Resumen del Capítulo
Se presenta un modelo de CML basado en la extensión del mapeo lineal mediante la adición de un kernel cuadrático. Este término combina las distribuciones de dos direcciones para generar un flujo en una tercera dirección. El concepto se inspira en una analogía de reacción entre partículas que se transportan sobre la grilla que representa la imagen. De esta manera se puede incorporar información adicional sobre la dirección de la textura, dado que el kernel no lineal relaciona dos direcciones de entrada con una de salida. Se muestra la asociación del CML planteado con la ecuación logística, la cual da como resultado comportamientos dinámicos interesantes que se ven reflejados en el mapeo. Se presenta una serie de experimentos numéricos sobre imágenes compuestas por texturas muy similares, encontrándose rangos de parámetros de control que sirven para identificar y segmentar texturas con sensibilidad sorprendente.
Introducción
En los capítulos anteriores se estudiaron CML basados en el método de lattice Boltzmann que combinan reglas de evolución lineal para segmentar texturas. El mapeo lineal es una analogía del transporte de partículas dentro de un medio de propagación y dispersión. Las propiedades de este medio lineal se construyeron a partir de las distribuciones de gris de los píxeles de cada vecindad.
La extensión natural del mapeo lineal es la adición de un término cuadrático que combine las distribuciones de dos direcciones para generar un flujo de partículas en una tercera dirección. El concepto se inspira en una analogía de reacción entre partículas que se transportan sobre la grilla que representa la imagen. De esta manera se puede incorporar información adicional sobre la dirección de la textura, dado que el kernel no lineal relaciona dos direcciones de entrada con una de salida.
El CML resultante es una generalización en muchas dimensiones del conocido mapeo logístico en una dimensión, que constituye uno de los paradigmas de los sistemas dinámicos caóticos (Grassberger & Procaccia, 1983) (Sprott, 2003) (Strogatz, 2000) (Tufillaro, Abbott, & Reilly, 1992). Las exploraciones preliminares mostraron que este CML es capaz de segmentar texturas en imágenes digitales con facilidad, generando zonas caóticas en forma selectiva fuertemente sensible a las texturas de la imagen subyacente (Cifuentes & Clausse, 2013). El efecto básico es un acoplamiento de oscilaciones caóticas y regulares, que bajo ciertas condicione se sincronizan entre sí. La sincronización de sistemas caóticos es un tema de estudio en la comunidad de sistemas dinámicos, y se sabe que no es trivial. Un resultado importante a este respecto fue obtenido por Pecora y Carroll (Pecora & Carroll, 1990), que demostraron que dos comportamientos caóticos aleatorios que inicialmente evolucionan sobre trayectorias diferentes pueden fundirse en una única trayectoria común si se acoplan de manera conveniente. Este efecto fue encontrado en nuestro caso.
En el contexto de los sistemas caóticos acoplados, este capítulo presenta los avances alcanzados en la aplicación de CML actuando sobre imágenes digitales, con el objetivo de caracterizar texturas (Mo, y otros, 2017). En particular, se estudiaron las características dinámicas de los mapeos guiados por kernels linales y cuadráticos construidos a partir de la textura local de las imágenes, como ciclos periódicos y caóticos.
MAPEOS ACOPLADOS CUADRÁTICOS
Como un paso siguiente a los mapeos lineales acoplados para la segmentación de imágenes se propuso la investigación de mapeos cuadráticos, con una combinación lineal y una combinación cuadrática de las variables de las celdas vecinas, esto es:
𝑓𝑖(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑖, 𝑡 + 1) = ∑ 𝐴𝑖𝑗(𝑥⃗) 𝑓𝑗(𝑥⃗, 𝑡) 8 𝑗=0 − ∑ ∑8 𝐵𝑖𝑗𝑘(𝑥⃗) 𝑓𝑗(𝑥⃗, 𝑡) 𝑘=0 𝑓𝑘(𝑥⃗, 𝑡) 8 𝑗=0 (25)
𝐴𝑖𝑗(𝑥⃗) es el kernel lineal similar al estudiado en capítulos anteriores, y 𝐵𝑖𝑗𝑘(𝑥⃗) es un kernel de tres índices, dos de entrada j y k, y uno de salida i. Ambos kernels se construirán usando los grises del vecindario de la celda 𝑥⃗, es decir, en general:
𝐴𝑖𝑗(𝑥⃗) = 𝐹𝐴[𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑖), 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑗)] (26)
𝐵𝑖𝑗𝑘(𝑥⃗) = 𝐹𝐵[𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑖), 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑘), 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑙)]
donde 𝐹𝐴[∙] y 𝐹𝐵[∙] son funciones aritméticas simples.
