n0)

seumple además que

nε≥n0ε >1

,es deir,

nε >1

,lapropiedadarquimedianapuedeesribirse, onve- nientemente,delsiguiente modo:

(∀ε >0)(∃n0∈N)(∀n≥n0)nε >1.

Estaexpresiónesequivalentealaquedeseabamosprobar. Probar usando la deniiónque noes iertoque

1

n

→2

Debeprobarseque:

∼[(∀ε >0)(∃n0∈N)(∀n≥n0)

1

n−2

≤ε],

esdeir:

(_∃ε >0)(_∀n0∈N)(∃n≥n0)

1

n−2

> ε.

Pero

_n1

−2

= 2−1_n

≥1,

∀n∈N

. Luegobastatomar

ε=

1

2

,onloualdadoualquier

n0∈N

,sise toma

n=n0

laproposiiónesierta.

general,yaquesiempreseumplequeuandounasuesión onvergeaun real

ℓ,

noonvergeaotrorealdistinto.

Teorema 7.1. Si

(sn)

esunasuesiónque onvergea

ℓ1∈R

y tambiéna

ℓ2∈R

,entones neesariamente

ℓ1=ℓ2

.

Demostraión. Comolasuesión onvergea

ℓ1

ytambién a

ℓ2

,seum- plensimultáneamentelassiguientesdosproposiiones

(_∀ε >0)(_∃n′0∈N)(∀n≥n′0)|sn−ℓ1| ≤ε

y

(_∀ε >0)(_∃n′′0

∈N)(∀n≥n′′0)|sn−ℓ2| ≤ε.

Notemos quehemos puesto

n

′

0

y

n

′′

0

en las dosfrasesanteriores,en lugar deunúnio

n0

paraambas.Larazónde estoesqueomo, engeneral,

n0

depende dela suesión,de

ε

y del punto al ualla suesión onverge,en laprimeraysegundafrase,los

n0

notienenporquéserigualesentresí.De heho, sisupusieramosapriori queel

n0

es elmismo,lademostraiónno seríaorreta.

Comolasdosfrasesanterioressondatos,dado

ε >0

arbitrario,sitomamos

n0= m´ax{n′0, n′′0}

seumplesimultáneamenteque

(_∀n_≥n0)

|sn−ℓ1| ≤ε

∧ |sn−ℓ2| ≤ε

Enonseuenia, tomando

n=n0,

sededueque:

|ℓ1−ℓ2|

=

|ℓ1−sn0+sn0−ℓ2|

≤ |ℓ1−sn0|+|sn0−ℓ2|

≤

ε+ε

= 2ε

Esdeir

∀ε∈(0,∞),

ℓ1−₂ℓ2

≤ε.

Esto lopodemos interpretar, diiendo que

|ℓ1−ℓ2|

2

es una ota inferior de

(0,∞)

,uyoínmoes

0

. Por lo tanto onluimos que

|ℓ1−ℓ2|

2

≤

0.

Además, es bien sabido que

|ℓ1−ℓ2|

2

≥0

.

Porlotantoseonluyeque

|ℓ1−ℓ2|

2

= 0,

esdeir,que

ℓ1=ℓ2

.

7.2.

Límite

Deniión7.4 (Deniión de límitede una suesión). Si

(sn)

esuna suesiónqueonvergea

ℓ

,entones

ℓ

sellama límitedelasuesión,loual seanotará:

ℓ= l´ımsn

obien

ℓ= l´ım

n

sn

obien

ℓ= l´ım

Observaión: Laproposiiónanteriornosdiequeellímitedeunasue- siónuandoexiste,esúnio.

Ejemplo 7.2. Probar que

l´ım(

n+1

2n+3) =

1

2

Debemosdemostrarque

(_∀ε >0) (_∃n0∈N) (∀n≥n0)

n+ 1

2n+ 3−

1

2

≤

ε.

(7.1)

Parahaerestademostraión,omenemosnotandoque

n+1

2n+3−

1

2

=

2n+2−(2n+3)

2(2n+3)

=

−1

4n+6

=

_4n1₊₆

≤

41n.

Usandoloanterior, notamosquepara demostrar(7.1),bastaon demostrarlasiguienteproposiiónauxiliar

(∀ε >0) (∃n0∈N) (∀n≥n0)

1

4n

≤ε.

Enefeto,estaúltimaimplia(7.1)yaquesi

1

4n

≤ε

entonespor eldesarrolloanterior,setendráque

n+1

2n+3−

1

2

≤ε.

