e incorporando los coeficientes de Fresnel ecuaciones 2-75 a 2-77. Las ecuaciones 2-71 a 2-74 se pueden escribir como:
Emt = Epi t12 1 + r23r12exp(−2kd) (2-79) Emr = Epi t12r23exp(−2kd) 1 + r23r12exp(−2kd) (2-80) Epr = Epi r12+ r23exp(−2kd) 1 + r23r12exp(−2kd) (2-81) Edt = Epi
2t12√εmcos θ2exp(−kd) exp(g2) 1 + r12r23exp(−2kd) (2-82) g2 = wd√n2sin θ2 1 − 1 c (2-83)
Donde k se defini´o en 2-45. Estas ecuaciones son las amplitudes de los campos electro- magn´eticos en la configuraci´on de Kretschmann. Pero al revisar los coeficientes de reflectan- cia y transmitancia, est´an en funci´on de los ´angulos θ2 y θ3, que son ´angulos que no pueden ser medidos directamente. Por lo tanto, estos t´erminos se dejan en funci´on del ´angulo de incidencia con las relaciones 2-43 y 2-44.
De estos resultados, se puede visualizar un m´ınimo de reflectancia (Epr m´ınimo) para el caso en el que θ1 > θc. Dado que, esto ocurre en la region de reflexi´on total, la atenuaci´on inesperada de Epr est´a asociada a la generaci´on de plasmones superficiales. Conociendo las amplitudes del campo el´ectrico en el sistema se podr´a calcula la reflectancia y la transmi- tancia.
2.10.
Reflectancia y Transmitancia en la configuraci´on de
Kretschmann
Despu´es de encontrar las magnitudes de los campos electromagn´eticos en funci´on del ´angulo de incidencia de la secci´on anterior, se estudiar´a ahora la reflectancia en el sistema para calcular el ´angulo de incidencia, en el cual la reflectancia tiene un m´ınimo y con ello compa- rarlo con trabajos experimentales, para visualizar el comportamiento de estas funciones se utiliz´o Mathematica 7 [20], para ser graficada. As´ı:
R = Epr Epi 2 = r12+ r23exp(−2kd) 1 + r12r23exp(−2kd) 2 (2-84)
ci´on diel´ectrica εm = −18 + 0, 4i3 con una pel´ıcula delgada de espesor d = 560∗ 10−10m, ´ındices de refracci´on np = 1,52 y nd = 1 para el prisma y el aire respectivamente. Un l´aser con longitud de onda incidente en el sistema de λ = 6328∗ 10−10m (Rojo), se obtiene la funci´on que se muestra en la Fig. 2-6. Estos datos fueron tomados de [6] y [9], al sustituir estos datos en la funci´on de reflectancia 2-84 se obtiene la Fig. 2-6.
Figura 2-6.: Funci´on de reflectancia en funci´on del ´angulo de incidencia para la configu- raci´on de Kretschmann en un sistema Prisma-Plata-Aire. Donde np = 1,52, εm =−18 + 0,4i, nd = 1, d = 560∗ 10−10m, y λ = 6328∗ 10−10m.
En la Fig. 2-6, se observa el comportamiento de la reflectancia en funci´on del ´angulo de incidencia. Tal como se hab´ıa previsto, se presenta una disminuci´on de la reflectancia para un ´angulo especifico en donde se encuentra el m´ınimo de la funci´on. Este ´angulo es el ´angulo del plasm´on θp, es en ese ´angulo y bajo las condiciones particulares que se definieron son generados los plasmones de superficie en la interfase metal-diel´ectrico.
Ahora que se tiene la funci´on de la reflectancia, variar otros par´ametros como el espesor de la pel´ıcula delgada ayudar´ıa a predecir las caracter´ısticas de la producci´on de los plasmones en distintas condiciones.
En la Fig. 2-7, se muestra diferentes curvas en las cuales se varia el espesor de la pel´ıcula delgada, en este caso, de oro. Con un ´ındice de refracci´on del primas np = 1,51. La funci´on diel´ectrica del metal εm =−25+i1, 44, el´ındice del diel´ectrico (agua)nd = 1,329 y la longitud de onda del l´aser que incide en el sistema es de λ = 800nm. Los valores para el espesor de la pel´ıcula ser´an cuatro diferentes: 40 nm, 50 nm, 60 nm, 70 nm. Se observa, a primera vista, que existe una estabilidad en el ´angulo en el cual se genera los plasmones. Pero se aprecia
2.10 Reflectancia y Transmitancia en la configuraci´on de Kretschmann 21
la existencia de una configuraci´on m´as eficiente que las dem´as para generar los plasmones superficiales. Es decir, un espesor donde la reflectancia presenta un m´ınimo m´as pronunciado que las otras configuraciones, en este caso, es un espesor de 50nm.
Figura 2-7.: Funci´on de reflectancia contra el ´angulo de incidencia para varios espesores de la pel´ıcula delgada, manteniendo constante la longitud de onda λ.
En la Fig. 2-8 se muestra la reflectancia como funci´on de la longitud de onda, lo cual puede hacerse en la practica cambiando de l´aser (rojo, verde) o un monocromador para distintos espesores de la pel´ıcula delgada manteniendo θp constante.
Para estudiar la transmitancia tomaremos la ecuaci´on 2-82 y se debe calcular el t´ermino:
T = n 2 dvd n2 pvp Edt Epi 2 cos θ3 cos θ1 (2-85)
Este t´ermino se puede observar en la Fig. 2-9 (es la linea roja), como la transmitancia es muchas veces menor que la reflectancia en este sistema ´optico para ser perceptible en la figura fue necesario amplificara 50 veces. Claramente se ve que el ´angulo critico es identificable en ambas funciones y ´estas tienen sus m´ınimos en el ´angulo del plasm´on. Esto nos muestra que, en ese ´angulo la energ´ıa queda en su mayor´ıa en el plasm´on y nada se transmite ni refleja, La funci´on graficada de transmitancia fue:
T = nd np
cos θ3 cos θ1
2√εmt12cos θ2exp(−κd) exp(g2) 1 + r12r23exp(−2κd)
Figura 2-8.: Funci´on de reflectancia contra longitud de onda, para distintos espesores, man- teniendo θp constante.
Figura 2-9.: Se muestran las funciones de Transmitancia amplificada 50 veces(discontinua)
y Reflectancia (continua). Se observa que las dos funciones tiene el m´ınimo en el ´angulo donde se genera el plasmon de superficie.