El kernel 𝐵𝑖𝑗𝑘(𝑥⃗) se plantea como una extensión natural de 𝐴𝑖𝑗(𝑥⃗). Los elementos de
𝐵𝑖𝑗𝑘(𝑥⃗) cumplen la función de almacenar información adicional sobre la dirección de la textura, relacionando dos direcciones de entrada 𝑗 y 𝑘 con una de salida 𝑖. Dentro de la analogía física en que las variables 𝑓𝑖 hacen las veces de poblaciones de partículas moviéndose en dirección i, el kernel B puede interpretarse como una medida de la probabilidad de que dos partículas con direcciones j y k reaccionen y produzcan una partícula en la dirección i (Figura 60).
Figura 60 Analogía de reacción del kernel cuadrático: dos pártículas entrando al
vecindario con direcciones j y k, reaccionan dando lugar a una partícula saliendo del kernel en dirección i.
La diferencia más importante respecto del mapeo lineal es que la presencia del término no lineal permite llegar a estados estacionarios sin necesidad de que los kernels estén normalizados. Luego de hacer pruebas con diferentes funciones, finalmente se propusieron los siguientes kernels basados en la operación división, los cuales mostraron propiedades dinámicas interesantes sensibles a la textura:
𝐴𝑖𝑗(𝑥⃗) = 𝑎 [ 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑗) + 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑖) 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑖) ] (27) 𝐵𝑖𝑗𝑘(𝑥⃗) = 𝑏 [𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑗) + 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑘) + 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑖) 𝑔(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑖) ]
donde 𝑎 y 𝑏 son constantes de control.
Nótese que ambos kernels tienen una regla de construcción consistente: se construyen con el cociente entre la sumatoria de los grises de todas las direcciones intervinientes (de entrada y de salida) y el gris de la celda vecina en la dirección de salida. Al igual que con el mapeo lineal, los kernels 𝐴𝑖𝑗(𝑥⃗) y 𝐵𝑖𝑗𝑘(𝑥⃗) también pueden homogenizarse mediante el promediado de vecindarios de tamaño r con promedios análogos a la Ec. (25). No hace falta normalizar los kernels ya que la adición del término de segundo orden permite definir estados estacionarios. A diferencia del mapeo lineal, en el cual la homogenización con factor de ponderación w = g resultaba más favorable para la discriminación de texturas en imágenes irregulares, en el mapeo cuadrático se encontró que la homogenización plana es más eficiente. Por lo tanto, en todos los experimentos numéricos que se muestran en este capítulo se trabajó con kernels homogenizados con
𝑤 = 1.
RELACIÓN CON EL MAPEO LOGÍSTICO
En el caso particular de imágenes planas en las que todos los píxeles tiene una misma intensidad 𝑔0 , 𝐴𝑖𝑗(𝑥⃗) y 𝐵𝑖𝑗𝑘(𝑥⃗) son uniformes para todos los píxeles de la imagen. La Ec. (17) resulta entonces: 𝑓𝑖(𝑥⃗ + 𝑒⃗𝑖, 𝑡 + 1) = 2𝑎 ∑8 𝑓𝑗(𝑥⃗, 𝑡) 𝑗=0 − 3𝑏 ∑ ∑8 𝑓𝑗(𝑥⃗, 𝑡) 𝑘=0 𝑓𝑘(𝑥⃗, 𝑡) 8 𝑗=0 (28)
Si el estado inicial es uniforme, por simetría esa uniformidad se conserva, y entonces sumando sobre el índice i se obtiene:
𝜌(𝑥⃗, 𝑡 + 1) = 9𝜌(𝑥⃗, 𝑡) [2𝑎 − 3𝑏𝜌(𝑥⃗, 𝑡)] (29) Observamos que la Ec. (29) es la conocida ecuación logística, paradigma de los mapeos caóticos (Berge, Pomeau, & Vidal, 1987).
