GDT 115 A Scope
D. Procedures 1 Calibration
Aunque, como indicábamos en la introducción, el presente trabajo tendrá una continuidad posterior donde se abordará la resolución de problemas que implique la aplicación del concepto de fracción y sus distintas operaciones, estimamos oportuno exponer algunas consideraciones sobre la resolución de problemas e ilustrarlas con un ejemplo.
La resolución de problemas es una de las máximas preocupaciones que manifiestan los docentes en relación a las dificultades que muestran los alumnos con respecto a la asignatura de Matemáticas. Es común oír decir a cualquier docente: “Lo que peor que se les da a los alumnos es la
resolución de problemas. Les pongo un problema y no saben, ni siquiera, qué operación tienen que hacer”
A nuestro entender, este hecho evidente es una de las consecuencias directas, una manifestación más de una metodología errónea aplicada a la enseñanza de la matemáticas y que predomina en nuestras aulas. Por ello, cualquier intento de poner remedio a esta situación, resulta prácticamente imposible si no se actúa sobre la causa que la determina y origina
La metodología que predomina en nuestras aulas, parte de conceptos matemáticos muy abstractos y ya elaborados. Normalmente, el proceso de aprendizaje no realiza la fase práctica o perceptiva, ni recorre la fase de la representación, sino que directamente se pasa a la fase numérica. Este salto en el vacío, provoca una desconexión entre la acción real, el pensamiento y su expresión en forma de operación matemática. Dicho en otros términos, si el alumno no construye, por ejemplo, el concepto de número natural a partir de contar cantidades de objetos concretos, si no realiza de forma real suma o restas con estas cantidades de objetos manipulables, sino que directamente le enseñamos la grafía de los números y les ponemos innumerables sumas mediante un algoritmo que carece de todo sentido para el alumno, e incluso para el profesor, no es de extrañar que cuando vaya a realizar un problema no sepa si tiene que sumar o restar, por la sencilla razón que no ha realizado previamente ninguna suma, ni ninguna resta, mediante una acción real. ¿Acaso no es una contradicción enseñarles a los alumnos las medidas de longitud sin que éstos realicen la acción de medir longitudes? ¿Cómo es posible que un alumno se represente en su pensamiento una operación matemática implícita en un texto escrito si nunca ha realizado la acción real que se
Por el contrario, cuando el alumno construye el concepto de número natural, el concepto de número decimal, el concepto de fracción, de forma práctica y sensible. Cuando realiza operaciones de sumar, restar multiplicar y dividir mediante acciones reales, aplicadas a objetos concretos y sensibles, y posteriormente expresa estas acciones reales empleando un lenguaje matemático, el alumno no tiene por qué manifestar ninguna dificultad a la hora de resolver un problema matemático.
Otros de los errores que hemos observado con frecuencia en la enseñanza de las matemáticas, es considerar los distintos contenidos matemáticos como compartimentos estancos. Primero, enseñamos los números decimales y sus operaciones. Cuando hemos terminado con el tema de los números decimales, pasamos a explicar las fracciones y, finalmente y en otro nivel educativo, los porcentajes o tantos por cientos. Normalmente no se interrelacionan los distintos contenidos matemáticos.
Veamos ahora, mediante un ejemplo, cómo trabajamos con los alumnos de 6º un problema matemático. Mediante este ejemplo pretendemos ilustrar nuestra propuesta metodológica.
Proporcionamos a los alumnos el siguiente problema durante una sesión de clase:
Un carpintero tiene un tablón de madera que mide de largo 6/5 m. Corta un trozo que representa el 25% de la longitud del tablón. Tienes que calcular:
- La longitud que tenía el tablón de madera expresada en forma de
números de metros.
- La longitud del tablón de madera que cortó el carpintero,
expresada en número de metros.
- La longitud del tablón de madera que cortó el carpintero,
expresada en forma de fracción.
- La longitud del tablón de madera que le sobró, expresada en
metros.
Después de un cierto tiempo de trabajo por parte del los alumnos, y teniendo éstos acceso al uso del franelograma, a las cintas métricas y a la pizarra, pasamos a corregir el problema. Para ello, distintos alumnos fueron respondiendo a las sucesivas cuestiones.
- ¿Cuál era la longitud del tablón de madera expresada en metros?
La longitud del tablón era de 1’20 m.
Le preguntamos al alumno que respondió, cómo había razonado para saber que esa era la longitud. El alumno argumentó:
- Porque cada quinta parte del metro mide 0’20 m, y como tenemos
6 quintas partes, serán, en total, 1’20 m.
A este mismo alumno le pedimos que demostrara con las regletas y el franelograma que efectivamente 6/5 partes de un metro eran 1’20 m. El alumno construyó en el franelograma la siguiente representación.
A continuación, otro alumno respondió a la segunda cuestión:
- El carpintero cortó 0’30 m porque el 25 % de 1’20 es 0’30.
Con el fin de que razonara la respuesta, le preguntamos al alumno:
- ¿Cómo sabes tú que el 25 % de 1’20 es 0’30?
El alumno argumentó lo siguiente:
- Porque 1’20 m son 1 metro y 20 centímetros y, en total, son 120
centímetros. Calcular el 25 % es lo mismo que calcular la cuarta parte. La cuarta parte de 120 centímetros son 30 centímetros, que expresado en metros son 0’30 m.
(Los alumnos aprendieron en su momento que el 25 % es lo mismo que calcular la cuarta parte, porque 25 cm. en relación a un metro representa la cuarta parte. Y como el complementario de 25 con
A su vez le propusimos a este mismo alumno que dibujara en la pizarra una línea recta de 1’20 m, que la dividiera en cuatro partes iguales y nos demostrara que cada parte medía, efectivamente, 30 cm., es decir, 0’30 m.