La demostraión de la proposiión auxiliar es muy fáil, ya que bastaonutilizarlapropiedadarquimediana,poniendoenella

4ε

enlugarde

ε

. Ejemplo 7.3. Probar que

l´ım

q

2 +

1

n

=

√

2

Aquí debemosdemostrarque

(∀ε >0) (∃n0∈N) (∀n≥n0)

r

2 +

1

n−

√

2

≤ε.

Análogamentealejemplo anterior,omenemosestudiandola di- fereniaentremódulo. Notemosque

q

2 +

1

n

−

√

2

=

“√

2+1

n−

√

2”“√2+1

n+

√

2”

“√

2+1

n+

√

2”

=

√

n1

2+1

n+

√

2

≤

_√n1

2

≤

1

n.

Usandoeste desarrollo,vemosquepara realizarlademostraión, bastaonestudiarlasiguienteproposiiónauxiliar:

(_∀ε >0) (_∃n0∈N) (∀n≥n0)

1

n

≤ε.

Estaproposiiónesiertaenvirtuddelapropiedadarquimediana.

7.3.

Álgebra de sucesiones nulas y acotadas

Deniión7.5 (Deniión de suesiónnula).

(sn)

sellamarásuesión nulasi

sn

→0

.

Reordando que una suesión es una funión on un dominio partiular, lassiguientesdeniionessonunaadaptaióndelasdeniionesorrespon- dientesyahehasparalasfunionesengeneral.

Deniión7.6 (Reuerdode suesión aotada).

(sn)

se llamará su- esión aotada si

(_∃M >0) (_∀n_∈N)

_|sn| ≤M.

Deniión7.7 (Reuerdodel álgebrade suesiones). Sean

(un)

y

(vn)

suesiones y sea

λ∈R

.Se denenlas nuevas suesiones

(un+vn)

,

(un−

vn)

,

(un·vn)

,

(un/vn)

y

(λun)

de la forma normal, esdeir:

(un+vn) = (u0+v0, u1+v1, u2+v2, u3+v3, . . . , un+vn, . . .)

.

(un−vn) = (u0−v0, u1−v1, u2−v2, u3−v3, . . . , un−vn, . . .)

.

(un·vn) = (u0·v0, u1·v1, u2·v2, u3·v3, . . . , un·vn, . . .)

.

(un/vn) = (u0/v0, u1/v1, u2/v2, u3/v3, . . . , un/vn, . . .)

.

Obs: éstaes una suesión sólo uando

vn

= 0

sólo para unnúmero nito detérminos.

(λun) = (λu1, λu2, λu3, . . . , λun, . . .)

.

Teorema 7.2. Sean

(un),(vn)

suesiones.Lassiguientesproposiionesson iertas

1.

(un)

esnula siysólo si

(|un|)

esnula.

2. Si

(un)

es unasuesión nulaentones

(un)

esuna suesión aotada. 3. Si

(un)

esunasuesiónnulay

∃n0∈N,

∀n≥n0,

|vn| ≤un

entones

4. Si

(un)

y

(vn)

sonsuesionesnulasentones

(un+vn)

y

(un·vn)

son suesionesnulas.

5. Si

(un)

y

(vn)

sonsuesiones aotadas entones

(un+vn)

y

(un·vn)

son suesiones aotadas.

6. Si

(un)

esunasuesiónnulay

(vn)

esunasuesión aotada entones

(un·vn)

es unasuesión nula.

Unaso partiularde estoes uando

vn=c

onstante.

Ejemplo 7.4.

un=

1_n

→0

y

vn= cos(

n!

nn_tann)

esaotada,luego

1

ncos(

n!

nn_tann)→0

.

Demostraión. Demostraiónde la propiedad 1.

Que

(un)

yque

(|un|)

seannulasequivaleadeirrespetivamente que

(_∀ε >0) (_∃n0∈N) (∀n≥n0)|un−0| ≤ε

y

(∀ε >0) (∃n0∈N) (∀n≥n0)

||un| −0| ≤ε.

Lasquelaramentesonequivalentes. Demostraiónde la propiedad 2. Como

(un)

esunasuesiónnulasetieneque:

(_∀ε >0) (_∃n0∈N) (∀n≥n0)

|un| ≤ε.

Luego tomando

ε= 1

,onluimosque existe

n0∈

N

de modo que

(∀n≥

n0)

|un| ≤1

.

Estafrasedieque

{un

:n≥n0}

esaotado.

Paraprobarqueelonjuntodetodoslostérminosdelasuesiónesaotado, onsideremoselreal

M

= m´ax_{|u1|,|u2|, . . . ,|un0|,1}.

Claramente,seobtieneque

(∀n∈N)|un| ≤M

loquesigniaque

(un)

es aotada.

Demostraiónde la propiedad 3. Como

(un)

esunasuesiónnulasetieneque:

(_∀ε >0) (_∃n′

0∈N) (∀n≥n′0)

|un| ≤ε.