El estado estacionario (punto fijo) de la Ec. (29) satisface:
𝜌 = (𝑎 − 1 18⁄ ) 3𝑏⁄ (30)
Este punto es estable para 1/18 < 𝑎 < 1/6. Para valores de 𝑎 fuera de ese intervalo la iteración lleva a ciclos periódicos y caos. Es de esperar que los mapeos acoplados presenten un comportamiento similar.
EXPERIMENTOS Y RESULTADOS
En esta sección se presentan los resultados de una serie de experimentos numéricos que se realizaron para estudiar la respuesta del mapeo acoplado cuadrático en imágenes con distintas texturas sintéticas. Se siguió el mismo procedimiento sistemático con el que se estudió el mapeo lineal, es decir, primeramente, se caracterizó el comportamiento del mapeo en imágenes con una única textura uniforme, y luego se extendieron los experimentos numéricos a imágenes compuestas con dos texturas.
M
APEO CUADRÁTICO SOBRE UNA TEXTURA UNIFORMEPara iniciar la exploración se aplicó el mapeo cuadrático dado por las Eqs. (25) y (26) a la textura homogénea que se muestra en la Fig. 61, usando como parámetros 𝑎 = 1 9 ⁄ y
Figura 61 Primera textura de prueba. Imagen homogénea.
Dado que los valores de los parámetros a y b están en el rango estable, luego de unas pocas iteraciones, el mapeo converge a un estado estacionario y uniforme. El valor estacionario del módulo de 𝒖 resultó nulo, y por lo tanto, el ángulo de inclinación queda indefinido; por esa razón no es posible presentar los resultados un gráfico polar. Se eligió entonces representar el estado estacionario con los indicadores ρ y 𝐻.
En la Figura 62 se muestran los resultados usando los kernels sin homogenizar y promediados con radio escala espacial 𝑟 = 1. En el caso sin promediar se observan 6 pares (𝜌, 𝐻). Esto se debe a que la textura tiene un patrón con tres transformaciones simétricas que hace que 3 de los kernels sean iguales. La Figura 63 muestra las tres simetrías que se componen de un transformación de desplazamiento y otra de reflexión. Los tres puntos azules en la Figura 62 son los pares múltiples generados por las simetrías. Cuando se promedian los kernels en un vecindario de tamaño 𝑟 = 1, el estado estacionario del mapeo resultante arroja un único estado en todos los píxeles de la imagen (punto negro en la Figura 62), que caracteriza la textura regular.
Figura 62 Indicadores 𝝆 y 𝑯 en el estado estacionario de la textura homogénea de la Figura 61.
Los puntos rojos y azules corresponden al mapeo sin homogenización de kernels, los puntos rojos son múltiples debido a las simetrías de la textura (Figura 61). El punto negro corresponde al mapeo con kernels homogenizados (𝒓 = 𝟏).
Figura 63 En cada columna se muestra cada simetría de la textura de la Figura 61. La
primera transformación (de la fila de arriba a la del medio) es un desplazamiento en diagonal hacia la derecha y abajo. La segunda transformación (de la fila del medio a la
de abajo) es una reflexión sobre la diagonal que pasa por el vértice de abajo a la izquierda.
