Significant risks at a strategic level

Sea (Al,w) una variedad presimpléctica y sea O un grupo de Lie que actúa presimplécticamente en Al, es decir, d~w = w, Vg E O, donde 4’ : O x Al —. Al es la acción de O. Sea E una

estructura casi-producto E adaptada aw.

Proposición 4.4-1 Sea 4’ : O x Al —* Al una acción presimpléctica de modo que preserve la

estructura casi-producto

E,

es decir,

T$2A

=

AT@g,

Vg E

O.

En este caso, 4’ es una acción

de Poisson para el corchete de Foisson {,}Á.

Demostración: De la definición de corchete de Poisson

{ ,

}A y la O-invarianza de w, se deduce que

{f,h}Ao0g = (W(XJÁ,XhÁ))-os2 = 4’(w(X,,Á,XKA))

= 4’;W(T$YXJ,Á, T$flXh,Á) = w(T$gXJÁ,

T$SXK,A),

Ahora, como

ZT!~9XJ.4W = %T49X1,.4$;W =

s;

(ix14w)

= tI~;(A*df) = A*4’;df = A*dlb;f

=

4’;XJ,A =

@;ÁxJ,Á

=

entonces @X1,A E ¡mA y, en consecuencia, ‘bXÍÁ = X~SJA

Deducimos que

{f,

h}.A o = W(X.Z~*JA,X~.h,Á) =

{f

o 0~,

ha

4’~}A .

U

Una aplicación

J

Al

9 tal que cualquier campo de vectoresEM es un campo hamil- toniano de J~ =

<J,E>,

es decir,

Z¿MW =

dJ¿,

será llamada un aplicacién momento para la acción presimpléctica (véase [9]).

Proposición 4.4.2 Si J : Al ~ es una aplicación momento para la acción presimpléctica 4’ tal que

1. 4’

preserva la estructura casi-producto (A,B),

2. EM

E ImA, VE E g,

entonces J es una aplicación momento para la acción de Poisson 4’ : O x Al — Al donde, aqu4 consideramos Al como una variedad de Poissor¿ con corchete de Poisson

{ ,

Demostracion:

Como ~¿MW =

dJE y

EM E ¡mA entonces EM = Xí~A. Ahora,

EMI = Xí~Af = df(X~Á) = A*df(Xy~Á)

= iXI~Aw(XJ¿A) =w(XtÁ,XÍ,Á) = {JE,f}A

y, así, J es una aplicación momento para la acción de Poisson 4’.

3

Teorema 4.4.1 Sea (Al,w) una van edad presimpléctica dotada de una estructura casi-producto zntegrable E adaptada a w y sea O un grupo de Lie actuando presimplécticamente en Al. Sea

J : Al —~ una aplicación momento equivariante para esta acción. Supondremos también que (A, 8) es O-invariante yEM E ¡mA, VE E g. Supongamos queji E esun valor regular de J y que el grupo de isotropía O,. actóa libre y propiamente en J1(ji). Entonces, la variedad

cociente Al,. está provista de una tinica forma presimpléctica w,. tal que lr$o,. = iw, y una unica estructura casi-producto E,. adaptada a w,. de modo que el corchete de Poisson inducido

{ ,

}A,. coincide con el corchete de Poisson

{ ,

},.

obtenido a partir del Teorema 4.3.1.

Demostración: Sea ~ = ir,.(p) con p E J1(ji). Para u~,,v, E T~(J—’)(ji), consideremos

las correspondientes clases de equivalencia en Al,., ñ~= r,.~(u~) y i3~ = ir,.~(v~). Definimos

w,.(i2~,t~) = w(u~,v~)

- Esta forma es única puesto que ir,. es una submersión. Ahora, necesitamos probar quew,. está bien definida, es cerrada y tiene rango constante.

Sabemos que (véase [1])

T~(0,.(p))

= T~(Q(p))

n

T~(J’(ji)) ,Vp E J’(ji)

donde

O,,(p) y

O(p) denotan las órbitas de p bajo la acción de O,, y 0, respectivamente.

Además, el complemento w-ortogonal de T~0(p) = {EM

¡

E

E g} es precisamente T~J’(ji).

Entonces, es evidente que la 2-formaw,, está bien definida.

La 2-formaw es cerrada puesto quedlr*w,. = diw = <~dw= O y ir,. es una submersión.

Supongamos que un vector tangente i~ verifica que

=0

,

Vi~7~ET~Al,..

