Chapter 3 Dynamic Pricing Problem with Gain-Seeking Reference
3.4 Optimal Pricing Strategy
CARACTERIZACIÓN DE TEXTURAS BASADA EN MATRICES DE COOCURRENCIA
Las matrices de concurrencia (GLCM ó Grey-Level Coocurrences Matrix) son un indicador cuantitativo de dependencia espacial de niveles de gris y sus elementos estiman la probabilidad de que dos intensidades de gris coocurran en la dirección de un vector 𝑑
(Haralick, Shanmugam, & Dinstein, 1973) (Haralick & Shapiro, 1992).
Formalmente, una imagen es un proceso estacionario que puede entenderse como una función 𝐼(𝑥, 𝑦) en la que 𝐼 toma el valor de gris del píxel (𝑥, 𝑦).
La matriz de coocurrencia 𝐻𝑑 de la imagen 𝐼 para el vector 𝑑 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦), es una matriz cuadrada de 𝑔 × 𝑔 entradas (donde 𝑔 es la cantidad de grises de la imagen) y es simétrica respecto a su diagonal principal.
Los elementos 𝐻𝑑(𝑖, 𝑗) representan el número de veces que 𝐼(𝑥, 𝑦) = 𝑖 y
𝐼(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦) = 𝑗 , y recíprocamente.
Al dividir la matriz por el número total de pares en la imagen, se obtiene la probabilidad conjunta 𝑃𝑑(𝑖, 𝑗) de coocurrencia de dos niveles de gris (𝑖, 𝑗) dados (Albregtsen, 2008).
INDICADORES DE TEXTURA
A partir de las matrices de coocurrencia pueden definirse varios indicadores de textura (Haralick, Shanmugam, & Dinstein, 1973), los cuales constituyen distintas métricas matemáticas que aportan particularidades de las texturas en imágenes digitales.
Aquí se describen los indicadores que fueron estudiados en el marco de esta tesis. En todos los casos, se considera que 𝑔 es la cantidad de niveles de gris de la imagen y 𝑃(𝑖, 𝑗) el valor en la posición (𝑖, 𝑗) de la matriz de coocurrencia.
1. ENERGÍA
El Momento Angular Segundo, también conocido como Energía, Uniformidad, o ASM (sigla de Angular Second Moment), es definido como:
∑ ∑ 𝑃(𝑖, 𝑗)2
𝑔−1
𝑗=0 𝑔−1
𝑖=0
Es una medida de la uniformidad de la imagen y cuantifica la repetición de pares de píxeles.
Cuando la imagen sobre la que se aplica es homogénea o cuando la textura es uniforme, es de esperar que el valor de Energía sea igual o muy cercano a 1 (Bankman, 2009).
2. CONTRASTE
El contraste cuantifica la cantidad de variaciones en los tonos de gris locales a una región, ponderando cada una de ellas por su probabilidad de coocurrencia. Su ecuación característica es:
∑ ∑𝑔−1(𝑖 − 𝑗)2𝑃(𝑖, 𝑗) 𝑗=0
𝑔−1
𝑖=0
Las texturas con un bajo nivel de contraste se caracterizan por presentar matrices de coocurrencia en las que las probabilidades se agrupan mayormente en la diagonal, lo que hace que el término (𝑖 − 𝑗)2 tome valores cercanos a 0 y reduzca el valor del indicador. Por otro lado, las texturas con gran variabilidad de pares toman valores más altos en esta diferencia, incrementando el valor del indicador. El máximo valor posible de contraste –
(𝑔 − 1)2 –, ocurre cuando existen pares con la máxima intensidad de gris –𝑔 – y la mínima –0–, en toda la imagen o región considerada.
3. ENTROPÍA
La entropía cuantifica el desorden de la imagen a través de la ecuación:
− ∑ ∑ 𝑃(𝑖, 𝑗) 𝑙𝑜𝑔𝑃(𝑖, 𝑗)
𝑔−1
𝑗=0 𝑔−1
𝑖=0
Cuando una imagen no presenta una textura uniforme, los elementos en la matriz de coocurrencia poseen bajos valores de probabilidad, lo que implica que los logaritmos en la ecuación crezcan y que el valor final de la entropía sea alto.
4. HOMOGENEIDAD LOCAL
La homogeneidad local también se conoce como Diferencia Inversa de Momentos o IDM (Inverse Difference Moment), y se calcula con la ecuación:
𝐼𝐷𝑀 = ∑ ∑ 𝑃(𝑖, 𝑗) 1 + (𝑖 − 𝑗)2 𝑔−1 𝑗=0 𝑔−1 𝑖=0
Este indicador permite cuantificar la proximidad espacial de la distribución de los elementos en la diagonal de la matriz, característica usualmente asociada a la uniformidad entre los grises de la imagen. El valor máximo de homogeneidad local – 1 – ocurre cuando la GLCM es diagonal, mientras que el mínimo – 0 – corresponde a una textura completamente aleatoria.
