Learning Pipeline Models

Se analizará gráficamente qué ocurre con la solución óptima y con el valor de la función objetivo ante cambios en los parámetros cj y bi. Variaciones en los coeficientes de la función objetivo

Si se incrementa o disminuye algún coeficiente de la función objetivo, cambiará la pendiente de la recta que la representa. Dependiendo de la magnitud del cambio, el vértice actual seguirá o no siendo óptimo.

Supongamos que tenemos el siguiente problema: Max Z = 12 x1 +20 x2 Sa : 10 x1  300 12 x2  360 15 x1 + 10 x2  600 x1 y x2 ≥ 0 Coeficientes de la función objetivo (cj)

Valores del lado derecho (bi) De una variable No básica xj =0 De una variable Básica xj >0 Restricción No limitante Si > 0 Restricción Limitante Si = 0 La ecuación explícita de la recta de isoutilidad es: x2=(Z/c2) – (c1/c2) x1 de donde, cualquier cambio en los coeficientes cj, modificarán la pendiente de la recta.

Su solución gráfica es:

Figura 1

De acuerdo a la solución gráfica, vemos que el vértice óptimo es A. Supongamos que el coeficiente de x1 se incrementa a 20. Esto hace que la pendiente de Z cambie, como se observa en la figura 2, pero el vértice actual sigue siendo el óptimo.

Figura 2

Observe ahora la figura 3, en este caso el coeficiente de x1 se incrementó a 35 y como consecuencia, la pendiente de Z se modificó tanto que cambió el vértice óptimo, pasando de A a B.

Figura 3

En consecuencia, puede afirmarse que en tanto la pendiente de la recta z se mantenga entre las pendientes de las rectas que representan a las restricciones 1 y 3, el vértice óptimo no se modifica.

0 10 20 30 40 50 60 70 0 6 12 18 24 30 36 42 48 Payoff: 12.0 x1 + 20.0 x2 = 840.0 Optimal Decisions(x1,x2): (20.0, 30.0) : 10.0x1 + 0.0x2 <= 300.0 A 0 10 20 30 40 50 60 70 0 6 12 18 24 30 36 42 48 Payoff: 20.0 x1 + 20.0 x2 = 1000.0 Optimal Decisions(x1,x2): (20.0, 30.0) : 10.0x1 + 0.0x2 <= 300.0 : 0.0x1 + 12.0x2 <= 360.0 A B 0 10 20 30 40 50 60 0 6 12 18 24 30 36 42 48 Payoff: 35.0 x1 + 20.0 x2 = 1350.0 Optimal Decisions(x1,x2): (30.0, 15.0) : 10.0x1 + 0.0x2 <= 300.0 : 0.0x1 + 12.0x2 <= 360.0 B A

DUALIDAD Y SENSIBILIDAD 117

A través de este sencillo ejemplo, se puede observar que las variaciones en los coeficientes de la función Z, producen una modificación en su pendiente. Por esta razón, lo que pretendemos al realizar el análisis de sensibilidad es determinar un rango o un intervalo de valores dentro del cual pueden variar los coeficientes de la función objetivo, sin que la solución (vértice actual) deje de ser óptima.

Cambios en los valores del lado derecho

Veamos, con el mismo ejemplo, que sucede cuando varían los valores del lado derecho.

Puede observarse en la figura 4, que si b3 (valor del lado derecho de la restricción 3) se incrementa a 700, se amplía la región factible y el vértice actual deja de ser óptimo en este caso pasa del vértice A al C. Pero si hacemos un análisis más detallado podemos observar que en el vértice A (solución factible básica anterior) y de acuerdo con la figura 1 las variables básicas eran x1, x2 y S2, siendo las no básicas S1y S3. Si observamos ahora la figura 4, en el vértice C (óptimo actual) seguimos teniendo las mismas variables básicas y no básicas, sin embargo, es evidente que han cambiado sus valores.

Figura 4

Algo similar puede observase en la figura 5. En este caso b3 disminuyó hasta 500 y el vértice óptimo pasó de A a D, manteniéndose el mismo conjunto de variables básicas, pero evidentemente sus valores son diferentes.

Figura 5

En la figura 6 puede observase que b3 se incrementó hasta 800, lo que dio como resultado que el vértice óptimo, E en este caso, se dé en la

0 10 20 30 40 50 60 0 6 12 18 24 30 36 42 48 Payoff: 12.0 x1 + 20.0 x2 = 920.0 A C 0 10 20 30 40 50 60 0 6 12 18 24 30 36 42 Payoff: 12.0 x1 + 20.0 x2 = 760.0 A D

intersección de las restricciones 1 y 2. Se produce así una modificación en el conjunto de variables básicas, es decir la base actual deja de ser óptima cambiando su composición, en este caso, la base estará formada por x1, x2 y S3.

Figura 6

Analicemos que sucede cuando se trata de una restricción no limitante, como es en nuestro ejemplo la primera restricción. Si aumentamos el bi a 400, es decir relajamos la restricción, el mismo vértice A seguirá siendo el óptimo. Sin embargo, en la solución habrá cambiado el valor de la holgura, en este caso aumentará, pero no así el valor de z. Lo mismo ocurre si disminuimos el valor del bi en una cantidad inferior al valor de la holgura. Esto puede verse en el gráfico 7.

Figura 7

Si se disminuye el bi en un valor igual a la holgura observe que, en el punto óptimo se intersecan las tres restricciones y esto producirá que la solución en ese vértice sea degenerada. Es decir que en la solución óptima los valores de las variables serán los mismos, a excepción de la holgura de la restricción analizada que ahora será cero. El valor de la función objetivo será el mismo. Esto se muestra en la figura 8.

Figura 8 0 10 20 30 40 50 0 6 12 18 24 30 36 42 48 Payoff: 12.0 x1 + 20.0 x2 = 960.0 A E 0 10 20 30 40 0 6 12 18 24 30 36 42 Optimal Decisions(x1,x2): (20.0, 30.0) A 0 10 20 30 40 50 60 0 6 12 18 24 30 36 42 48 : 10.0 x1 + 0.0 x2 = 400.0 : 0.0 x1 + 12.0 x2 = 360.0 : 15.0 x1 + 10.0 x2 = 600.0 A

DUALIDAD Y SENSIBILIDAD 119

Si ahora disminuimos el valor del bi más allá de la holgura de esa restricción, el vértice A dejará de ser óptimo, esto es que el conjunto de variables básicas habrá cambiado y por lo tanto deberá resolverse nuevamente el problema. Observe esta situación en la figura 9.

Figura 9

En resumen, el cambio en biun tiene como efecto expandir o contraer la

región de soluciones factibles. Al cambiar bi a bi cambiarán al menos los

valores de algunas de las variables básicas. Sin embargo, si bise

incrementa o disminuye más allá de ciertos límites, la base actual dejará de ser factible y deberá por lo tanto recalcularse la solución completa. Por esta razón los valores admisibles para bi son aquellos para los que

la nueva solución básica permanece factible. Es decir, para los que las variables básicas permanecen no negativas.