Previous work on Video Object Segmentation

Paraestudiarformalmenteestasintuitivasnoiones geométrias,neesita- mosdenirprimero:

Deniión2.9 (Simetral). Dadosdos puntos

P, Q∈R

distintos, llama- mosSimetral de

P

Q

,ala reta

L⊆R

quesatisfae

Enlagura,

L

essimetralde

P

Q

Denimosahoralasnoionesdeparalelismoyperpendiularidad: Deniión2.10 (Paralelismo). Dos retas

L

′

son paralelas (deno- tado

L||L

′

) si

L=L′

obien

L∩L

′₌_∅

Deniión2.11 (Euaiónde la reta formaprinipal).

L:y=mx+n.

Observaión:Eslaroqueelpunto

(0, n)

satisfaelaeuaióndelareta, luego el signiado geométrio de la onstante

n

orrespondea la altura dondelaretaortaaleje

OY

Ingeniería Matemática

FACULTAD DE CIENCIAS

FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DE CHILE

Introducción al Cálculo 08-1

Guía Básia

Determinarlaveraidaddelassiguientesarmaiones:

1. En el sistema deoordenadasartesianas,dadoun punto

P

,deno- minamos

x

aladistaniade

P

alareta

OX

2. En el sistema deoordenadasartesianas,dadoun punto

P

,deno- minamos

x

aladistaniade

P

alareta

OY

3. En el sistema deoordenadasartesianas,dadoun punto

P

,deno- minamos

y

aladistaniade

P

alorigen

O

4. Sienelsistemadeoordenadasartesianasunpunto

P

seenuentra arribadelareta

OX

,entones

y >0

5. Sienelsistemadeoordenadasartesianasunpunto

P

seenuentra arribadelareta

OX

,entones

x >0

6. Sienelsistemadeoordenadasartesianasunpunto

P

seenuentra alaizquierdadelareta

OY

,entones

x <0

7. Elpunto

P

= (−4,2)

estáauna distania4deleje

OX

. 8. Elpunto

P

= (−4,2)

estáauna distania4deleje

OY

. 9. Elpunto

P

= (−4,2)

estáauna distania-4delorigen

O

. 10. Eleje

OY

sedenominaejedelasabsisas.

11. Eleje

OX

sedenominaejedelasabsisas. 12. Eleje

OY

sedenominaejedelasordenadas.

13. Elonjunto

A={(x, y) :

x=y= 0}

,orrespondealeje

OX

. 14. Elonjunto

A={(x, y) :

x∈

, y= 0}

,orrespondealeje

OX

. 15. Elonjunto

A={(x, y) :

y∈

, x= 0}

,orrespondealeje

OX

. 16. El primer uadrante orresponde al onjunto

A

=

{(x, y) :

x

∈

17. El terer uadrante orresponde al onjunto

A

=

{(x, y) :

x <

0, y <0_}

18. Elsegundouadranteestáinluidoenelonjunto

A={(x, y) :

x <

0, y_∈

}

19. El onjunto

A={(x, y) :

x= 0,∨y

= 0}

,orrespondeauniónde losdosejes

OX

OY

20. Elonjunto

A={(x, y) :

xy= 0}

,orrespondealorigen

O

. 21. El onjunto

A

=

{(x, y)

:

xy

6= 0}

, ontiene a todo el plano

geométrio,salvoalorigen.

22. Elonjunto

A={(x, y) :

x= 3}

,orrespondeaunaretahorizon- tal.

23. El onjunto

A={(x, y) :

x= 2}

, orrespondeauna quepasapor elpunto

(2,54)

24. El onjunto

A

=

{(x, y)

:

y

=

−1}

, orresponde a una reta horizontalqeuestáabajodeleje

OX

25. Dadosdospuntos

A= (x1, y1)

B

= (x2, y2)

,ladistaniaentreellos orrespondea

p

(x1+x2)2−(y1+y2)2

26. Dadosdospuntos

A= (x1, y1)

B

= (x2, y2)

,ladistaniaentreellos orrespondea

(x1−x2)

2_{+ (}_y

1−y2)2

27. Dadosdospuntos

A= (x1, y1)

B

= (x2, y2)

,ladistaniaentreellos orrespondea

p

(x1−y1)2+ (x2−y2)2

. 28. El onjunto

A={(x, y) :

x

2₊_y2_{= 3}

}

,orrespondeaunairun- fereniaonentroenelorigen.

