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Ahora, estudiaremos el caso restante: la matriz O es singular. Supondremos que sobre P1 la matriz C tiene rango constante k, con k < ni. Examinemos las ecuaciones:

O =

{~,E~Jr,

+ AtZ1(~1) , (1

=

=ni) . (6.2.3)

Es posible que las ecuaciones (6.2.3) nos lleven a un resultado absurdo (tipo O = 1); en este caso,

diremos que las ecuaciones (6.1.2) son inconsistentes. Para evitar este problema, impondremos, cofto en el algoritmo de Dirac-Bergmann [38] desarrollado en el Capítulo 4 (véanse también [51, 52]), la condición de que estas ecuaciones no den lugar a una inconsistencia. En tal caso, el número de multiplicadores de Lagrange A’ determinados por las ecuaciones (6.1.2) es k.

Además, pueden surgir nuevas ligaduras

4’,

(1 =i’ =ni’), con m’ < ni — k Así, obtenemos

una nueva subvariedad de ligaduras P2 determinado por la anulación de las ligaduras

~

y

~

Además, debemos incorporar estas nuevas ligaduras

4>~’

a las ecuaciones (6.1.2)y, así, obtenemos un nuevo conjunto de ecuaciones del movimiento:

(ixwj, = dEr, +

A’ji~)1

I

(d~b1(X) = O)/

,

(&2.4)

(d4>1’(X)

=

La tangencia de X a ~‘2 determina las nuevas ecuaciones:

O = {4>í,,Er,}~, + A’Z1(4>1s)

Incorporamos estas ecuaciones a (623) y este sistema de ecuaciones tiene que ser tratado de la misma manera a como se hizo con el sistema (6.2.3) y, probablemente, se determinarán nuevos multiplicadores de Lagrange V y aparecerán nuevas ligaduras. Este procedimiento finaliza cuando hayamos acabado con todas las condiciones de consistencia. Si el problema inicial tiene solución, llegamos a alguna subvariedad final de ligaduras

1%,

determinada por la anulación

de todas las ligaduras, donde van a existir soluciones consistentes. En este proceso, algunos multiplicadores de Lagr4nge pueden permanecer indeterminados, en tal caso diremos que existe

una ambigliedad en la descripción de la dínamíca.

Para ilustrar el método anterior, vamos a considerar el caso de un sistema lagrangiano sometido a una única ligadura: ~ = ¡2 +

hv,

donde ji es una 1-forma en

Q

y,h E Cx(Q). Las

ecuaciones modificadas del movimiento son:

{

iXWL =

dEr, +

AjiV

d«X) = 0.

ComoX4b= O se obtiene que:

O = {~,EJ~}r, +AZQk) . (6.2.5)

Si Z&b)

#

O deducimos que el valor del multiplicador de Lagrange es

A—

Z(~)

y la dinámica está determinada por la SODE

YA=EL— {¿Ib~EL}LZ

Z(#)

Si Z(~) = O y

{~,

EL}L = O en 1~1 entonces obtenemos que la dinámica del sistema está determinada en 1½por

Y> =

E~

+

AZ,

para cualquier valor arbitrario de A. Sin embargo, si Z(tb) = O y

{&Er,}r,

~ O en

P2,

entonces la ecuación (6.2.5) se satisface únicamente en la subvariedad

A

de

A

definida por las ligaduras

4>

= {~,EL}L. La preservación en el tiempo dela ligadura

4>

requiere que X(4>) = O. Así,

obtenemos la ecuación:

O = {4>,Er,}r, + AZ(4>).

Como antes, si Z(4>)

#

0, entonces los multiplicadores de Lagrange quedan fijados y la dinámica está determinada en É2 por

{4>,EL}tz

Por otro lado, si Z(4>) = O y {4>,Er,}r, = O en 1’2 entonces la dinámica está completamente

indeterminada. En otro caso, obtenemos una nueva ligadura. Así, procedemos iterativamente

aplicando este procedimiento, llegando a alguna subvariedad final de ligaduras

fi1

(si el problema tiene solución) donde existe al menos una solución del problema inicial.

Ejemplo 6.2.1 Sea L : TIR3 —+ IR el lagrangiano regular dado por

L ‘ ((41)2 +(42)2 — (43)2)

Supongamos que está sometido a la siguiente ligadura lineal:

«q4) = 42 +

4~.

Aquí, {q’,q2 ,q3 41 4243> denotan las coordenadas fibradas en TR3. Se obtiene que

Er, = (41)2 + (42)2 — (43)2 = L

wr,

= dq1Ad4’+dq2Ad42—dq3Ad43,

d8 .28 .38

c~

=

La 1-forma en ji = dq2 + dq3 verifica que

¡2

= ~ y, el campo de vectores Z tal que

- y

tzWLji

es:

= 8 + 8

ComoZ(4’) = O debemos considerar la nueva ligadura4> =

Er,GtO.

Pero

4>

se anula en todo punto

por lo que concluimos que no es posible determinar el multiplicador de Lagrange A. Nótese que para cada A obtenemos una solución YA = EL + AZ de las ecuaciones del movimiento. En

consecuencia, la dinámica está completamente indeterminada.