MAPEO CUADRÁTICO SOBRE IMÁGENES SINTÉTICAS COMPUESTAS
En la sección anterior se verificó que el procedimiento de homogenización por promediado permite uniformizar los estados estacionarios de los mapeos cuadráticos dentro de una misma textura regular. Es esta sección se presentan los resultados de experimentos numéricos en imágenes compuestas por dos texturas sintéticas regulares (Figura 64): una partición vertical (arriba) y una región cerrada superpuesta a un fondo, ambos texturados con diferentes patrones regulares (abajo). Las dos imágenes fueron construidas sintéticamente cuidando de que el gris promedio sea el mismo en las dos texturas. En todos los casos se usaron los mismos parámetros 𝑎 = 1 9 ⁄ y 𝑏 = 1 27⁄ de las pruebas con la texturas uniforme.
Figura 64 Texturas compuestas: partición vertical (arriba) y compuesta con borde cerrado (abajo).
Una vez llegado al estado estacionario, se calcularon los valores de AUC (ver Apéndices) para cada indicador por separado. En la Tabla 6 se detallan los valores de AUC obtenidos con el mapeo cuadrático sobre la partición con distintas escalas de homogenización. Se hicieron pruebas con kernels promediados sobre vecindarios de diferentes escalas. El caso sin promediar corresponde a 𝑟 = 0. Al igual que con los mapeos lineales con los mapeos cuadráticos también se encuentra que hay una escala óptima de promediado para la cual la homogenización de los kernels resulta en mapeos con máximos de AUC. Con el mapeo cuadrático la mayoría de los indicadores tienen la escala óptima en 𝑟 = 1, excepto con el módulo de 𝒖 (en ambas imágenes) y h (en el riñón), cuyo AUC es máximo en 𝑟 = 4. Para 𝑟 = 2 (55) y 3 (77) no se obtuvieron buenas discriminaciones. Para escalas mayores, la escala de homogenización excede demasiado el tamaño de las texturas base y se pierde la calidad en la discriminación. De todos modos, no descartamos que en imágenes reales sea posible que otros valores de 𝑟 grandes mejoren los resultados.
Tabla 6 Indicador AUC (%) de la partición vertical con mapeo cuadrático con escala de homogenización r.
La Figura 65 muestra los mapas de contorno de color de 𝜌 y del módulo 𝒖 del mapeo sobre la imagen del “riñón” para los radios 𝑟 de la primera columna de la Tabla 7, donde se detalla el indicador AUC obtenido para cada indicador. Puede apreciarse que para el mapeo cuadrático, 𝜌 es un excelente discriminador zonal (AUC=99.99), mientras que 𝒖
detecta muy bien los bordes entre texturas. Puede verse también el efecto de la escala de homogenización de los kernels. La visualización de la clasificación zonal con 𝜌 es mejor con r = 4, mientras que la clasificación de bordes es mejor en r = 1.
Finalmente, en la Figura 66 se graficaron los valores locales de y módulo de 𝑢
resultantes del mapeo cuadrático con kernels homogenizados a escala r = 1 y 4. Se observa una clara separación de los píxeles de cada textura en el plano de estos dos parámetros. En este caso es posible buscar una función de demarcación cuyo umbralado discrimine fácilmente las texturas. Sin embargo, lamentablemente no se encontró una ley general para cualquier imagen. No obstante eso, este resultado muestra que la combinación de subgrupos pequeños de descriptores es una herramienta factible para la segmentación.
Tabla 7 Indicador AUC del “riñón” con mapeo cuadrático con distintas escalas de
homogenización r. 𝒓 D H H U E K 0 50,23 50,24 50,00 50,53 50,00 50,05 1 52,44 51,03 50,78 50,43 52,03 51,66 4 50,48 50,20 50,69 50,73 50,47 50,77 𝒓 D h H U E K 0 74,05 76,60 60,76 78,81 68,70 69,89 1 99,99 83,74 99,99 89,68 99,99 99,99 4 99,97 91,87 99,97 92,15 99,97 99,97 13 98,48 84,70 98,48 83,16 98,48 98,48
Segmentación sobre Segmentación sobre𝒖 𝑟 = 1 AUC= 99,99% AUC= 89,68% 𝑟 = 4 AUC=99,97% AUC=92,15% 𝑟 = 13 AUC=98,48% AUC=83,16
Figura 65 Umbralado de y módulo de 𝒖del mapeo cuadrático estable sobre la imagen
Figura 66 Mapas de módulo de 𝒖vs el mapeo cuadrático de la imagen del “riñón”, usando kernels homogenizados a escala 𝒓 = 𝟏 (arriba) y 4 (abajo).