29. Elonjunto

A={(x, y) :

x

2₊_y2₌_x

}

,orrespondeaunairun- fereniaonentroenelorigen.

30. El onjunto

A

={(x, y) : (x+ 1)

2₊_y2

_{= 3}_}

, orresponde auna irunfereniaonentroenelelpunto

(−1,0)

31. Lospuntos

(x, y)

quesatisfaenlaeuaión

(x−1)

2_{+ (}_x_{+ 2)}2_{= 1}

, orrespondenaaquellosdelairunfereniadeentro

(−1,2)

yradio1. 32. Lospuntos

(x, y)

quesatisfaenlaeuaión

x

2₊_y2

−4y= 0

,orrespondenaaquellosdelairunfereniadeentro

(0,2)

yradio2. 33. Lospuntos

(x, y)

quesatisfaenlaeuaión

x

2 −4y= 0

,orresponden aaquellosdelairunfereniadeentro

(0,0)

yradio2.

34. El onjunto

A=

{(x, y) :

x

2₊_y2₊_Ax₊_Bx₊_C

_{= 0}

}

, siempre orrespondeaunairunferenia.

35. Elonjunto

A={(x, y) :

x

2₊_y2₊_Ax₊_Bx₊_C_{= 0}

}

orresponde aunairunfereniasóloenelasoque

A

B

C

sonpositivos. 36. Elonjunto

A={(x, y) :

x

2₊_y2₊_Ax₊_Bx₊_C_{= 0}

}

orresponde aunairunfereniasi

A

2₊_B2

−4C_≥0

. 37. Elonjunto

A={(x, y) :

x

2₊_y2_>₄

}

orrespondealospuntosal interiordelairunfereniadeentro

(0,0)

yradio 2.

38. Elonjunto

A={(x, y) :

x

2₊_y2

−4_≤0_}

orrespondealospuntos alinteriordelairunfereniadeentro

(0,0)

yradio2.

39. Elonjunto

A={(x, y) :

x

2_{+ (}_y

−1)2

−5_≤0_}

orrespondealos puntosalinteriordelairunferenia deentro

(0,1)

yradio5. 40. Dadosdos puntos

A= (x1, y1)

B

= (x2, y2)

distintos, si

x1

=x2

entoneslaretaquepasapor

A

B

eshorizontal.

41. Dadosdos puntos

A= (x1, y1)

B

= (x2, y2)

distintos, si

x1

=x2

entoneslaretaquepasapor

A

B

esvertial.

42. Dadosdospuntos

A= (x1, y1)

B= (x2, y2)

distintos,si

x1=x2=

0

laretaquepasapor

A

B

eseleje

OY

43. Dados dos puntos

A

= (x1, y1)

B

= (x2, y2)

distintos en ambas oordenadas, siunpunto

P

perteneealsegmento

AB

entonesperteneealaretaquepasapor

A

B

44. Dados dos puntos

A

= (x1, y1)

B

= (x2, y2)

distintos en ambas oordenadas, si un punto

P

umple que

A

pertenee al segmento

P B

entonesperteneealaretaquepasapor

A

B

45. La euaión de la reta que pasa por los puntos

A

= (x1, y1)

B= (x2, y2)

(x−x1)(x2−x1) = (y−y1)(x2−x1)

46. La euaión de la reta que pasa por los puntos

A

= (x1, y1)

B= (x2, y2)

(x−x1)(y2−y1) = (y−y1)(x2−x1)

47. El onjunto

A={(x, y) :

ax+by+c= 0}

siempreorrespondea unareta.

48. Elonjunto

A={(x, y) :

ax+by+c= 0}

orrespondeaunareta siempreque

a6= 0

b6= 0

49. Elonjunto

A={(x, y) :

ax+by+c= 0}

orrespondeaunareta siempreque

a6= 0

b6= 0

50. El onjunto

A

=

{(x, y) :

ax+by+c

= 0}

, on

a

= 0

b

6= 0

orrespondeaunaretainlinada.

51. El onjunto

A

=

{(x, y) :

ax+by+c

= 0}

, on

a

6= 0

b

6= 0

orrespondeaunaretainlinada.

52. Dadaunareta

L:ax+by+c= 0

, on

b6= 0

ydospuntos

(x1, y1)

(x2, y2)

ualesquieraenella,eluoiente

y2−y1

x2−x1

esonstante.