Ademáselaotamientodelenuniadodieque

Luego,paratodo

ε >0

,existe

n

′′

0= m´ax{n0, n′0}

talqueparatodo

n≥n

′′

0

seumplensimultáneamenteque

|vn| ≤un≤ε.

Loqueorrespondealadeniiónmismadeque

(vn)

esunasuesiónnula. Demostraiónde la propiedad 4.

Sean

(un)

y

(vn)

sonsuesionesnulas,esdeir

(_∀ε′

_{>0) (∃n}′

0∈N) (∀n≥n′0)

|un| ≤ε′

y

(_∀ε′>0) (_∃n′′0

∈N) (∀n≥n′0)

|vn| ≤ε′.

Tomando

n0

= m´ax{n

′

o, n′′o}

deduimos que simultáneamente se umple que

(_∀ε′>0) (_∃n0∈N) (∀n≥n0)

|un| ≤ε′

∧|vn| ≤ε′.

Comoestaproposiionseiertaparatodo

ε

′

_>0

,podemosesogervalores apropiadospara

ε

′

quefailitenlademostraión.

De este modo, en el aso de suma de suesiones, dado

ε >

0

arbitrario, tomaremos

ε

′₌ε

2

demodoqueseumpla que

(_∀ε >0) (_∃n0∈N) (∀n≥n0)

|un| ≤

ε

2

∧|vn| ≤

ε

2.

Deaquí,sumandolasdesigualdadesyonsiderandoque

|un+vn| ≤ |un|+

|vn|,

obtenemosque

(∀ε >0) (∃n0∈N) (∀n≥n0)

|un+vn| ≤ε,

loquesigniaquelasuesión

(un+vn)

esnula.

En el aso de produtode suesiones, dado

ε >

0

arbitrario, tomaremos

ε′₌√_ε

demodoqueseumplaque

(_∀ε >0) (_∃n0∈N) (∀n≥n0)

|un| ≤√ε

∧|vn| ≤√ε.

Deaquí,multipliandolasdesigualdadesyonsiderandoque

|unvn|=|un| ·

|vn|,

obtenemosque

(∀ε >0) (∃n0∈N) (∀n≥n0)

|unvn| ≤ε,

loquesigniaquelasuesión

(un·vn)

esnula. Demostraiónde la propiedad 5.

Como

(un)

y

(vn)

sonsuesionesaotadasentonesexisten

M1>0

y

M2>

0

talesque

(_∀n_∈N)

_|un| ≤M1

∧ |vn| ≤M2

Luego,sumando omultipliandolasdesigualdadesseobtieneque

y

(_∀n_∈N)

_|un·vn|=|un| · |vn| ≤M1·M2

Loqueimpliaquelassuesiones

(un+vn)

y

(un·vn)

sonaotadas. Demostraiónde la propiedad 6.

Comolasuesión

(vn)

esaotadaentonesexiste

M >0

talque

(_∀n_∈N)

_|vn| ≤M

Como además

(un)

esnulaentones,dado

ε >0

arbitrario,existe

n0∈N

talque

(∀n≥n0)

|un| ≤

ε

M

Luego

(∀n≥n0),

|un·vn|=|un| · |vn| ≤ε

,loquesigniaque

(un·vn)

es unasuesiónnula.

7.4.

Álgebra de sucesiones convergentes

Paraaproveharelálgebradesuesionesnulasparasuesionesonvergentes aualquierreal,usamoslasiguienteproposiión

Proposiión 7.1. Sea

(sn)

unasuesióndenúmerosrealesentones

sn→

ℓ

_⇐⇒

(sn−ℓ)

esuna suesión nula.

Demostraión. Bastaon mirarlasiguienteadenadeequivalenias

sn

→ℓ

⇐⇒

(∀ε >0)(∃n0

∈N)(∀n

≥n0)|sn−ℓ| ≤ε

⇐⇒

(sn−ℓ)

es unasuesiónnula.

Proposiión 7.2. Sea

(sn)

una suesión de números reales. Si

(sn)

es onvergente entones

(sn)

esaotada.

Demostraión. Sea

ℓ

= l´ımsn

. Como

sn

→ℓ

entones

(sn−ℓ)

es una suesiónnula,luego

(sn−ℓ)

esaotada,esdeir

(∃M >0)(∀n∈N)|sn−ℓ| ≤M

Luego

(_∀n_∈N)_|sn|=|sn−ℓ+ℓ| ≤ |sn−ℓ|+|ℓ| ≤M+|ℓ|

Tomando

M

′

_=M

_+|ℓ|>0

sededueque

(sn)

esaotada.