ESTADOS PERIÓDICOS Y CAÓTICOS DEL MAPEO CUADRÁTICO
Como dijimos al comienzo de este capítulo, el mapeo acoplado cuadrático se reduce al mapeo logístico de una variable escalar cuando la imagen es plana. La Ec. (29) establece la condición de estabilidad del estado estacionario en este caso, que está determinada por el coeficiente a del término lineal. Los experimentos numéricos mostraron que esta condición se extiende a imágenes con texturas regulares, cuyos mapeos también
evolucionan de forma similar a la ecuación logística (Boeing, 2016). La exploración numérica mostró que aparecen patrones dinámicos interesantes, como aglutinaciones de mapas vecinos sincronizados o limitados por las variaciones espaciales bruscas en el nivel de gris (Cifuentes & Clausse, 2014).
En lo que sigue a continuación se presentan los resultados principales de la aplicación del mapeo cuadrático usando valores de a en el rango inestable. Se realizaron experimentos numéricos sobre una textura regular uniforme y la imagen compuesta del riñón. En todos los casos se homogenizaron los kernels A y B con r = 1 y w = 1. El primer estudio se realizó aplicando el mapeo cuadrático sobre una imagen con la textura uniforme mostrada en la Figura 67.
Figura 67 Patrón de textura de 33 de la imagen uniforme sintética
Para valores de a mayores que 1/6 el estado estacionario se vuelve inestable y se desarrollan estados periódicos y caóticos similares a la ecuación logística clásica en una dimensión, los cuales son independientes del estado inicial. Siguiendo la presentación clásica de mapeos discretos caóticos (Berge, Pomeau, & Vidal, 1987) se construyó el diagrama de bifurcaciones en función del parámetro de control a manteniendo fijo b = 1, el cual se muestra para el indicador en la Figura 68. Los puntos del gráfico indican los valores de que resultan para cada valor de a luego de las iteraciones iniciales. Hasta a = 1/6 se llega a estados estacionarios estables manifestados en el gráfico con una línea única, que muestra que estacionario va aumentando a medida que a aumenta. A partir de a = 1/6 se desarrolla una bifurcación que lleva a un comportamiento periódico de periodo 2. Al igual que en la ruta de transición al caos de la ecuación logística, luego van apareciendo ciclos con duplicación de períodos, es decir aparecen órbitas de período 2, 4, 8, etc. para 𝑎 = 0.17, 0.175 y 0.18 respectivamente. Valores mayores lleva a comportamientos caóticos que se notan en el gráfico con una estructura de nube de puntos. Como en el mapeo logístico, esta nube no es uniforme, sino que tiene una estructura fractal, y también aparecen “ventanas” de comportamientos periódicos.
Figura 68 Diagrama de bifurcación para la textura uniforme variando el parámetro 𝒂.
Cuando 𝒂 < 𝟎. 𝟏𝟓 es estable y aparecen 2 ciclos cuando 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟕, 4 ciclos cuando 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟓, 8 ciclos cuando 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟖, y a partir de 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟗 la dinámica es caótica con
algunas ventanas de comportamiento periódico.
Para a = 0.19 (comportamiento caótico) se construyeron mapas de retorno de , es decir
𝜌𝑛+1 vs. 𝜌𝑛 , variando el parámetro b (Figura 69). Puede observarse que el mapa de retorno sigue la parábola dada por la Ec. (29), que se hace cada vez más alta a medida que b baja.