53. Dadaunareta

L:ax+by+c= 0

, on

b6= 0

ydospuntos

(x1, y1)

(x2, y2)

ualesquieraenella,eluoiente

y2−y1

x2−x1

esiguala

b−a

. 54. Si

m

eslapendientedeunareta

L

,entonesestasepuedeesribir

omo

(y−y0) =m(x−x0)

,on

(x0, y0)

ualquierpuntoqueperteneza aella.

55. Si

m

eslapendientedeunareta

L

,entonesestasepuedeesribir omo

m(y−y0) = (x−x0)

,on

(x0, y0)

ualquierpuntoqueperteneza aella.

Ingeniería Matemática

FACULTAD DE CIENCIAS

FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DE CHILE

Introducción al Cálculo 08-1

Guía de Ejeriios

1. Dadalaeuaión dela reta

y+ 7x= 2y−1

, determineuáles de los siguientespuntosperteneenalareta:

(a)

(1,0)

. (b)

(0,0)

. ()

(1,8)

. (d)

(15,2)

. (e)

(1,15)

. 2. Dadalairunferenia

(x−1)

2_{+ (}_y_{+ 1)}2_{= 1}

,determineuálesde los siguientespuntosperteneenalareta:

(a)

(1,−1)

. (b)

(1,1)

()

(2,−1)

. (d)

(1,0)

(e)

(0,−1)

3. Determinelaseuaionesdelassiguientes retas: (a) Tienependiente

0

ypasapor

(−1,2)

. (b) Pasapor

(3,2)

(9,7)

() Pasapor

(−1,0)

ytienependiente

−8

(d) Pasa porla interseión de

L1

:

x= 0

L2

:

y

=

−1

y tiene pendiente6.

(e) Pasaporlainterseiónde

L1: 2x+y= 0

L2:

x=−2y

yla interseiónde

L3: 3x−6y= 2

L4: 4x+ 1 = 0

4. Determinelaseuaionesdelassiguientes irunferenias: (a) Radio

2

yentroen

(1,2)

(b) Pasa por

(−2,0)

,tiene radio

2

y laoordenada

x

del entro es

1

. >Esúnialasoluión?.

5. Considerelaeuaión

Ax

2₊_By2₊_Cx₊_Dy₊_E_{= 0}

(a) >Bajoquéondiionessobrelosoeientes

A, B, C, D, E

,laeua- iónrepresentaunareta?.En esteaso,>Cuál eslapendientede lareta?

(b) >Bajoquéondiionessobrelosoeientes

A, B, C, D, E

,laeua- iónrepresentaunairunferenia?.Enesteaso,>Cuáleselentro yelradio?

6. Dadaslassiguienteseuaiones,determinesirepresentanretasóirun- ferenias. Expliitarpendiente yoeiente de posiión, obien, entro yradio,segúnorresponda.

(a)

2y+ 3x

2_{= 3(}_y₊_x₎2

−3y2

(b)

3x

2_{+ 2}_y2_{= (}_y_{+ 1)}2_{+ 5}

()

2 +y= 3(y+x)

(d)

(x+y)

2₌_x₊_y_{+ 2}_xy

(e)

2x

2_{+ 3}_x_{+ 2}_y2_{+ 5}_y_{= 0}

(f)

(x+y)

2_{= (}_x₋_y₎2

(g)

y+ 2x= 2(y+x)−1

7. Esribadelastresformasdistintas,vistasenlase,lassiguientesretas. Enadaaso,indiquependiente yoeiente deposiión:

(a)

y= 3x+ 2

(b)

x= 2y+ 1

()

2 +y+x= 0

(d)

(y−1) = 2(x−2)

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FACULTAD DE CIENCIAS

FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

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Introducción al Cálculo 08-1

Guía de Problemas

La presente guía le permitirá tener una idea bastante preisa del tipo de problemas que debe serapaz de resolver en una evaluaión y el tiempo promedioquedeberíademorarenresolverlos.Entotaldeberíapoderresol- verlaen 3horas.Le reomendamosque trabajeenella unahora antes de lalase detrabajo dirigido,que resuelvasusdudas en lalase detrabajo dirigidoyqueluegodediqueunahoraaesribirondetalleslassoluiones. Antes de omenzar,onsidere lassiguientes deniionespreliminares, que neesitarápararesolverlosproblemas.

Preliminar 1:Se die que dos retas

L

′

son perpendiulares si sus pendientes satisfaen que

mL

·mL′

=

−1

. En el aso de segmentos, se onsideralaretaqueontienealsegmento.