MÉTODOS CLÁSICOS DE SEGMENTACIÓN DE TEXTURA
La detección de bordes es un campo de interés dentro del procesamiento de imágenes utilizada para aislar objetos del fondo, estimar su tamaño, reconocerlos o clasificarlos, o simplemente tomarse como base de otras técnicas de segmentación. Un borde es un cambio local significativo en la intensidad de la imagen o en la primera derivada de la intensidad de la imagen. Su detección se resume al filtrado (reduce el ruido manteniendo los bordes), mejora (enfatiza los pixeles donde hay un cambio significativo en los valores de intensidad local) y detección (Ramadevi, Sridevi, Poornima, & Kalyani, 2000) (Chikkali & Prabhushetty, 2011). A continuación se describen los métodos clásicos principales.
UMBRALADO
El umbralado es el método más simple de segmentación de imágenes. Selecciona un valor de umbral (o múltiples), convenientemente, para convertir una imagen de escala de grises en una imagen binaria. Dentro de esta metodología hay varias opciones, incluidos el método de máxima entropía, el método de Otsu (varianza máxima) y la agrupación en k-means. Recientemente, se han desarrollado métodos para el umbral de imágenes de tomografía computarizada (TC) (Apro, Pal, & Dedijer, 2011).
FILTROS DE GABOR
Los filtros de Gabor son funciones pasa banda utilizadas para la detección de bordes. Las representaciones de frecuencia y orientación de los filtros Gabor son similares a las del sistema visual humano, y se ha encontrado que es útil para la representación y la discriminación de texturas. El problema de segmentar las imágenes texturizadas con éste método se considera en Kaur (Kaur, 2012).
La técnica de filtrado multicanal para la segmentación de texturas, esquematizada en la Figura 88 propuesta por Jain (Jain & Farrokhnia, 1990) (Jain & Farrokhnia, 1991) y Tan (Tan & Constantinides, 1990), usa un banco de filtros Gabor con simetría par. La imagen de entrada es convertida en N imágenes filtradas con los bancos de filtros Gabor, a las cuales se les aplica una transformación no-lineal similar a la función sigmoide utilizada en las redes neuronales. La combinación entre filtrado y no-linealidad extrae las características frecuenciales. Luego, se aplica un filtrado Gausiano para estimar la energía local, y finalmente todas estas imágenes son usadas como entrada al algoritmo clasificador, el cual realiza la segmentación de la imagen a partir de la información previa (ver Figura 88).
Figura 88 Algoritmo de segmentación de texturas utilizando un banco de filtros de
Gabor.
En el dominio espacial, un filtro bidimensional de Gabor 𝑔 (𝑥, 𝑦) se define como:
𝑔(𝑥, 𝑦) = exp [−1 2{ 𝑥2 𝜎𝑥2+ 𝑦2 𝜎𝑦2}] 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑢0𝑥 + ∅)
donde 𝑢0 y ∅ son la frecuencia y fase de una onda plana sinusoidal a lo largo del eje 𝑥 (es decir, la orientación de 0°), y 𝜎𝑥 y 𝜎𝑦 son las constantes espaciales de la envolvente gaussiana a lo largo de los ejes 𝑥 e 𝑦, respectivamente .
En esta tesis se diseñó un conjunto de filtros de Gabor que están sintonizados a diferentes frecuencias y orientaciones, y las combinaciones de los parámetros se tomaron de Jain (Jain & Farrokhnia, 1990). Las orientaciones se calcularon cada 30 grados, entre 0 a 150 grados y la longitud de onda tomando potencias crecientes de 2.
FILTROS DE ENTROPÍA, POR RANGO Y DESVÍO ESTANDAR
El filtro de entropía segmenta una imagen (Zhang, Fritts, & Goldman, 2008) calculando los valores de la entropía en cada bloque de 𝑛 × 𝑛 píxeles del vecindario en la imagen (Umarani, Ganesan, & Radhakrishnan) (Ojala & Pietikainen, 1999). Siendo 𝑝 la intensidad del píxel, la entropía se calcula como:
El filtrado por rango calcula los nuevos pixeles como la diferencia entre la intensidad máxima y la mínima encontradas en cada bloque de 𝑛 × 𝑛 píxeles del vecindario en una imagen.
El filtro por desvío estándar de una imagen devuelve otra imagen donde el valor de cada píxel de salida es la desviación estándar del vecindario de 3 × 3 en el píxel correspondiente de la entrada. En las fronteras de la imagen, el filtro por desvío estándar utiliza píxeles de relleno cuyos valores son un reflejo en espejo de los píxeles de borde.
(a) (b)
(c) (d)