Álgebradelímites Proposiión 7.3(Álgebra de límites). Sean

(un)

y

(vn)

dossuesiones

onvergentes a

u

y

v

, respetivamente. Sea

λ∈R

,entones las suesiones

(un+vn)

,

(un−vn)

,

(un·vn)

y

(λun)

son también onvergentes a

u+v

,

u₋v

,

u·v

y

λu

,respetivamente. Es deir, si

un→u

y

vn→v

entones:

l´ım(un+vn) = l´ımun+ l´ımvn

l´ım(un−vn) = l´ımun−l´ımvn

l´ım(un·vn) = l´ımun·l´ımvn

l´ım(λun) =λl´ımun

.

Demostraión. Hayquedemostrarque:

(un+vn)→u+v

. Sea

wn

= (un+vn)−(u+v).

Reordenando,eslaroque

wn

= (un−u) + (vn−v)

,quedaexpresada omolasumadesuesionesnulas.Luegoesnula.

Conestosehaprobadoque

(un+vn)→u+v

. Sedebeprobarque:

(un−vn)→u−v

Sea

wn

= (un−vn)−(u−v)

.

Es laroque

wn

= (un−u)−(vn−v)

esladifereniadesuesiones nulas,luegoesnula.

Conestosehaprobadoque

(un−vn)→u−v

.

Sedebedemostrarque:

(un·vn)→u·v

.Sea

wn= (un·vn)−(u·v).

Reordenandosetieneque

wn

=

un·vn−u·vn+u·vn−u·v

=

(un−u)vn+u(vn−v).

Osea

(wn)

esunaombinaióndesuesionesnulasyaotadas,luego esnula.

Conestosehaprobadoque

(un·vn)→u·v

. Sedebeprobarque:

(λun)→λu

.

Bastaonsiderarlaigualdad

λ=vn,

∀n∈N

,onloualestapropo- siiónesunasopartiulardel asoanterior.

7.4.1.

Cuociente de Sucesiones

Conelteoremaanteriorpuedenalularseloslímitesdesuesionesformadas omosumas,diferenias,produtooponderaióndesuesionesonvergen- tes.Quedaelproblemadealularellímitedeunasuesiónobtenidaomo el uoiente de suesiones onvergentes.Con respeto aeste problemase tienenlossiguientesresultados.

Proposiión 7.4. Si

(sn)

esunasuesiónnulaentoneslasuesión

(

1

sn)

, de estarbiendenida, esno aotada y enonseueniano esonvergente. Demostraión. Porontradiión,supongamosque

(

1

sn)

esaotada,en- tones la suesión

(vn)

denida por

vn

=

sn

·

1

sn

es el produto de una suesiónnulaporunaaotada.

Estoimplia que

(vn)

esunasuesiónnula,esdeir,

vn→0

. Sin embargo, laramente,

vn

=

sn·

1

sn

= 1

es la suesión onstante que onvergea

1

.Estoesunaontradiión,yaque

16= 0

.

Luego

1

sn

noesunasuesiónaotada.

Proposiión 7.5. Sea

(sn)

una suesión real. Si

(sn)

onverge a

ℓ

6= 0

entones:

1.

(∃n0∈N)(∀n≥n0), sn

tieneelmismosigno de

ℓ

(esdeir

sn·ℓ >0

).

2. Lasuesión

(

1

sn)

esaotada.

Proposiión 7.6(La suesión

((−1)

n₎

noonverge). Supongamosque silo hae, esdeir, queexiste

ℓ

tal que

(−1)

n

→ℓ

.

Si

ℓ >0

entones, sólounnúmeronitode términosde la suesión podría ser negativo. Estonoesposible yaque

(−1)

n

=₋1

paratodo

n

impar. Análogamente, si

ℓ <0

entones sólounnúmeronito de términospodría ser positivo. Estotampooesposiblepues

(−1)

n

= 1

paratodo

n

par. Nos queda omo únia posibilidad que

ℓ

= 0

. En este aso, es fáil ver que para

ǫ

=

1

2

, el número de términos de la suesión fuera del interva- lo

[−ǫ+ 0,0 +ǫ]

es innito, ontradiiendo la deniión de onvergenia. Conluímosqueapesar deser aotada lasuesión

(−1)

n

diverge. Demostraión. Parajarideas,supongamosque

ℓ >0

.

Que

sn→ℓ

signiaque

(_∀ε >0)(_∃n0∈N)(∀n≥n0)

ℓ−ε≤sn≤ℓ+ε

Luegotomando

ε=

ℓ

2

>0

setienequeexiste

n0∈N

talque

(∀n≥n0)

ℓ

2

≤sn

≤3

ℓ

2.

Conestosehaprobado(1)yaque

ℓ

2

>0.

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