Preliminar2:Laeuaióndelaretatangente porunpunto

P

= (α, β)

aunairunfereniadeeuaión

x

2₊_y2₌_r2

es:

xα+yβ=r

2 P

sellama punto detangenia.

P1. (15min.)Dadoelpunto

P

deoordenadas

(a, b)

ylareta

L

deeua- ión

y=mx

,determinarlaeuaióndelaretaquepasapor

P

ytal queeltrazo que determinadopor la interseiónde ella onlosejes, quedadimidiadopor

L

P2. (15 min.) Un triángulo

ABC

isóseles (

AC

=

BC

) y retángulo en

C

, varía detal manera que su vértie

A

permanee jo en el origen del sistema de oordenadas y su vértie

B

se mueve sobre la reta deeuaión

x=a

. Determinarla euaióndel lugar geométrioque reorreelpunto

C

yreonoerlaguraquedesribe.

P3. (15min.)Dadoselpunto

P

= (a, b)

ylareta

L:y

=mx

, setrazan

P H

perpendiular a

OX

P K

perpendiular a

L

. Si

D

es elpunto medio de

OP

M

es el punto medio de

HK

probar que

DM

es perpendiulara

HK

DK

=DH

P4. (15min.)Dosretasvariables

L1

L2

quepasan,respetivamentepor dospuntos jos

A

B

se ortanperpendiularmente enel punto

P

. Determinarellugargeométriode

P

P5. (30min.)Sean

L1:x+2y+4 = 0

L2:x−y−1 = 0

L3:−x+3y−3 =

a) Perímetrodeltriángulo

ABC

. b) Areadeltriángulo

ABC

) Laeuaióndelairunferenia irunsrita.

P6. (30min.) Se onsideran tres puntos

O, A, B

situados sobre un reta yse ontruyen dossemiirunferenias de diámetros

OA

OB

, res- petivamente. Desde el punto medio

M

del trazo

AB

se levanta la perpendiular,ortandoalairunfereniamayoren

R

yluegosetra- za la tangente

M P

ala irunferenia menor, siendo

P

el punto de tangenia.Demuestre que

O, P

R

seenuentransobre una misma reta.

P7. (30min.) La base de untriángulo está ja, siendo sus vérties

A

=

(0,0)

B= (b,0)

.Elvértie

C

estásobrelareta

y=c

b >0

c >0

. Determinar el lugar geométrio orrespondiente a la interseión de lastresalturas.

P8. (30 min.)Considere lairunferenia de euaión

x

2₊_y2

_{= 1}

. Una retavariable

L

quepasa porel origen,intersetaalairunferenia enlospuntos

Q

S

.Determinar,analítiamente,ellugargeométrio dela interseión delas tangentes a lairunferenia porlospuntos

Ingeniería Matemátia

Universidad de Chile

Usaestasnotasal margenpara on- sultar de manera másrápidaelma- terial. Haz tam- bién tus propias anotaiones.

H

Ingeniería Matemática

FACULTAD DE CIENCIAS

FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

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Introducción al Cálculo 08- 1

Ahí enontrarás las guías de ejeriios y problemas, además de informaión aeradeuálseráladinámiadelurso.

SEMANA 4: GEOMETRÍA ANALÍTICA

In document Fast Video Object Segmentation by Pixel-Wise Feature Comparison (Page 30-34)

Previous work on Video Object Segmentation

P, Q∈R

P

Q

L⊆R

L

P

Q

L

L

′

L||L

′

L=L′

L=L′

L∩L

′=∅

L:y=mx+n.

(0, n)

n

OY

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Introducción al Cálculo 08-1

P

x

P

OX

P

x

P

OY

P

y

P

O

P

OX

y >0

P

OX

x >0

P

OY

x <0

P

= (−4,2)

OX

P

= (−4,2)

OY

P

= (−4,2)

O

OY

OX

OY

A={(x, y) :

x=y= 0}

OX

A={(x, y) :

x∈

, y= 0}

OX

A={(x, y) :

y∈

, x= 0}

OX

A

=

{(x, y) :

x

∈

A

=

{(x, y) :

x <

0, y <0}

′₌_∅

0, y <0_}

0, y_∈

2_{+ (}_y

2₊_y2_{= 3}

2₊_y2₌_x

2₊_y2

_{= 3}_}

2_{+ (}_x_{+ 2)}2_{= 1}

2₊_y2