4

Ejemplo 6.2.2 Considérese el lagrangiano regular en T113 dado por

y sometido a la ligadura

Entonces

~

=

¡2,

con ji = dq’ + dq3.

Un cálculo directo nos muestra que:

Fr, (41)2 + (42)2 — (43)2 —

COL = dq1Ad41+dq2Ad42—dq3Ad43,

= .18 .28 .~8 ~8

El campo de vectores Z, tal que izCOL =

ji”

es

8 8

841

84~

Como Z(~) = O obtenemos una nueva ligadura

4>

= ¿r,(r/) = q’. Así, se obtiene una subvariedad:

É2 = {(q’,q2,q%41,Ej2,Ej3)

¡4’ +4~

= 0,q1 =

o>

Como Z(4>) = 0, surgen nuevas ligaduras;

4>’

=

¿r,(4>)

= 41, y obtenemos la subvariedad

É3

definida por

= {(q1,q2,q3,4’,42,43)

1

q1 = O,

4’

= O,Ej~ = 01

Además Z(4>’) = —1, y el algoritmo se estabiliza en la subvariedad P3. Ahora, determinamos

el multiplicador de Lagrange A:

Por tanto, tenemos que el campo de vectores EL +q’Z determina la dinámica en la subvariedad

Como ya hemos visto, si la matriz C es regular en TQ, podemos construir una estructura casi producto (7’,

Q)

en TQ de modo que nos permita obtener, por proyección, la dinámica del sistema lagrangiano sometido a las ligaduras. Nuestra intención es generalizar esta técnica al caso singular usando el algoritmo anterior.

Supondremos que la matriz C = (Z~(k5)), (1 =

i,j =

ni), es singular y rango O = k < ni.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la submatriz C, = (C~~) = (Z1(~1)), (1 <

z,j =

k), de O es regular.

El problema tiene solución en P1 si

(rango (Z1(~1)) = rango (Zd~1) ; {Ec,~5}L)) . (6.2-6)

En este caso, podemos construir la estructura casi-producto (7’,

Q)

definida por

Q

= C”Z5®d~,(1=i,j<k),

y 7’ = id —

Q,

donde ~ es la componente ij de la matriz inversa de C1. Probemos que la

proyecciónP(EL)da lugar a una solución de la dinámica con ligaduras. En efecto, es únicamente necesario probar que 7’(E~)(~~) = O, para cada 1 < < ni. Primero, para cada 1 _{< 1 < k} se

obtiene que

= EL(W) —

= EL

Ok>)

— C”CSIEL(#Í) = O

Ahora, si consideramos

~,

(k + 1 < a < ni), obtenemos

= ELUS) — C”EL(#I)Zd(~0)

De (6.2.6) deducimos que Z~Qk

)

—

f’ Zj(~¡),

(1 = ¿ = k), para algunas funciones

f,

e

CC~(TQ). Por lo tanto,

P(E~)Yk0)

=

E~cÁta)

—

=

E~(&)

— C”EtQk3f;Cs¡ 185

pues hemos supuesto que rango (Z1(#5) ; {Er,,~5}r,)1 = k.

Por otro lado,

(rango (Z~(~~))< rango (Z1(~5) ; {Ec,~~}~))

,

(6.2.7)

y, entonces, obtenemos un conjunto de ligaduras adicionales. Aplicando el algoritmo, llegamos a una variedad final de ligaduras 1’j (si el problema tiene solución) definida p¿r la anulación de las ligaduras

x&,

(1 =i’ =ni’), donde ni’ > ni. En 1’j se obtiene:

(

rango

(Zv(x~~))

= rango

(Zv(x5s) ; {E~,x~’}c))

. (6.2.8) Supondremos que el rango de la submatriz 0’ =

(Zu(x~¿))

,(1 < i’ < ni), (1 =

1’

=m’), es constante, es decir, rango C’ = /v’ < ni (k =

k’).

Para simplificar, supondremos que la matriz

= (C$~,) =

(Z~’(x~’)),

(1 <

i’,j’ =

k’) es regular. Como antes, construimos una estructura casi-producto (7’,

Q)

definiendo

Q

= (C’)””Z5’ 0 d<p

,

(1 =

i’,j’ =k’

< ni)

y

P=

id— Q, donde (C’)1’~’ es el elemento

i’j’

de la matriz inversa de C’. Para cada solución

X — EL + A?1 +

A0Za,

(1 =í

=

k’, k’ + 1

=

~ =ni) de la ecuación

iXCOL = dE~ +

Ap~,

(1 =i =m),

obtenemos que P(X) es una solución del sistema de ecuaciones. En efecto, se verifica que

P(X)

= EL + A?, + >&Z0 —

—

A’(C’)””Z¿(x~’)Z5.

—

A0(C’)”” Z0(x¡’ )Z51

con k’ + 1 =

fi

ni. Concluimos entonces que

{

iP(X)WL = dEr, +A’ji~,

((P(X))(x~’)

=

In document Mitigating significant risks pertaining to the implementation of cognitive computing (Page 78-80)