Entonces w(u~,v~) = O ,Vv~ ET~J’(ji). Así, deducimos que u~, E T~0,,(p) y, entonces, ~ = O

o, la otra posibilidad, u>, E kerw(p). Como kerw(p)

c

T>,J1(ji), cualquier vector u>,

e

kerw(p) proyecta en un vector ~ E kerw,.(~). En efecto, si {(vi)>,,(v2)>,,... ,(vk)>,} es una base de kerw(p), también, {(i31)~,(i32)~,.. .,(i4»i} es una base de kerw,.(~). Así pues,

Ahora, probaremos que una estructura casi-producto F restringe a una estructura casi- producto F¡J—i(,,>. De hecho, solamente necesitamos probar que si y>, E

T>,J1(ji)

entonces,

también, A>,(v>,) E T>,J1(ji). Pero, y>, E T>,J1(ji) si y solamente si dJE(v>,) = O, VE E g, por lo tanto

dJE(A>,v>,) = A;dJE(v>,) = dJE(v>,)= O

Una condición necesaria y suficiente para que el tensor F¡J—1(,.> proyecte en Al,, es que £ verifique para todop E J’(ji) que (véase [13]):

1.

AP(E~y(p))

ET>,O,.(p) ,VE E

O,.

2. Im(L¿M(P)A)

c

T,,O,,(p) ,VE E O,.

Como EM E ImA entonces A>,(EM(p)) = EM(P)y, así, la primera condición es trivial. Además

LeMA = O y la segunda condición se verifica también. En consecuencia, existe una estructura casi-producto F,. en la variedad diferenciable Al,..

Ahora, estudiaremos si esta estructura casi producto está adaptada a la forma presimpléctica es decir, si ker A,, = kerw,.. Consideremos

iI~

E kerA,.(Ñ). Como

A,.(ii~)

= O se deduce que A(u>,) = O. Entonces, u>,

e

kerw(p) puesto que la estructura casi-producto

F

está adaptada a w. Por lo tanto, t~ E kerw,,.

La estructura casi-producto E,, es integrable (el -tensor de Nijenhuis NÁproyecta en el tensor de Nijenhuis NA,,) y, así obtenemos una estructura de Poisson en Al,, con corchete de Poisson

{,

}Á,..

Para terminar la prueba del Teorema necesitamos asegurar que el corchete de Poisson

{ ,

}A,. es el mismo que el corchete

{ , },,

definidoapartir del Teorema 4.3.1. Para cada f,h E

Ccc(Al,.)

el corchete de Poisson

{ , },,

está definido como sigue:

=

y si denotamos por

j :

«Al,.) —.

Al/O

la inclusión canónica entonces

{(~

l)*f, (~—1)*h}~(M> =

P{É,Ñ}M/a

,

donde É y

4

son funciones arbitrarias en

C~(Al/O)

tales que g’É =

y = (&1)h. Ahora, {É,ÑIM/a = {F,JI}Á con F,JI E C¶Al) funciones O-invariantes

proyectables en

É

y

4,

respectivamente. Como E y fi son O-invariantes entonces también

{

F,O},.~ es O-invariante. Por lo tanto, {F,O}Á es proyectable en Al,,, precisamente sobre

{ f,A}~,..

De la conmutatividad del diagrama del Teorema 4.3.¡, se deduce que:

= {f,h}M,. ,VJ,h E C~(Al,.) .

E

4.5

Reducción de la dinámica

Sea(Al, w) una variedad presimpléctica y fi : Al —* R una función. En este caso, diremos que (Al,w,JI) es un sistema presimpléctico con función hamiltoniana JI. Buscamos una solución de la ecuación

= dfi . (4-5.2)

Sabemos que como w no es simpléctica, (4.5.2) no tiene solución en general e incluso si existe ésta no es única.

Supondremos primero que (Al,w,JI) no tiene ligaduras secundarias. Así,

dJI(z)(kerw)(x) = 0, Vx E Al

En este caso, si (A,!?) es una estructura casi-producto adaptada aw, A*(dfi) = dfi, y existe un único campo de vectores X en Altal que X E ¡mA e ixw = dJI.

Consideremos un grupo de Lie O actuando presimplécticamente en Al de modo que se verifiquen las hipótesis del Teorema 4.4.1. Supongamos también que JI es O-invariante. Bajo estas hipótesis deducimos que X es O-invariante. Como fi es O-invariante, entonces JI oi,. es O,.-invariante y proyecta en una función fi,, en

Al,..

El campo de vectores X es tangente a

J1(ji) y proyecta en un campo de vectores X,, en Al,.. Se obtiene que

ix,.

w,.=dfi,,.

Así, el sistema presimpléctico reducido(Al,,,W,,,JI,.) no tiene ligaduras secundarias y su dinámica está determinada por las curvas integrales de X,,, es decir, X,.f = {H,.,f}, Vf E COc(Al,.).

mos aplicar el método anterior en la variedad presimpléctica (Al1,wj, Hj), donde wj =

y H~ = son las restricciones canónicas. Nótese que el algoritmo preserva la acción de O y, así, obtenemos una acción presimpléctica de

O

en Al1. Este caso necesita un análisis más profundo, puesto que hay dos ecuaciones del movimiento,(iz w = dH)¡M1 eiz wj = dHj, y las soluciones de la primera ecuación son soluciones de la segunda, pero el recíproco no es cierto.

In document Mitigating significant risks pertaining to the implementation of cognitive computing (Page 52-55)