Figura 69 Mapa de retorno resultante del mapeo acoplado cuadrático sobre una
La siguiente imagen de prueba que se usó es la que se muestra en la Figura 70. A la derecha se muestra en color rojo la zona de fondo, en azul la región cerrada con forma de riñón y con color amarillo el borde entre texturas. Para mostrar la sensibilidad del resultado encontrado se construyeron sintéticamente dos texturas (Figura 70 a la izquierda) que difieren solamente en un tono de gris mayor en uno de los pixeles y en un tono de gris en otro, de manera que el promedio de gris de la imagen se mantiene constante. La imagen del centro de la Figura 70 muestra la composición. Puede observarse que es imposible detectar la diferencia de texturas a simple vista.
Figura 70 Imagen compuesta (centro) consistente por los dos patrones de textura
mostrados a la izquierda que difieren en sólo un tono de gris intercambiado entre dos pixeles. A la derecha se muestran las regiones en color para mejor visualización. Manteniendo b = 1, se aplicó el mapeo no lineal variando el parámetro a entre 0.13 y 0.19. Se verifica que dentro de una misma textura todos los indicadores presentan el mismo comportamiento. La Figura 71 muestra el diagrama de bifurcaciones de variando el parámetro a. Comparando las Figs. Figura 68 y Figura 71 puede verse que los pixeles de cada textura presentan un diagrama de bifurcaciones similar al de la textura uniforme, pero los valores críticos de a dependen de la textura. Puede distinguirse en la Figura 71 cinco zonas interesantes desde el punto de vista de la discriminación de texturas. En la zona I, correspondiente a valores bajos de a, las dos texturas presentan estados estacionarios estables. Estos rangos corresponden a los casos estudiados en la sección anterior. En la zona II, el indicador en los píxeles del riñón (azules) oscila con periodo 2, mientras que en el fondo (rojo) se llega a un estado estacionario estable. En la zona III ambas regiones oscilan con periodo 2, pero con distinta amplitud. En la zona IV el riñón oscila con periodo 4 y el fondo con periodo 2. La zona 5 es muy interesante, porque el interior del riñón es caótico mientras que el fondo es periódico. Estos
comportamientos pueden utilizarse como una herramienta de realce dinámico para reconocimiento de texturas. Recuérdese que las dos texturas fueron construidas de manera de ser imperceptibles al ojo humano.
Figura 71 Diagrama de bifurcación para la textura compuesta con borde complejo
(riñón, en azul) variando el parámetro 𝒂.
La Figura 72 muestra mapas de retorno de en cada textura, para valores crecientes del parámetro a. En a = 0.14, tiene al punto fijo en la textura del fondo (rojo), mientras que tiende a alternarse entre dos valores en el riñón (azul). Los transitorios siguen parábolas, lo cual indica que cada textura se comporta como un mapeo logístico, aunque con diferentes puntos críticos. Para a = 0.15 ambas texturas tienden a alternarse entre dos estados (oscilación de periodo 2). La Figura 73 muestra la separación entre las texturas componentes que puede fácilmente umbralarse a partir de la distribución instantánea de la densidad, el promedio y el desvío estándar de la densidad acumulada (Tabla 8).
𝑎 = 0.14 𝑎 = 0.15
𝑎 = 0.157 𝑎 = 0.165
𝑎 = 0.17 𝑎 = 0.18
Figura 72 Diagramas de retorno de para el mapeo cuadrático del riñón para
diferentes valores del parámetro a. Los puntos rojos corresponden a los píxeles del fondo y los azules los del interior del riñón.
Figura 73 Distribución instantánea de la densidad (izq.), del promedio de la densidad acumulada (centro) y del desvío estándar de la densidad acumulada para 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟓.
Tabla 8 AUC de los mapeos instantáneos para valores de 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟓. Ver Figura 74 .
Para a = 0.17 ambas texturas tienen comportamiento oscilatorio con períodos 7 y 14. Allí se muestran las dos parábolas representantes de la ecuación logística aproximada de cada textura. Para valores mayores de a el comportamiento es caótico en alguna o ambas