Chapter 1 Introduction
2.5 Related Work
2.5.1 Active Learning
No Más de m xi > 0
NO DEGENERADA
Exactamentem xi > 0
DEGENERADA
PROGRAMACIÓN LINEAL 65
✓ El poliedro de soluciones es un conjunto convexo.
✓ Los puntos que resulta necesario considerar para buscar el óptimo, son los que se encuentran sobre la frontera de la región factible.
✓ En particular podemos observar que si el PL tiene solución, ésta se encontrará en, al menos, uno de los vértices.
✓ Se puede obtener la solución en cada vértice resolviendo en forma simultánea las ecuaciones lineales que lo determinan.
✓ Las soluciones factibles en los vértices son soluciones factibles básicas.
✓ Todos los puntos del poliedro de soluciones verifican las restricciones, es decir que el problema tiene infinitas soluciones factibles.
✓ En todo punto situado sobre una recta no hay sobrante de ese insumo.
✓ En las ecuaciones determinantes del óptimo (restricciones limitantes), no hay sobrantes de insumos, por lo tanto, las variables de holgura son nulas.
✓ En las ecuaciones no determinantes del óptimo (restricciones no limitantes) siempre hay sobrantes de insumos, o sea, las variables de holgura son positivas.
✓ Si el funcional verifica su máximo valor en un único vértice del poliedro, significa que el problema tiene una única solución óptima.
✓ Si z fuera paralela a una restricción limitante, el problema tendría infinitas soluciones óptimas.
✓ Si el óptimo se verifica en un vértice donde se cruzan 3 o más rectas de restricción, la solución óptima es degenerada.
6.
T
EOREMAS DE COMBINACIONES LINEALES CONVEXAS DE SOLUCIONES FACTIBLESEnunciaremos una serie de teoremas relacionados con las soluciones factibles de los problemas lineales, los que resultarán de utilidad en desarrollos posteriores.
TEOREMA 1
Este teorema se enuncia como: “Toda combinación lineal convexa de soluciones factibles de un programa lineal, es otra solución factible de dicho programa”.
Maximizar CX AX = B
X
Sean X1, X2, .., Xr, r vectores soluciones del PL, por lo tanto se
verificará:
AX1=B
AX2=B
. . .
(1)
AXr=B
Si multiplicamos miembro a miembro las ecuaciones del sistema (1) por escalares 1; 2, ..., r respectivamente, con la condición que,
αi≥ y ∑ αi r i=1 = tendremos: 1 A X1 = 1 B 2 A X2 = 2 B ... (2) r A Xr = r B
Sumando miembro a miembro:
∑ αi A Xi r i=1 = ∑ αi B r i=1
Podemos extraer factor común premultiplicando el primer miembro por A y el segundo por B, entonces queda:
A ∑ αi Xi r i=1 = B ∑ αi r i=1 Siendo, ∑ αi r i=1 =
el vector resultante de la combinación convexa,
∑ αi Xi r i=1
= Xk
PROGRAMACIÓN LINEAL 67
AXk = B
En consecuencia queda demostrado el teorema.
Corolario del teorema 1: “el conjunto de todas las soluciones factibles de
un PL, si no es vacío, es un conjunto convexo. Es decir que, si no es vacío, está formado por un único elemento o por una infinidad”.
TEOREMA 2
“Si existe más de una solución factible que le den el mismo valor a la función objetivo, cualquier combinación lineal convexa de las mismas, dará al funcional igual valor”.
La demostración de este teorema es similar al anterior. Partimos de un PL en forma estándar matricial:
Maximizar CX AX = B
X
Sean X1, X2, Xr, r vectores soluciones del PL que dan a la función
objetivo igual valor, por lo tanto se verificará: CX1 = Z0
CX2 = Z0
. .. .. (3) CXr = Z0
Si multiplicamos miembro a miembro las ecuaciones del sistema (3) por escalares 1; 2,...., r respectivamente, con la condición que,
i 0 y, r i i=1 = 1 i= 1, 2,..., r, tendremos: 1CX1 = 1 Z0 2CX2 = 2Z0 (4) . . . r CXr = r Z0
Si ahora sumamos miembro a miembro, obtendremos:
i i i i α C α C α α r r i 0 i=1 i=1 r r i 0 i=1 i=1 X X Z Z = =
Como, r i i=1 = 1tendremos que el vector resultante de la combinación convexa
r
i k i=1
iX =Xes también una solución factible del PL que otorga a la función de decisión el mismo valor Z0, es decir:
CXk = Z0
En consecuencia, de acuerdo a los teoremas 1 y 2, podemos afirmar que cualquier combinación convexa de soluciones factibles óptimas es también una solución factible óptima.
Por lo cual, respecto al conjunto de soluciones factibles óptimas decimos que es un conjunto convexo, que, si no es vacío, está formado por un elemento o por una infinidad.
TEOREMA 3
“Si un PL es resoluble – es decir que posee óptimo -, existirá siempre por lo menos una solución factible básica que también sea óptima”3.
7.
M
ÉTODOS
IMPLEXEste método, desarrollado por George Dantzig en 1947, permite encontrar la solución óptima de cualquier programa lineal, cualquiera sea el número de variables y ecuaciones que lo forman, e identificar aquellos problemas que no tienen solución, o cuya solución óptima es no acotada4.
El algoritmo parte de una solución básica inicial (SF en un vértice), y a través de sucesivas iteraciones, explora sistemáticamente los vértices del poliedro de soluciones del Programa Lineal hasta identificar la solución óptima.
Si bien con posterioridad, se han desarrollado métodos que teóricamente son más eficientes en tiempo computacional para problemas de gran tamaño, Simplex ha demostrado en la práctica, un mejor desempeño en la mayoría de los casos, razón por la cual es aún el de mayor difusión.
El método Simplex tiene en cuenta las siguientes propiedades de los puntos extremos o soluciones factibles básicas:
1.- (a) Si existe exactamente una solución óptima, entonces debe
ser una solución de punto extremo.
(b) Si existen soluciones óptimas múltiples, entonces al menos dos de ellas deben ser soluciones factibles en puntos extremos adyacentes (sólo se consideran las soluciones factibles).
3 La demostración de este teorema puede consultarse en Gass (1979), Capítulo 3.
4 El Teorema que fundamenta el Método Simplex se enuncia y demuestra en el Anexo 2 al
PROGRAMACIÓN LINEAL 69
2.- Existe sólo un número finito de puntos extremos (soluciones factibles básicas).
3.- Si una solución en un vértice es igual o mejor (según el valor de la función objetivo) que todas las soluciones factibles en los vértices adyacentes a ella, entonces es igual o mejor que todas las demás soluciones en los vértices, es decir, es óptima.
Recordemos que gráficamente, cada vértice se forma por la intersección de las rectas representativas de las restricciones y que los valores de las variables para cada punto extremo, se encuentran resolviendo en forma simultánea las ecuaciones de restricción correspondientes a ese vértice. A su vez, cada punto extremo o vértice corresponde a una solución posible básicadel problema.
El método Simplex, basándose en estas conclusiones generales, analiza sistemáticamente los puntos extremos de la región factible hasta identificar el punto óptimo. Asegurándose en cada paso que el vértice analizado no es peor que el anterior, esto es, que le dé a la función objetivo un valor mejor o al menos igual que el anterior.