El alumno trazó una línea recta y con la ayuda de una cinta métrica, midió 1metro y 20 centímetros. Luego comenzando por un extremo fue midiendo sucesivamente trozos de 30 cm. Al final, la línea recta quedó dividida en 4 trozos de 30 centímetros.
Otro alumno dijo que lo sabía hacer de otra manera. Salió a la pizarra trazó una línea recta de 120 cm. La dividió a la mitad midiendo desde un extremo 60 cm., quedando de este modo la recta dividida en dos segmentos de 60 cm. A continuación dividió cada segmento, de nuevo a la mitad y comprobó que los cuatro segmentos formados medían 30 cm. cada uno.
Otro alumno dijo:
- Yo para calcular la cuarta parte de 1’20 m no he transformado los
metros a centímetros sino que lo he calculado directamente. Como la cuarta parte de 12 es 3, entonces, la cuarta parte de 1’2 es 0’3.
Finalmente otro alumno dijo:
- Yo he calculado directamente el 25 % de la fracción 6/5. He calculado la cuarta parte de 6, que es el numerador, y me da 1’5 y tengo la fracción 1’5/5. Es decir, tengo una vez y media una quinta parte. Como una quinta parte vale 20 cm., media quinta parte medirá 10 cm. En total me da 30 cm., es decir, 0’30 m
Como hubo varios alumnos que no le entendieron, salió y construyó en el franelograma la siguiente representación:
- ¿Cómo podemos expresar 0’3 m, es decir, 30 cm. en forma de
fracción?
Unos de los alumnos que se ofrecieron para dar la respuesta dijo:
- Lo podemos expresar mediante la fracción 3/10., porque una
décima parte mide 10 centímetros ó 0’1m y como tenemos tres décimas partes, serán 0’3.
Le pedimos que lo demostrara en el franelograma y construyó la siguiente representación:
Cogió una cinta métrica y comprobó que la longitud formada por las tres regletas medía 30 cm.
Finalmente, procedimos a trabajar las dos últimas cuestiones:
- ¿Qué longitud, expresada en metros, tendría el tablón de madera que le sobró al carpintero?
Uno de los alumnos que se ofreció a responder dijo:
- Mide 0’9 m porque si el tablón medía 120 cm. y cortó 30 cm., le
tienen que quedar 90 cm., o lo que lo mismo, 0’9 m.
Para comprobar experimentalmente la validez de la respuesta, le dijimos al alumnos que dibujara en la pizarra una línea recta de 1’20 m y que cortara, o borrara, después un trozo de 0’3 m para ver si de verdad le daba 0’9 m. El alumno lo hizo y lo comprobó experimentalmente.
- ¿Mediante qué fracción podemos expresar la longitud del tablón
que le sobró?
A continuación, procedimos a dibujar el tablón de madera con medidas reales en la pizarra, colocamos los datos y los resultados obtenidos: 100 % 5 6 m = 1’20 = 120 cm O’9 m = 90 cm 0’3 m = 30 cm 75 % 10 9 25 % 10 3
A partir de este gráfico completamos la siguiente la siguiente tabla:
En metros En cm. En forma de fracción En forma de % Longitud antes
de cortar 1’20 120 6/5 100 %
Parte cortada 0’3 30 3/10 25 %
Parte sobrante 0’9 90 9/10 75 %
Finalmente y a partir del gráfico y de la tabla, procedimos a sacar conclusiones:
Escribir las conclusiones consiste en expresar de forma escrita todas las operaciones que hemos realizado previamente, de forma mental, y a lo largo de todo el problema, agrupándolas por categorías.
Empleamos una técnica similar a la lluvia de ideas. Es decir, cada alumno va diciendo alguna operación o alguna conclusión que podemos sacar del problema que acabamos de resolver y se van colocando dentro de las categorías que previamente han sido determinadas por el profesor.
- Conclusiones sobre el valor numérico de las fracciones: 5 6 = 1’20 10 3 = 0’3 10 9 = 0’9
- Conclusiones sobre tantos por cientos:
El 25 % de 1’20 = 0’3 El 25 % de 120 = 30 El 75 % de 1’20 = 0’9 El 75 % de 120 = 90 El 25 % de 5 6 = 0’3 El 75 % de 5 6 = 0’9 El 25 % de 5 6 = 10 3 El 75 % de 5 6 = 10 9
- Conclusiones sobre distintas formas de expresar la resta que hemos realizado: 1’20 – 0’3 = 0’9 120 – 30 = 90 100 % - 25 % = 75 % 10 9 10 3 5 6 = − - Otras conclusiones: 1’20 m = 12 dm = 120 cm 10 3 m = 0’3 m = 3 dm = 30 cm 10 9 m = 0’9 m = 9 dm = 90 cm
Cuando estábamos escribiendo las conclusiones, hubo un alumno que no entendía cómo era posible que al restarle a 6/5, la fracción 3/10 daba la fracción 9/10, ya que si tenía regletas de la quinta parte no podía quitarle regletas de la décima parte.
Entones, un alumno tomo la palabra y dijo:
“Sí, porque 6/5 es lo mismo que 12/10. Como una regleta de la quinta parte vale por dos de la décima parte, entonces 6 regletas de la quinta parte serán 12 regletas de la décima parte.”
Le pedimos al alumno que acababa de dar la explicación que los hiciera con el franelograma. El alumno hizo lo siguiente:
Después quitó tres regletas de la décima parte y le quedó nueve regletas de la décima parte.
Como podemos observar, si cambiamos la metodología, entonces la resolución de problemas deja de ser una dificultad y se convierte, de esta forma, en una excelente situación de aprendizaje para el alumno.